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初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)

发布时间:2013-11-30 13:45:29  

因式分解的常用方法(例题详解)

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下:

一、提公因式法.

如多项式am?bm?cm?m(a?b?c),

其中m叫做这个多项式各项的公因式, m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式.

二、运用公式法.

运用公式法,即用

a2?b2?(a?b)(a?b),

a2?2ab?b2?(a?b)2,

a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)

写出结果.

三、分组分解法.

(一)分组后能直接提公因式

例1、分解因式:am?an?bm?bn

分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。

解:原式=(am?an)?(bm?bn)

=a(m?n)?b(m?n) 每组之间还有公因式! =(m?n)(a?b)

思考:此题还可以怎样分组?

此类型分组的关键:分组后,每组内可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式可以提。

例2、分解因式:2ax?10ay?5by?bx

解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组;

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解:原式=(2ax?10ay)?(5by?bx) 原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by) =2a(x?5y)?b(x?5y) =x(2a?b)?5y(2a?b) =(x?5y)(2a?b) =(2a?b)(x?5y) 练习:分解因式1、a?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1

1 2

(二)分组后能直接运用公式

例3、分解因式:x?y?ax?ay

分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。

解:原式=(x?y)?(ax?ay)

=(x?y)(x?y)?a(x?y)

=(x?y)(x?y?a)

例4、分解因式:a?2ab?b?c

解:原式=(a?2ab?b)?c

=(a?b)?c

=(a?b?c)(a?b?c)

注意这两个例题的区别!

练习:分解因式3、x?x?9y?3y 4、x?y?z?2yz

322322综合练习:(1)x?xy?xy?y (2)ax?bx?bx?ax?a?b

22222(3)x?6xy?9y?16a?8a?1 (4)a?6ab?12b?9b?4a

2222432(5)a?2a?a?9 (6)4ax?4ay?bx?by

2222(7)x?2xy?xz?yz?y (8)a?2a?b?2b?2ab?1

(9)y(y?2)?(m?1)(m?1) (10)(a?c)(a?c)?b(b?2a)

222333(11)a(b?c)?b(a?c)?c(a?b)?2abc(12)a?b?c?3abc

四、十字相乘法.

(一)二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。 特点:(1)二次项系数是1;

(2)常数项是两个数的乘积;

(3)一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式:x?5x?6

分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。

2 2222222222222222222

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=5。 1 解:x2?5x?6=x?(2?3)x?2?3

=(x?2)(x?3) 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式:x?7x?6

解:原式=x?[(?1)?(?6)]x?(?1)(?6) 1 -1

=(x?1)(x?6) (-1)+(-6)= -7

练习5、分解因式(1)x?14x?24 (2)a?15a?36 (3)x?4x?5

222练习6、分解因式(1)x?x?2 (2)y?2y?15 (3)x?10x?24

2(二)二次项系数不为1的二次三项式——ax?bx?c

条件:(1)a?a1a2 a1 c1

(2)c?c1c2 ac2

(3)b?a1c2?a2c1 b?a1c2?a2c1

分解结果:ax?bx?c=(a1x?c1)(a2x?c2)

例7、分解因式:3x?11x?10

分析: 1 (-6)+(-5)= -11

解:3x?11x?10=(x?2)(3x?5)

练习7、分解因式:(1)5x?7x?6 (2)3x?7x?2

22 (3)10x?17x?3 (4)?6y?11y?10

(三)二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式:a?8ab?128b

分析:将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。

1

8b+(-16b)= -8b

222 解:a?8ab?128b=a?[8b?(?16b)]a?8b?(?16b)

=(a?8b)(a?16b)

练习8、分解因式(1)x?3xy?2y(2)m?6mn?8n(3)a?ab?6b 3 2222222222222222222

(四)二次项系数不为1的齐次多项式

例9、2x?7xy?6y 例10、xy?3xy?2

1 -2y

把xy看作一个整体

1 -1 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解:原式=(x?2y)(2x?3y) 解:原式=(xy?1)(xy?2) 练习9、分解因式:(1)15x?7xy?4y (2)ax?6ax?8

2263综合练习10、(1)8x?7x?1 (2)12x?11xy?15y

(3)(x?y)?3(x?y)?10 (4)(a?b)?4a?4b?3

222222(5)xy?5xy?6x (6)m?4mn?4n?3m?6n?2

222222(7)x?4xy?4y?2x?4y?3(8)5(a?b)?23(a?b)?10(a?b)

222222(9)4x?4xy?6x?3y?y?10(10)12(x?y)?11(x?y)?2(x?y)

2222思考:分解因式:abcx?(ab?c)x?abc

五、主元法.

例11、分解因式:x?3xy?10y?x?9解法一:以x为主元 解:原式=x?x(3y?1)?(1092) =(x?5y?2)(x?2y?1) -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1) 解法二:以y为主元 解:原式=?10y?y(3x?9)?=?[10y?(3x?9)y=? (x-1)

=?=?(2y?x?1)(5y?x?2) 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)

4 22222222222222222

练习11、分解因式(1)x?y?4x?6y?5 (2)x?xy?2y?x?7y?6

22(3)x?xy?6y?x?13y?6 (4)a2?ab?6b2?5a?35b?36

六、换元法。

例13、分解因式(1)2005x?(2005?1)x?2005

(2)(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x

解:(1)设2005=a,则原式=ax?(a?1)x?a

=(ax?1)(x?a)

=(2005x?1)(x?2005)

(2)型如abcd?e的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=(x?7x?6)(x?5x?6)?x

设x?5x?6?A,则x?7x?6?A?2x

∴原式=(A?2x)A?x=A?2Ax?x

=(A?x)=(x?6x?6)

练习13、分解因式(1)(x?xy?y)?4xy(x?y)

(2)(x?3x?2)(4x?8x?3)?90 (3)(a?1)?(a?5)?4(a?3)

432例14、分解因式(1)2x?x?6x?x?2

观察:此多项式的特点——是关于x的降幂排列,每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法:提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。

解:原式=x(2x?x?6?2222222222222222222222222222222221111?2)=x2?2(x2?2)?(x?)?6? xxxx

1122设x??t,则x?2?t?2 xx

22t2?2)?t?6?=x2?2t2?t?10? ∴原式=x(

21???22? =x?2t?5??t?2?=x?2x??5??x??2? xx????22?

5

21?????5?·x·x??2?=?2x2?5x?2??x2?2x?1? ?xx????

2 =(x?1)(2x?1)(x?2) =x·?2x?

(2)x?4x?x?4x?1 432

1??41?2??21???2?=x??x?2??4?x???1? x??xx?x????

11 设x??y,则x2?2?y2?2 xx

222 ∴原式=x?y?4y?3?=x?y?1??y?3?

11222 =x(x??1)(x??3)=?x?x?1??x?3x?1? xx

4322432练习14、(1)6x?7x?36x?7x?6(2)x?2x?x?1?2(x?x) 解:原式=x?x?4x?1?2??2

七、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式(1)x?3x?4

解法1——拆项。 解法2——添项。

原式=x?1?3x?3 原式=x?3x?4x?4x?4

=(x?1)(x?x?1)?3(x?1)(x?1) =x(x?3x?4)?(4x?4) =(x?1)(x?x?1?3x?3) =x(x?1)(x?4)?4(x?1) =(x?1)(x?4x?4) =(x?1)(x?4x?4) =(x?1)(x?2) =(x?1)(x?2)

(2)x?x?x?3

解:原式=(x?1)?(x?1)?(x?1)

=(x?1)(x?x?1)?(x?1)(x?1)?(x?1)

=(x?1)(x?x?1?x?1?1)

=(x?1)(x?x?1)(x?2x?3)

练习15、分解因式(1)x?9x?8 (2)(x?1)?(x?1)?(x?1)

42422(3)x?7x?1 (4)x?x?2ax?1?a

444222222444(5)x?y?(x?y) (6)2ab?2ac?2bc?a?b?c

6 3422426336333633339632222222323232963

八、待定系数法。

例16、分解因式x?xy?6y?x?13y?6

分析:原式的前3项x?xy?6y可以分为(x?3y)(x?2y),则原多项式必定可分为(x?3y?m)(x?2y?n)

解:设x?xy?6y?x?13y?6=(x?3y?m)(x?2y?n)

∵(x?3y?m)(x?2y?n)=x?xy?6y?(m?n)x?(3n?2m)y?mn ∴x?xy?6y?x?13y?6=x?xy?6y?(m?n)x?(3n?2m)y?mn 222222222222

?m?n?1?m??2?对比左右两边相同项的系数可得?3n?2m?13,解得? n?3??mn??6?

∴原式=(x?3y?2)(x?2y?3)

例17、(1)当m为何值时,多项式x?y?mx?5y?6能分解因式,并分解此多项式。

(2)如果x?ax?bx?8有两个因式为x?1和x?2,求a?b的值。

(1)分析:前两项可以分解为(x?y)(x?y),故此多项式分解的形式必为3222(x?y?a)(x?y?b)

解:设x?y?mx?5y?6=(x?y?a)(x?y?b)

则x?y?mx?5y?6=x?y?(a?b)x?(b?a)y?ab 222222

?a?b?m?a??2?a?2???比较对应的系数可得:?b?a?5,解得:?b?3或?b??3

?ab??6?m?1?m??1???

∴当m??1时,原多项式可以分解;

当m?1时,原式=(x?y?2)(x?y?3);

当m??1时,原式=(x?y?2)(x?y?3)

(2)分析:x?ax?bx?8是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如x?c的一次二项式。

解:设x?ax?bx?8=(x?1)(x?2)(x?c)

则x?ax?bx?8=x?(3?c)x?(2?3c)x?2c 32323232

?a?3?c?a?7??∴?b?2?3c,解得?b?14,

?2c?8?c?4??

∴a?b=21

练习17、(1)分解因式x?3xy?10y?x?9y?2

7 22

22(2)分解因式x?3xy?2y?5x?7y?6

22(3)已知:x?2xy?3y?6x?14y?p能分解成两个一次因式之积,求常

数p并且分解因式。

x2?2xy?ky2?3x?5y?2能分解成两个一次因式的乘积,(4)k为何值时,

并分解此多项式。

8

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