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3.4 用尺规作三角形

发布时间:2013-11-30 15:35:03  

第三章

三角形

4 用尺规作三角形

? 豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分, 他想在作业本上画出一个与书上完全一 样的三角形,他该怎么办? 你能帮他画出来吗?

回顾基本作图 解决方法

边 角 三角形的基本元素是___和___。
你会用尺规作一条线段等于已知线段吗? 自己动手试一试! 你会用尺规作一个角等于已知角吗? 你能利用尺规作一个三角形与已知三角 形全等吗?

1、已知三角形的两角及其夹边,求作这 个三角形。 已知:∠α,∠β,线段c。

α

β

c

求作:△ABC,使∠A=∠α ,∠B=∠β ,AB=c。 C 你能作出这个 假设这个 β α 三角形吗? B A c 三角形已 作出

1、已知三角形的两角及其夹边,求作这 个三角形。
C α c β

A

B

角 边 对于边和角,你想先作__,再作__, 角 最后作__。

E C

D C

A

α c

β

B

A B

F

作法: 你所作的三角形与 (1)作∠DAF=∠α; 同伴所作的三角形 (2)在射线AF上截取线段AB=c;比较,它们全等吗? (3)以B为顶点,以BA为一边, 为什么? 作∠ABE=∠β,BE交AD于点C。

△ABC就是所求作的三角形。

1、已知三角形的两角及其夹边,求作这 个三角形。 回顾刚才作三 角形的顺序 角 夹 边 角 还有没有其 他的作法? 夹 边 角



1、已知三角形的两角及其夹边,求作这个 三角形。
C A

α
c

β

B

边 角 对于边和角,你想先作__,再作__,最 后作__。 角 请按照给出的作法作出图形

C α β

E C B A B

D

A

c

作法:(1)作线段AB=c; (2)以A为顶点,以AB为一边,作∠DAB=∠α ; (3)以B为顶点,以BA为一边,作∠ABE=∠β, BE交AD于点C。 你现在能帮助 豆豆画出三角 △ABC就是所求作的三角形。 形了吗?

2、已知三角形的两边及夹角,求作这个 三角形。 已知:线段a , c , ∠α。
a c α

求作:△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α。

假设这个 三角形已 作出

A c B α a C

2、已知三角形的两边及夹角,求作这 A 个三角形。
c a c α B α C

a

边 角 对于边和角,你想先作__,再作__, 最后作__。 边
请按照给出的作法作出图形

A c a c

α

α
B a

C

作法:(1)作一条线段BC=a (2)以B为顶点,以BC为一边,作角∠DBC=∠α
(3)在射线BD上截取线段BA=c (4)连接AC
D

△ABC就是所求作的三角形。 你所作的三角形与同伴 所作的三角形比较,它 们全等吗?为什么?

A

B

C

2、已知三角形的两边及夹角,求作这 个三角形。 回顾刚才作三 角形的顺序 边

夹角




还有没有其他 的作法?

夹角 边

2、已知三角形的两边及夹角,求作 这个三角形。 a c α 已知:线段a , c , ∠α。 求作:△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α。 角 边 对于边和角,你想先作_

_,再作__, 最后作__。 边
c B

A α
a C

尝试自己作图,并 用语言表述作法

D

A

作法: (1)作∠DBE=∠α (2)在射线BD、BE上分别截取BA=c,BC=a (3)连接AC △ABC就是所求作的三角形。

B

C

E

你知道的常用作图语 言有哪些呢? (1)作∠···=∠ ··· ; (2)在···上截取,使··· = ··· ; (3)以···为顶点,以···为一边,作 ∠ ··· =∠ ··· ; (4)作一条线段··· = ··· ; (5)连接·· ,或连接··交··于点· · ; (6)分别以·· , ··为圆心,以·· , ···画弧,两弧交于···点;

3.已知三角形的三条边,求作这个三角 形。 已知:线段 a,b,c。
a b c

求作:△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a。 尝试自己分析并作出这个三角形、写出 作法。

3.已知三角形的三条边,求作这个三角形。 已知:线段 a,b,c。
a b c
A

求作:△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a。 作法: (1)作一条线段BC=a; (2)分别以B,C为圆心,以 c, C b为半 径画弧,两弧交于A点; B 你所作的三角形与 (3)连接AB,AC。 同伴所作的三角形 △ABC就是所求作的三角形。 比较,它们全等吗? 为什么?

经过前面的实践,我们如何来分析作图 题呢?
1、假设所求作的图形已经作出,并在 草稿纸上作出草图; 2、在草图上标出已给的边、角的对应 位置; 3、从草图中首先找出基本图形,由此 确定作图的起始步骤; 4、在3的基础上逐步向所求图形扩展。

1、你能用尺规作一个直角三角形,使其 两条直角边分别等于已知线段a,b吗?并 写出作法。
a b

分析:先在草纸上画出一个假设的“已作 出的三角形”,会发现是“已知两边及夹 角求作三角形”,所以按照此方法作图。

已知:直角,线段a,b 求作:直角三角形ABC,使BC=a,AC=b
D B

作法: (1)作∠DCE=90° C A (2)在射线CD、CE上分别截取CB=a,CA=b (3)连接AB △ABC就是所求作的三角形。

E

2、已知∠α和∠β、线段a,用尺规作一个 三角形,使其一个内角等于∠α,另一个内 角等于∠β ,且∠α的对边等于a。
α

β

a

提示:先作出一个角等于∠α+∠β,通过 反向延长角的一边得到它的补角,即三角形 中的第三个内角∠ γ 。由此转换成已知 ∠β 和∠ γ及其这两角的夹边a,求作这 个三角形。

你所作的三角形与同伴所作的三角形比 较,它们全等吗?为什么?
β
γ α

F

G

A
α

作法:1、作∠α+∠β的补角∠ γ 2、作∠GBE= ∠β γ E β 3、在射线BE上截取BC=a B a C 4、以C为顶点,CB为一边作∠FCB= ∠ γ 5、射线BG与射线CF相交于点A △ABC就是所求作的三角形。

已知线段a,b和∠α,求作△ABC,使其 有一个内角等于∠α,且∠α的对边等 于a,另有一边等于b。
a b α

分析:先在草纸上画

出一个假设的“已作 出的三角形”;然后在草图上标出已给的 边、角的对应位置;再找出边与角,确定 作图的顺序。

C C' α A b a a

N

B

M

作法: 1、作∠MAN=∠α

同样是已知两边及 一角,为什么会出 现两个三角形呢? 你从中可以感悟到 什么?

2、在射线AM上截取AB=b 3、以B为圆心,以a为半径画弧,交AN 于点C, C' 4、连接BC,BC' △ABC和△ABC'就是所求作的三角形。

D C' α a C E a b

C

N

A c B α

a

A

B

M

两边及夹角

两边及一边的对角

感悟:已知三角形的两边及一角并不都 能只确定一个三角形。当已知两边及夹 角时可以确定一个三角形,因此可以用 来判定两个三角形全等;而当已知两边 及一边的对角时,会画出两个不同的三 角形,因此不能用来作为判别两个三角 形全等的条件。

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