haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

初三 2-2 角平分线的性质与判定

发布时间:2013-11-30 16:34:57  

中国教育培训领军品牌

环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义

讲义编号: ______________ 副校长/组长签字: 签字日期:

角平分线的性质及判定

【考纲说明】

1、能够作已知角的角平分线,并会熟练地写出已知、求作和作法,可以说明为什么所作的直线是角平分线。

2、理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。

3、掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。

4、本部分在中考中占2分。

【趣味链接】

小亮的妈妈是玩具厂的工人,她的工作就是在三角形的钢板上画角的平分线,一天爱动脑筋的小亮替妈妈做了一个平分角的仪器,在这个仪器中:AB=AD,DC=BC,沿AC画一条射线AE, 则AE就是∠DAB平分线,同学们能说明它的道理吗?

1

中国教育培训领军品牌

【知识梳理】

一、角平分线的作法(尺规作图)

1、以点O为圆心,任意长为半径画弧,交OA、OB于C、D两点;

2、分别以C、D为圆心,大于CD长为半径画弧,两弧交于点P;

3、过点P作射线OP,射线OP即为所求。

二、角平分线的性质及判定

1、角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

(1)推导

已知:OC平分∠MON,P是OC上任意一点,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为点A、点B。 求证:PA=PB。

证明:∵PA⊥OM,PB⊥ON∴∠PAO=∠PBO=90°∵OC平分∠MON∴∠1=∠2

在△PAO和△PBO中,∴△PAO≌△PBO∴PA=PB

(2)几何表达:(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)

如图所示,∵OP平分∠MON(∠1=∠2),PA⊥OM,PB⊥ON,∴PA=PB。

2、角平分线的判定:到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

2

中国教育培训领军品牌

(1)推导

已知:点P是∠MON内一点,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,且PA=PB。 求证:点P在∠MON的平分线上。

证明:连结OP

在Rt△PAO和Rt△PBO中,∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)∴∠1=∠2

∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上。

(2)几何表达:(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。)

如图所示,∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA=PB∴∠1=∠2(OP平分∠MON)。

【经典例题】

【例1】(2009温州)如图,OP平分?AOB,PA?OA,PB?OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( )

A、PA?PB B、PO平分?APB C、OA?OB D、AB垂直平分OP

【例2】(2007中山)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( )

A、三条中线的交点 B、三条高的交点

D、三条角平分线的交点 C、三条边的垂直平分线的交点

3

中国教育培训领军品牌

【例3】(2007义乌)如图,点P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AC于点E.已知PE=3,则点P到AB的距离是( )

A、3 B、4 C、5 D、6

【例4】已知:如图所示,∠C=∠C′=90°,AC=AC′。

求证:(1)∠ABC=∠ABC′;

(2)BC=BC′(要求:不用三角形全等判定)。

【例5】如图所示,已知△ABC中,PE∥AB交BC于E,PF∥AC交BC于F,P是AD上一点,且D点到PE的距离与到PF的距离相等,判断AD是否平分∠BAC,并说明理由。

4

中国教育培训领军品牌

【例6】如图所示,已知△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,那么AP能否平分∠BAC?请说明理由。由此题你能得到一个什么结论?

【例7】(2009怀化中考)如图,P是∠BAC内的一点,PE?AB,PF?AC,垂足分别为点

AE?AF。

E,F,

求证:(1)PE?PF;

(2)点P在∠BAC的角平分线上。

【例8】如图,在△ABC中,AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E 求证:(1)∠EAD=∠EDA ;

(2)DF∥AC;

(3)∠EAC=∠B。

5

中国教育培训领军品牌

【例9】如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证:CM=2BM。

【例10】如图10,PA=PB,∠1+∠2=180?。求证:OP平分∠AOB。

AO图10

【课堂练习】

1、(2009厦门)如图,在ΔABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米,BC=8厘米,则点D到直线AB的距离是_____厘米。

2、(2010珠海)如图,P是菱形ABCD对角线BD上一点,PE⊥AB于点E,PE=4cm,则点P到BC的距离是_____cm。

6

中国教育培训领军品牌

3、如图所示,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,则∠PCA= 。

A

OBM

4、如图所示,在?ABC中,∠C=90°,折叠后,使A、B两点重合,得到折痕ED,再沿BE折叠,C点恰好与D点重合,则∠A等于度。 C

E

ADB5、如图,在ΔABC中,BC=5 cm,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则ΔPDE的周长是________ cm。 A P B D E C

【课后作业】

1、如图1,在△ABC中,AD平分∠CAE,∠B=30?,∠CAD=65?,则∠ACD等于 ( )

A、50? B、65? C、80? D、95?

2、如图2,在△ABD中,AD=4,AB=3,AC平分∠BAD,则S?ABC:S?ACD=( )

A、3:4 B、4:3 C、16:19 D、不能确定

3、如图3,在△ABC中,∠C=90?,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论:①AD平分∠CDE; ②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB。其中正确的有 ( )

A、2个 B、3个 C、4个 D、1个

7

中国教育培训领军品牌

4、如图4,AD∥BC,∠D=90?,AP平分∠DAB,PB平分∠ABC,点P恰好在CD上,则PD与PC的大小关系是 ( )

A.PD>PC B.PD<PC C.PD=PC D.无法判断

B图1 DABDBADP图2 C图3 图4 C

5、如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BE平分∠ABC交AD于E,F在BC上,并且BF=AB,则下列四个结论:①EF∥AC,②∠EFB=∠BAD,③AE=EF,④△ABE≌△FBE,其中正确的结论有( )

A、①②③④ B、①③ C、②④ D、②③④

B

C

D

6、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是∠ABC的平分线,交AC于点D,若CD=n,AB=m,则△ABD的面积是( )

A、1mn B、mn C、2mn D、mn 1

213

7、如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于F,

若BF=AC,则∠ABC的度数是 。

8

中国教育培训领军品牌

8、如图:E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足为C,D。

求证:(1)OC=OD,(2)DF=CF。

CA

OFDB9、如图:AB=AC,BD=CE。求证:OA平分∠BAC。

A

E

CDOB

10、如图:在△ABC中,∠B,∠C相邻的外角的平分线交于点D。求证:点D在∠A的平分线上。

A

C

B

9

中国教育培训领军品牌

【课后反馈】

本次______________同学课堂状态:_________________________________________________________________ 本次课后作业:___________________________________________________________________________________ 需要家长协助:____________________________________________________________________________________ 家长意见:________________________________________________________________________________________

【参考答案】

【经典例题】

1、D 2、D 3、A 4、略 5、AD平分角BAC 6、AP平分角BAC 7、略 8、略 9、略 10、略

【课堂练习】

1、6 2、4 3、55。 4、30。 5、5

【课后作业】

1、D 2、B 3、B 4、C 5、A 6、B 7、45。 8、略 9、略 10、略

10

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com