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八年级数学14章因式分解教案

发布时间:2013-11-30 13:45:29  

复习:一、去括号法则:a+(b+c)=a+b+c a-(b+c)=a-b-c

添括号法则:a+b+c=a+(b+c) a+b+c=a-(-b-c)

二、乘法公式的深化应用.

例:计算(1)(x+2y-3)(x-2y+3) (2)(a+b+c)2

(3)(x+3)2-x2 (4)(x+5)2-(x-2)(x-3)

423534 (5)28xy÷7x (6)-5abc÷15ab

23243 42 (7)(2xy)·(-7xy)÷12xy (8)5(2a+b)÷(2a+b)

§15.5.1 提公因式法

2 (1)20×(-3)+60×(-3)

22 (2)101-99

22 (3)57+2×57×43+43

(学生在运算与交流中积累解题经验,复习乘法公式)

2 解:(1)20×(-3)+60×(-3)

=20×9+60×-3

=180-180=0

2 或20×(-3)+60×(-3)

2 =20×(-3)+20×3×(-3)

=20×(-3)(-3+3)=-60×0=0.

22 (2)101-99=(101+99)(101-99)

=200×2=400

22 (3)57+2×57×43+43

22 =(57+43)=100

=10000.

在上述运算中,大家或将数字分解成两个数的乘积,或者逆用乘法公式使运算变得简单易行,类似地,在式的变形中,?有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式,这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解.

把下列多项式写成整式的乘积的形式

2 (1)x+x=_________

2 (2)x-1=_________

(3)am+bm+cm=__________

根据整式乘法和逆向思维原理,可以做如下计算:

2 (1)x+x=x(x+1)

2 (2)x-1=(x+1)(x-1)

(3)am+bm+cm=m(a+b+c)

[师]像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解,也叫把这个多项式分解因式.

可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形,所以需要逆向思维.

再观察上面的第(1)题和第(3)题,你能发现什么特点.

我发现(1)中各项都有一个公共的因式x,(2)中各项都有一个公共因式m,是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢?

因为ma+mb+mc=m(a+b+c).

于是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,?其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商,?像这种分解因式的方法叫做提公因式法.

2.例题教学,运用新知.

[例1]把8ab-12abc分解因式.

[例2]把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.

3 [例3]把3x-6xy+x分解因式.

32 [例4]把-4a+16a-18a分解因式.

[例5]把6(x-2)+x(2-x)分解因式.

323 [例1]分析:先找出8ab与12abc的公因式,再提出公因式.?我们看这两项的系

323数8与12,它们的最大公约数是4,两项的字母部分ab与abc都含有字母a和b.其中a

22的最低次数是1,b的最低次数是2.我们选定4ab为要提出的公因式.提出公因式4ab后,

2?另一个因式2a+3bc就不再有公因式了.

32222222 解:8ab+12abc=4ab·2a+4ab·3bc=4ab(2a+3bc).

总结:提取公因式后,要满足另一个因式不再有公因式才行.可以概括为一句话:括号里面分到“底”,这里的底是不能再分解为止.

[例2]分析:(b+c)是这两个式子的公因式,可以直接提出.这就是说,公因式可以是单项式,也可以是多项式,是多项式时应整体考虑直接提出.

解:2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).

2 [例3]解:3x-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1=x(3x-6y+1).

22 注意:x(3x-6y+1)=3x-6xy+x,而x(3x-6y)=3x-6xy,?所以原多项式因式分解为x

(3x-6xy+1)而不是x(3x-6y).这就是说,1作为项的系数,通常可以省略,?但如果单独成一项时,它在因式分解时不能漏掉,可以概括为:某项提出莫漏1.

32 [例4]解:-4a+16a-18a

32 =-(4a-16a+18a)

2 =-2a(2a-8a+9)

注意:如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的.在提出“-”号时,多项式的各项都要变号.可以用一句话概括:首项有负常提负.

[例5]分析:先找6(x-2)与x(2-x)的公因式,再提取公因式.因为2-x=-(x-2),?所以x-2即公因式.

解:6(x-2)+x(2-x)

=6(x-2)-x(x-2)

=(x-2)(6-x).

总结:有时多项式的各项从表面上看没有公因式,但将其中一些项变形后,?但可以发现公因式,然后再提取公因式.

§15.5.2.1 公式法(一)

问题1:你能叙述多项式因式分解的定义吗?

问题2:运用提公因式法分解因式的步骤是什么?

22 问题3:你能将a-b分解因式吗?你是如何思考的?

1.多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用,?也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式.

2.提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式,如果没有公因式,?就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解.

3.对不能使用提公因式法分解因式的多项式,不能说不能进行因式分解.

22 要将a-b进行因式分解,可以发现它没有公因式,?不能用提公因式法分解因式,但我

们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式,所以用平方差公式可以写成如下形式: 323

a-b=(a+b)(a-b).

多项式的乘法公式的逆向应用,就是多项式的因式分解公式,如果被分解的多项式符合公式的条件,就可以直接写出因式分解的结果,这种分解因式的方法称为运用公式法.今天我们就来学习利用平方差公式分解因式.

22 观察平方差公式:a-b=(a+b)(a-b)的项、指数、符号有什么特点?

(1)左边是二项式,每项都是平方的形式,两项的符号相反.

(2)右边是两个多项式的积,一个因式是两数的和,另一个因式是这两数的差.

(3)在乘法公式中,“平方差”是计算结果,而在分解因式,?“平方差”是得分解因式的多项式.

由此可知如果多项式是两数差的形式,并且这两个数又都可以写成平方的形式,那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.

[做下列填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式.?也可以对积

22的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间的复习,避免出现4a=(4a)?这一类错误]

填空:

22 (1)4a=( );

(2)22422b=( ); 9

42 (3)0.16a=( );

222 (4)1.21ab=( );

142x=( ); 4

4422 (6)5xy=( ). 9 (5)2

例题解析:

[例1]分解因式

222443 (1)4x-9 (2)(x+p)-(x+q) (1)x-y (2)ab-ab

可放手让学生独立思考求解,然后师生共同讨论,纠正学生解题中可能发生的错误,并对各种错误进行评析.

[师生共析]

[例1](1)

中的2x,(2)中的x+p?相当于平方差公式中的a;(1)中的3,(2)中的x+q相当于平方差中的b,进而说明公式中的a与b?可以表示一个数,也可以表示一个单项式,甚至是多项式,渗透换元的思想方法)

442222 [例2](1)x-y可以写成(x)-(y)的形式,这样就可以利用平方差公式进行因

2222

式分解了.但分解到(x+y)(x-y)后,部分学生会不继续分解因式,针对这种情况,可

以回顾因式分解定义后,?让学生理解因式分解的要求是必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止.

3 (2)不能直接利用平方差公式分解因式,但通过观察可以发现ab-ab?有公因式ab,

应先提出公因式,再进一步分解.

44 解:(1)x-y

2222 =(x+y)(x-y)

22 =(x+y)(x+y)(x-y).

32 (2)ab-ab=ab(a-1)=ab(a+1)(a-1).

把下列各式分解因式

22 2 (1)36(x+y)-49(x-y) (2)(x-1)+b(1-x)

(x?y)2(x?y)2

(3)(x+x+1)-1 (4)-. 4422

§15.5.3.2 公式法(二)

问题1:根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法,?分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式?能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点?

问题2:把下列各式分解因式.

22 22 (1)a+2ab+b (2)a-2ab+b

将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理,把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.

两个数的平方和,加上(或减去)这两数的积的2倍,?等于这两个数的和(或差)的平方.

22222 问题2其实就是完全平方公式的符号表示.即:a+2ab+b=(a+b),a-2ab+b(a-b)

2.

[师]今天我们就来研究用完全平方公式分解因式.

下列各式是不是完全平方式?

2 (1)a-4a+4

22 (2)x+4x+4y

(3)4a+2ab+

22 212 b4 (4)a-ab+b

2 (5)x-6x-9

2 (6)a+a+0.25

2222 结果:(1)a-4a+4=a-2×2·a+2=(a-2)

(3)4a+2ab+

2212111222 b=(2a)+2×2a·b+(b)=(2a+b)4222222 (6)a+a+0.25=a+2·a·0.5+0.5=(a+0.5)

[例1]分解因式:

222 (1)16x+24x+9 (2)-x+4xy-4y

222 (1)3ax+6axy+3ay (2)(a+b)-12(a+b)+36

2222 [例1](1)分析:在(1)中,16x=(4x),9=3,24x=2·4x·3,所以16x+12x+9

是一个完全平方式,即

解:(1)16x+24x+9

22 =(4x)+2·4x·3+3

2 =(4x+3).

(2)分析:在(2)中两个平方项前有负号,所以应考虑添括号法则将负号提出,然后

22再考虑完全平方公式,因为4y=(2y),4xy=2·x·2y.

所以: 2

解:-x+4xy-4y=-(x-4xy+4y)

22 =-[x-2·x·2y+(2y)]

2 =-(x-2y).

练一练: 把下列多项式分解因式:

222 (1)6a-a-9; (2)-8ab-16a-b;

23222 (3)2a-a-a; (4)4x+20(x-x)+25(1-x)

2222

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