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第八节 二阶常系数齐次方程

发布时间:2013-12-01 12:23:28  

第七章 微分方程
第七节 二阶齐次微分方程

二阶常系数齐次线性方程的解法

y?? ? py? ? qy ? 0 ( p, q 是常数)
猜想特解形式:

(1)

y ? e ( r 为待定常数 ),
rx

故有 r 2 ? pr ? q ? 0

(2)

称方程(2)为方程(1)的特征方程, 其根 r1 , r2 称为特征根.

二阶常系数齐次线性方程的解法 1. 特征方程(2)有两个不相等的实根 r1 , r2 . (1)的通解为

y ? C1e r1 x ? C 2e r2 x (C1 , C2 为任意常数)
2. 特征方程(2)有两个相等的实根 r1 ? r2 . (1)的通解为

y ? (C1 ? C 2 x )e

r1 x

(C1 , C2 为任意常数)

二阶常系数齐次线性方程的解法

3. 特征方程(2)有一对共轭复根 r1 ? ? ? i? , r2 ? ? ? i? .
方程(1)的通解为

y ? e (C1 cos ? x ? C 2 sin ? x )
?x

(C1 , C2 为任意常数) 根据特征方程的根直接确定所求通解的方法 称为特征 方程法.

例1 求微分方程 y?? ? 2 y? ? 3 y ? 0 的通解.

例2 求方程 y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 的通解.

例3 求方程 y?? ? 2 y? ? 5 y ? 0 的通解.

n 阶常系数齐次线性微分方程的解法 n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为
y ( n ) ? p1 y ( n?1) ? ? ? ? ? pn?1 y? ? pn y ? 0
其特征方程为 r ? p1r
n n?1

(1)

? ? ? ? ? pn?1r ? pn ? 0

特征方程的根

通解中的对应项

是 k 的重根 r 是 k 重共轭 复根 ? ? i?

(C0 ? C1 x ? ? ? ? ? C k ?1 x k ?1 )e rx [(C0 ? C1 x ? ? ? ? ? Ck ?1 x ) cos ? x k ?1 ?x ? ( D0 ? D1 x ? ? ? ? ? Dk ?1 x ) sin ? x ]e
k ?1

y ( 4 ) ? 2 y??? ? 5 y?? ? 0 的通解. 例4 求方程

d 4 w ? ? 4 w ? 0 的通解, 其中 ? ? 0. 例5 求方程 4 dx

例6 求下列微分方程的通解:

(1) y ? 2 y ? y? ? 0; ( 2) y ( 6 ) ? 2 y ( 4 ) ? y?? ? 2 y ? 0.
(5) ( 3)

例7 已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四 x x 个线性无关的特解为 y1 ? e , y2 ? xe , y3 ? cos2 x , y4 ? 3 sin 2 x, 求这个四阶微分方程及其通解.

内容小结 1. 齐次方程求通解的一般步骤 : (1) 写出相应的特征方程;

(2) 求出特征根;
(3) 根据特征根的不同情况,得到相应的通解 . 2. 二阶常系数线性齐次方程的通解

齐次方程 特征方程

y?? ? py? ? qy ? 0

r ? pr ? q ? 0
2

内容小结 2. 二阶常系数线性齐次方程的通解 特征方程

r ? pr ? q ? 0
2

特征根的情况 实根
实根

通解的表达式

r1 ? r2 r1 ? r2

y ? C1 e

r1 x

? C 2e

r2 x r2 x

y ? (C1 ? C 2 x )e

复根 r1, 2 ? ? ? i?

y ? e?x (C1 cos ?x ? C 2 sin ?x )

n 阶常系数齐次线性微分方程的解法
y ( n ) ? p1 y ( n?1) ? ? ? ? ? pn?1 y? ? pn y ? 0 齐次方程
特征方程 r ? p1r
n n?1

? ? ? ? ? pn?1r ? pn ? 0

特征方程的根

通解中的对应项

若是 k 的重根 r

(C0 ? C1 x ? ? ? ? ? C k ?1 x k ?1 )e rx
k ?1

若是 k 重共轭 [(C0 ? C1 x ? ? ? ? ? C k ?1 x ) cos ? x k ?1 ?x 复根 ? ? i? ? ( D0 ? D1 x ? ? ? ? ? Dk ?1 x ) sin ? x ]e


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