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华东师大版数学八年级上14.1.2直角三角形的判定

发布时间:2013-11-30 15:35:03  

§14.1.2 直角三角形的判定

温故知新

直角三角形有哪些性质?
(1)有一个角是直角;

(2)两个锐角的和为90°(互余 ); (3)两直角边的平方和等于斜边的平方
(勾股定理)。

反之,一个三角形满足什么条件 才能是直角三角形呢?

深思熟虑
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?

(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形;

(2)有两个角的和为90°的三角形是直角三角形; (3)如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足a +b =c , 那么这个三角形是直角三角形吗
2 2 2

???

你知道吗
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13)

* * * * * * * * * * * * * 据说,古埃及人曾用下面的方法画直角:
他们用13个等距离的结把一根绳 子分成等长的12段,一个工匠同时握 住绳子的第1个结和第13个结,两个 助手分别握住第4个结和第8个结,拉 紧绳子,就会得到一个直角三角形,其 直角在第4个结处.
(8)

(13)
(1) (12) (11)

* * * * * * * * * * * * 你想知道这是什么道理吗?
(2)
(3) (10) (9)

(4)

(5)

(6)

(7)

探究1
动 手 画 一 画
分别以下列两组数据为三 角形的边长,画出两个三角形. (单位:cm)
(1) a=6, b=8, c=10; (2) a=5, b=12, c=13 (3) a=4, b=6, c=8; (4) a=6, b=7, c=8.

观察并说说三角形的形状.

问题:(1)先计算、测量,再填表:

项目 三角形(1)
三角形(2)

三边的平方关系 三角形类型(按角分类)

a ?b
2

2

=
= <

c

2

直角三角形 直角三角形
钝角三角形 锐角三角形

a 2 ? b2 a 2 ? b2 a ?b
2 2

c2 c2 c
2

三角形(3)
三角形(4)

>

(2)请同学们认真观察思考上表中四个三角形的边长与它是 否是直角三角形有什么关系?
若三边长满足 a ? b ? c ,则该三角形是直角三角形.
2 2 2

如果三角形的三边长a,b,c满足 那么这个三角形是直角三角形. 几何表述语言:
A
c B a b C

a 2 ? b2 ? c2 ,

∵△ABC的三边长a,b,c满足 ∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°.

a 2 ? b2 ? c2 ,

已知:如图,在△ABC中,AB=c, BC=a, AC=b, a2 =c2 +b2 ,求证:∠c=90°
证明:如图,作△A′B′C′ 使∠C′=90° A′C′=b,B′C′=a 则A′B′2=a2+b2=c2 即A′B′=c 在△ABC和△A′B′C′中, ∵BC=a=B′C′ AC=b=A′C′ AB=c=A′B′ ∴△ABC≌△A′B′C′ ∴∠C=∠C′=90°
A

B

C A′

B′

C′

典例剖析

例1:判断由线段a,b,c组成的三
(2) a=13,b=11,c=9 分析:根据勾股定理
的逆定理, 判断一个三 角形是不是直角三角 形, 只要看两条较短边 长的平方和是否等于 最长边长的平方.

角形是不是直角三角形? (1) a=7,b=25,c=24; 解:(1)最长边为25 ∵a2+c2=72+242 =49+576 =625 b2=252 =625 ∴a2+c2=b2 ∴以7, 25, 24为边长的
三角形是直角三角形.

数形结

合思想

练一练
练习1、下面以a,b,c为边长的△ABC是 不是直角三角形?如果是那么哪一个角是直 角? 是 ∠_____ ; C=900 (1) a=6 b=8 c=10 ____ (2) a=12 b=8 c=15 不是 ____ _____ ;

(3) a=8 b=6 c=5
(4) a=1 b=2 c= 3

不是 _____

_____ ;

____ ∠ _____0; 是 B=90

原来如此

据说,古埃及人曾用下面的方 法画直角:他们用13个等距离 A 的结把一根绳子分成等长的12 段,一个工匠同时握住绳子的第 1个结和第13个结,两个助手分 C B 别握住第4个结和第8个结,拉 紧绳子,就会得到一个直角三角 解:如图,设每两个结的 形,其直角在第4个结处. 距离为a(a>0),则 AC=3a,BC=4a,AB=5a.
(13) (1) (2) (3) (4)

∵AC 2 +BC 2=? 3a ? 2+? 4a ? 2=25a 2 AB 2=? 5a ? 2=25a 2 ∴AC 2 +BC 2=AB 2 从而 ?ACB=90?

* * * * * * * * * * * *
(12)
(11) (10) (9) (5) (6) (7)

(8)

例 2,已知△ABC,AB=n2 -1,BC=2n,AC=n2 +1 (n为大于1的正整数) 试问△ABC是直角三角形吗?若是,哪一条边所对 的角是直角?请说明理由
解:∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2 =n 4 -2n2+1+4n2 先确定AB、BC、AC、 4 =n +2n2+1 的大小 =(n2+1)2 =AC2 ∴△ABC直角三角形,边AC所对的角 是直角。

试一试,我能行 1, 设三角形三边长分别为下列各组数,试判断 各三角形是否是直角三角形。 (1)12 ,16 ,20 (2)12 ,35 ,37 先找最长边 (3)1.5 ,2 ,3.5

能够成为直角三角形三边长的三个正整数, 称为勾股数。例如3 ,4 ,5 ;6, 8, 10; n21,2n,n2+1(n为大于1的正整数)等都是勾股数。

学有所得
运用勾股定理逆定理的步骤有哪些?
(1)首先确定最大边(如c). (2)验证:c2与a2+b2是否具有相等关系. 若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形.

若c2≠a2+b2,则△ABC不是直角三角形.
勾股数 满足a2+b2=c2的三个正整数,称为一组勾股数. 如:3、4、5;5、12、13…

作业:
1,下列各组数中,是勾股数的是( ) A 2,3,4 B 1.5, 2,3 C 9, 12, 15 D 7, 8, 9 2,在△ABC中,三边长分别是8,15,17,则这个三角形是__ 它的面积是__。 3,若三角形的三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n=__时,此三 角形是直角三角形。 4, 在△ABC中,BC=6,AC=5,BC边上中线长为4,则S△ABC=____

5,已知:在△ABC中,AB=15cm,AC=20cm,BC=25cm B AD是BC边上的高,求AD的长。
25 D
15 A C

20


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