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第13章二次函数

发布时间:2013-11-30 16:34:55  

第13章 二次函数

一、选择题

1.(2012菏泽)已知二次函数y?ax2?bx?c的图像如图所示,那么一次函数y?bx?c和反比例函数y?a在同一平面直角坐标系中的图像大致是( )

x

A.

B.

C. D.

2.(2012?烟台)已知二次函数y=2(x﹣3)2+1.下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=﹣3;③其图象顶点坐标为(3,﹣1);④当x<3时,y随x的增大而减小.则其中说法正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.(2012?广州)将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为( )

A.y=x2﹣1 B.y=x2+1 C.y=(x﹣1)2 D.y=(x+1)2

4.(2012泰安)将抛物线y?3x向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为( )

A.y?3(x?2)?3 B.y?3(x?2)?3 C.y?3(x?2)?3 D.y?3(x?2)?3

5.(2012泰安)二次函数y?ax?bx的图象如图,若一元二次方程222222

ax2?bx?m?0有实数根,则m 的最大值为( )

A.?3 B.3 C.?6

2D.9 6.(2012泰安)二次函数y?a(x?m)?n的图象如图,则一次函数

y?mx?n的图象经过( )

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限

D.第一、三、四象限

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7.(2012泰安)设A(?2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y??(x?1)2?a上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为( )

A.y1?y2?y3 B.y1?y3?y2 C.y3?y2?y1 D.y3?y1?y2

8.(2012?乐山)二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(﹣1,0).设t=a+b+1,则t值的变化范围是( )

A.0<t<1 B.0<t<2 C.1<t<2 D.﹣1<t<1

9.(2012?衢州)已知二次函数y=﹣x2﹣7x+,若自变量x分别取x1,x2,x3,且0<x1<x2<x3,则对应的函数值y1,y2,y3的大小关系正确的是( )

A.y1>y2>y3 B.y1<y2<y3 C.y2>y3>y1 D.y2<y3<y1

10.(2012义乌市)如图,已知抛物线y1=﹣2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2,取y1、y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.例如:当x=1时,y1=0,y2=4,y1<y2,此时M=0.下列判断:

①当x>0时,y1>y2; ②当x<0时,x值越大,M值越小;

③使得M大于2的x值不存在; ④使得M=1的x值是其中正确的是( )

A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 或.

11.(2012?杭州)已知抛物线y=k(x+1)(x﹣)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是( )

A.2 B.3 C.4 D.5

12.(2012?扬州)将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得抛物线的函数关系式是( )

A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2-2 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2-2

13.(2012?资阳)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )

A.﹣1<x<5 B.x>5 C.x<﹣1且x>5 D.x<﹣1或x>5

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14.(2012?德阳)在同一平面直角坐标系内,将函数y=2x2+4x+1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度,得到图象的顶点坐标是( )

A.(﹣1,1) B.(1,﹣2) C.(2,﹣2) D.(1,﹣1)

15.(2012?德阳)设二次函数y=x2+bx+c,当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,那么c的取值范围是( )

A.c=3 B.c≥3 C.1≤c≤3 D.c≤3

16.(2012?兰州)抛物线y=-2x2+1的对称轴是( )

A.直线 B.直线 C.y轴

D.直线x=2 17.(2012张家界)当a≠0时,函数y=ax+1与函数y=在同一坐标系中的图象可能是(

A. B.

C.

D.

18.(2012宜宾)给出定义:设一条直线与一条抛物线只有一个公共点,只这条直线与这条抛物线的对称轴不平行,就称直线与抛物线相切,这条直线是抛物线的切线.有下列命题:

①直线y=0是抛物线y=x2的切线

②直线x=﹣2与抛物线y=x2 相切于点(﹣2,1)

③直线y=x+b与抛物线y=x2相切,则相切于点(2,1)

④若直线y=kx﹣2与抛物线y=x2 相切,则实数k=

其中正确命题的是( )

A. ①②④ B. ①③ C. ②③ D. ①③④

19.(2012潜江)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两

个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b﹣2a=0;②abc<0;

③a﹣2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有( )

A.3个 B.2个 C.1个 D.0个

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二、填空题

1.(2012绍兴)教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y??1(x?4)2?3,由此可知铅球推出的距离是。

12

2.(2012?扬州)如图,线段AB的长为2,C为AB上一个动点,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE,那么DE长的最小值是 .

3.(2012无锡)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数关系式为 .

4.(2012广安)如图,把抛物线y=x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(﹣6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为 .

5.(2012苏州)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=(x﹣1)2+1的图象上,若x1>x2>1,则y1 y2(填“>”、“<”或“=”).

6.(2012深圳)二次函数y?x?2x?6的最小值是.

- 4 - 2

三、解答题

【1.2012临沂】

26.如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.

(1)求点B的坐标;

(2)求经过点A.O、B的抛物线的解析式;

(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.

- 5 -

【2.2012菏泽】

21.如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′O.

(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;

(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍?若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)在(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出四边形PB′A′B的两条性质.

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【3. 2012义乌市】

24.如图1,已知直线y=kx与抛物线y

=

(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;

(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;

(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?

交于点A(3,6).

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【4.2012?杭州】

22.在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数y=k(x2+x﹣1)的图象交于点A(1,k)和点B(﹣1,﹣k).

(1)当k=﹣2时,求反比例函数的解析式;

(2)要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;

(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.

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【5.2012?烟台】

26.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.

(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;

(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?

(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.

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【6.2012?益阳】

20.已知:如图,抛物线y=a(x﹣1)2+c与x轴交于点A(

向上翻折,顶点P落在点P'(1,3)处.

(1)求原抛物线的解析式;

(2)学校举行班徽设计比赛,九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感:过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点,将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉,设计成一个“W”型的班徽,“5”的拼音开头字母为W,“W”图案似大鹏展翅,寓意深远;而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比

的高与宽的比到底是多少?(参考数据:,(约等于0.618).请你计算这个“W”图案,结果可保留根号)

,0)和点B,将抛物线沿x轴

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【7.2012?广州】

24.如图,抛物线y=

C.

(1)求点A、B的坐标;

(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;

(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.

与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点

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【8. 2012成都】

28. (本小题满分l2分)

如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y?5x?m (m为常数)的图象与x轴交于点A(?3,4

0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线y?ax2?bx?c (a,b,c 为常数,且a≠0)经过A,C两点,并与x轴的正半轴交于点B.

(1)求m的值及抛物线的函数表达式;

(2)设E是y轴右侧抛物线上一点,过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积;若不存在,请说明理由;

(3)若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点,过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1) ,M2(x2,y2)两点,试探究

过程.

M1P?M2P 是否为定值,并写出探究M1M2

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【9. 2012铜仁】

25.如图,已知:直线y??x?3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C(1,0)三点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线y??x?3上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似,求出点P的坐标;

(3)在(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上,是否存在点E,使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由.

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【10. 2012泰安】

29.如图,半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,点C的坐标为(1,0)

.若抛物线y??2x?bx?c过A、B两点. 3

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线上是否存在点P,使得∠PBO=∠POB?若存在,求出点P的坐标;若不存在说明理由;

(3)若点M是抛物线(在第一象限内的部分)上一点,△MAB的面积为S,求S的最大(小)值.

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【11. 2012?乐山】

26.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物线经过

A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m<n)分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.

①当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标;

②求△BOD 面积的最大值,并写出此时点D的坐标.

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【12. 2012?衢州】

24.如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F.抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点.

(1)求该抛物线的函数解析式;

(2)点P为线段OC上一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)若△AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S.试探究S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

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【13. 2012绍兴】

25.如图,矩形OABC的两边在坐标轴上,连接AC,抛物线y?x2?4x?2经过A,B两点。

(1)求A点坐标及线段AB的长;

(2)若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动,1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO,OC,CB边向点B移动,当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动,点P的移动时间为t秒。

①当PQ⊥AC时,求t的值;

②当PQ∥AC时,对于抛物线对称轴上一点H,∠HOQ>∠POQ,求点H的纵坐标的取值范围。

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【14. 2012?扬州】

27.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数关系式;

(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;

(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

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【15.2012上海】

24.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C,点D在线段OC上,OD=t,点E在第二象限,∠ADE=90°,tan∠DAE=,EF⊥OD,垂足为F.

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)求线段EF、OF的长(用含t的代数式表示);

(3)当∠ECA=∠OAC时,求t的值.

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【16. 2012广东】

22.如图,抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC、AC.

(1)求AB和OC的长;

(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作直线l平行BC,交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;

(3)在(2)的条件下,连接CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).

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【17. 2012嘉兴】

24.在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线:y=x2上的动点(点在第一象限内).连接 OP,过点O作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连接PQ,交y轴于点M.作PA丄x轴于点A,QB丄x轴于点B.设点P的横坐标为m.

(1)如图1,当m=时,

①求线段OP的长和tan∠POM的值;

②在y轴上找一点C,使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,求点C的坐标;

(2)如图2,连接AM、BM,分别与OP、OQ相交于点D、E.

①用含m的代数式表示点Q的坐标;

②求证:四边形ODME是矩形.

- 21 -

【18. 2012贵州安顺】

26.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且18a+c=0.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.

①移动开始后第t秒时,设△PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围.

②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.

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【19. 2012?资阳】

25.抛物线的顶点在直线y=x+3上,过点F(﹣2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边),MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B.

(1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示),再求m的值;

(2)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB;

(3)若射线NM交x轴于点P,且PA?PB=,求点M的坐标.

- 23 -

【20. 2012?湘潭】

26.如图,抛物线

知B点坐标为(4,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;

(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已标.

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