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14.3.1提公因式法 (1)

发布时间:2013-11-30 09:00:48  

15.4 因式分解
北三家 中学

整式的乘法
计算下列各式:
上面我们把一个多项式化 成了几个整式的积的形式, 像这样的式子变形叫做把 这个多项式因式分解,也叫

x2 + x ; x(x+1)= (x+1)(x-1)= x2-1 .
根据上面的运算,你能把下列 多项式写成整式的乘积的形式:

做把这个多项式分解因式.

(1)x2+x=___________; x(x+1)
(2)x2 – 1=__________ . (x+1)(x-1)

因式分解

x2-1

(x+1)(x-1)

整式乘法

因式分解与整式乘法是相反方向的变形

练习一 理解概念 判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因 式分解? (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y); 因式分解 (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 2=25a2-10a+1 ; (3) (5a-1) 整式乘法 2+4x+4=(x+2)2 ; (4) x 因式分解 (5) (a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6) m2-4=(m+2)(m-2) ; 因式分解 (7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r).
因式分解

是否多项式都能进行因式分 解?请举例说明。

ma+mb+mc
它的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m 叫做这个多项式的 公因式 由m(a+b+c) = ma+mb+mc可得: ma+mb+mc =m(a+b+c)这样就把ma+mb+mc分解成 两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m, 另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以 m所得的商,像 这种分解因式的方法叫做 提公因式法 .

设计意图:理解提公因式法的理论依据

说出下列多项式各项的公因式: (1)ma + mb ; m (2)4kx- 8ky ; 4k (3)5y3+20y2 ; 5y2 (4)a2b-2ab2+ab . ab
注意:各项系数都是整数时,因式的系数应取 各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母, 而且各字母的指数取次数最低的.

例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.

8a3b2-12ab3c 的公因式是什么?
公因式 4 a b2 相同字母 最低指数

最大公约数 观察 方向

一看系数 二看字母 三看指数

提公因式法

例1:分解因式 8a3b2+12ab3c 因为 多项式8a3b2+12ab3c的公因式是4ab2 所以 8a3b2+12ab3c=4ab2(2a2+3bc) 想一想 提公因式法的一般步骤:
1、确定应提取的公因式;

另一个因式2a2+3bc是 如何得到的?

2、用公因式去除这个多项式,所得的商作为另一个因式; 3、把多项式写成两个因式的积的形式。

例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.

解:8a3b2+12ab3c =4ab2?2a2+4ab2?3bc =4ab2(2a2+3bc).

小结: 1.公因式的取法: 公因式的系数取各项系数的最大公 约数;字母取各项都含有的字母;字母 次数取相同字母次数最低的。 2.因式分解要求: (1)分解彻底 (2)结果化为最简 (3)结果不含中括号 (4)结果括号中第一项系数不为负数

例题解析
例1、用提公因式法分解因式:

(2) -2x3+6x2-2x (3) 3an+2+2an+1-7an

友情提示:

(1)如果多项式的某一项正好是 公因式,要注意该项在提取了公因 式后,应该用“1”顶替它原来的位置, 切不可把“1”漏掉。 (2)如

果多项式的第一项有“—” 号,一般都将“—”号随公因式一起 提出。

1、把下列多项式因式分解:

(1) 4ab-2a2b; 2ab(2-a) (3) - 24m2x+16n2x; -8x(3m2-2n2)

(2) -3ab+6abx-9aby -3ab(1-2x+3y) (4) anb2-2anb.
anb(b-2)

例2

把下列各式分解因式 (1) 2a(b+c)-3(b+c) (2) 2a(b-c)-3(c-b) (3) 6a(b-c)2-3(c-b)3 (4) (2x+3y)(3x-2y)-5x(2x+3y)

整体思想是数学中一种 1、把下列各式分解因式 重要而且常用的思想方法 (1) 2a(y-x)-3b(x-y) (2) p(a2+b2)-q(a2+b2) (3) 2(a-3)2 -a+3

例2

把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.

分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.

解:2a(b+c) – 3(b+c)

=(b+c)(2a-3).

练习.分解因式:

(1)2a b ? 6ab c
2 2 3

( 2)28 x ? 12 x ? 4 x
4 3 4 2 2

2 4 2 3

( 3) ? 54m n ? 18m n ? 27m n
3

(4)12a (b ? c ) ? 8a (b ? c ) (5)15( x ? y ) ? 10 x( y ? x )
3 2

例2. 分解因式:

(1)( a ? b) ? a(b ? a ) ? b(a ? b)
4 3

3

( 2) x ? x
n

n ?1

?x
2

n? 2

( 3)3(a ? 2b) ? a ? 2b

例3. 计算:

(1)15 ? 3.14 ? 10 ? 3.14 ? 5 ? 3.14
2 2 2

( 2)121? 0.13 ? 12.1 ? 0.9 ? 12 ? 1.21 ( 3)( ?2) ( 5 )3
1999 2008

? ( ?2)
2 1998

2009 2 1997

(4)1998? 1998 ? 1999 ? 5? 3

? 6? 3

例4.先化简,再求值:
( 2 x ? 1) ( 3 x ? 2) ? ( 2 x ? 1)( 3 x ? 2) ? x( 2 x ? 1)( 2 ? 3 x )
2 2

3 其中x ? 2

1.计算21×3.14+62×3.14+1.7×3.14
2.先分解因式,再求值: 4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.

小结 你学到了什么?

(1)因式分解的概念及与整式乘法的区别与联系 (2)提公因式法因式分解时注意什么

课堂检测: 分解因式:
(1)4ab ? 6ac ( 2)8 x y ? 12 xy
3 2 4 2 2 3

( 3) ? 6 x y ? 2 x y (4)5( m ? n) ? m ( n ? m ) (5)( 7 m ? 8n)( x ? y ) ? ( 3m ? 2n)( y ? x )
2 2

练习:
1.把下列各式分解因式: (1)8m2n+2mn; (3)-12a2b+24ab2 (5)p(a2+b2)-q(a2+b2). (2)12xyz-9x2y2; (4)2a(y-z)-3b(z-y);

(1)计算:
2003×20052005-2005×20032003 (2)不解方程组

{x ? 3 y ? 1
2 3

2x ? y ? 6

求7 y( x ? 3 y ) ? 2( 3 y ? x ) 的值。


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