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1.2 三角形的角平分线

发布时间:2013-12-01 12:23:29  

怎样才能得到一个角的平分线?

角平分线

用量角器或折纸的办法

从一个角的顶点引出的一条射线,把这 个角分成两个相等的角。这条射线叫做这个 角的平分线。 B

如图,记作
∠AOC=∠BOC=

1 2

C

∠AOB.
O

A

你能用同样的方法画出或折出任意一个三 角形的一个内角的平分线吗?

任意剪一张三角形纸片ABC,把内角∠BAC对折
一次,使AB与AC重合,得到一条折痕AD。把三角形

纸片展开、铺平。AD一定平分∠ BAC吗?
A

B

D

C

用量角器画∠BAC的平
分线交对边BC于D

A

C D ∠BAD 和∠CAD 有什么关系?

B

∠BAD =∠CAD

三角形的角平分线的定义:
在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,

这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
如图∠BAC的平分线交BC于点D,线段AD就是

△ABC的一条角平分线.

A

?

∵ AD是 △ ABC的 角平分线
1 ∠BAD =∠CAD = 2∠BAC
B D C

思考:

(1)三角形的角平分线是一条线段; 三角形的角平分线与角的平分线有什么不同? (2)三角形的角平分线仍具有角平分线的基本性质。

一个三角形有几条角平分线?

(三条)

请画出这个三角形的另外两
F

A

E
C

条角平分线,你发现了什么?

B

D

三角形的三条角平分线交于一点.

称之为三角形的内心.

例1、如图,AE是 △ ABC的角平分线.已知
∠B=45 , ∠ C=60 ,求下列角的大小. (1) ∠BAE (2) ∠AEB
解:(1)∵AE是△ABC的角平分线
0 0

∵ ∠BAC+∠B+∠C=1800 ( 三角形的内角和定理 ) ∴∠BAC=1800-∠B-∠C=1800-450-600=750 ∴∠BAE=37.50

1 ∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC 2

C E B

A

(2)∵∠AEB=∠CAE+∠C ( 三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和 ) ∠CAE=∠BAE=37.50 ∴∠AEB=37.50+600=97.50

如图,在Δ ABC中,∠ACB=90°, CE是Δ ABC的角平分线,已知 ∠CEB=110°,求∠A和∠B的度数。
C

A

E

B

例2:如图,已知:△ABC中,BD、CE分别是
△ABC的两条角平分线,相交于点O。
O O

(1)当∠ABC=60 ,∠ACB=80 时,求∠BOC的度数
O

A E O D C

(2)当∠A=40 时,求∠BOC的度数 (3)当∠A= x 时,求∠BOC的度数 (用含 x 代数式表示)

B

A

B

D

C

任意画一个三角形,用刻度尺 画出BC的中点D,连接AD。

三角形的中线的定义:
在三角形中,连接一个顶点与它对边 中点的

线段,叫做这个三角形的中线.
如图,D为BC的中点,线段AD就ΔABC的BC边上的中线。 A

∵AD是△ ABC的 中线

1 ∴BD = CD = BC 2

B

D

C

特点:(1)三角形的中线是一条线段; 一个三角形有几条中线?有什么特点?

(2)三角形的中线的一端平分这条边。 (三条)

请画出这个三角形的另外两条中线, 你发现了什么?
F

A
E

B

D

C

三角形的三条中线交于一点. 称之

为三角形的重心.

1、AD是Δ ABC的角平分线(如图),

那么∠BAC= BC=

2

∠BAD;

2、AE是Δ ABC的中线(如图),那么

2

BE。
A

A

B

D

C

B

E

C

3、如图,AF是Δ ABC的角平分线,
AE是BC边上的中线,选择
A

“>”、“<”或“=”号填空: = (1)BE___EC
1 = 2 (2)∠CAF___―∠BAC B E F C

= (3)∠AFB___∠C+∠FAB
(4)∠AEC___∠B >

在ΔABC中,CD是中线,已 知BC-AC=5cm, ΔDBC的周 长为25cm,求ΔADC的周长.
A D B C

已知△ABC中,AC=5cm。中线AD把△ABC分

成两个小三角形,这两个小三角形的周长的
差是2cm。你能求出AB的长吗?
A

A

B

D

C

B

D

C

AB > AC

AB < AC

1. 什么是三角形的角平分线?
2. 什么是三角形的中线?

3. 它们都有什么性质?


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