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九年级数学下册第二十七章《相似》(总复习)

发布时间:2013-12-01 13:27:24  

平南镇三中 冯锦华

回顾与反思
判定两个三角形相似的方法:
1.定义:三角对应相等,三边对应成比例的两个三 角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5. 两角对应相等的两个三角形相似。

回顾与反思
相似三角形的性质: 1.相似三角形对应角相等,对应边成比例。 2 .相似三角形对应高线比,对应中线比,对应角平分线 比等于相似比。 3.相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相 似比的平方。

相似的基本图形
(1) A

E
(2) C B DE∥BC A C

D

D
B

E

(3) D B E (6)

A E C

DE∥BC A

C (5)

(4)

D A

B

B D C A D C ∠BAD=∠C ∠ACB=90°,CD⊥AB B ∠D=∠C AB2=BD· BC

1.如果两个相似图形的每组对应点所在的直线 都交于一点,对应边互相平行,那么这样的两 个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似 比. 2.位似图形有以下性质: 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离 之比等于位似比. 位似图形的对应点和位似中心在 同一条直线上,
3.位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

位似变换中对应点的坐标变化规律:

在平面直角坐标系中,如果 位似变换是以原点为位似中 心,相似比为k,那么位似 图形对应点的坐标的比等于 k或-k.

一.填空、选择题:
1、如图,DE∥BC, AD:DB=2:3, 则△ AED和△ ABC

A
D B

E
C

2:5 的相似比为___.

2、 已知三角形甲各边的比为3:4:6, 和它 相似的三角形乙的最大边为10cm,则三角 形乙的最短边为______cm. 5

3.

如图,D是△ABC一边BC
上一点,连接AD,使 A. B. C. AC:BC=AD:BD AC:BC=AB:AD AB2=CD· BC △ABC ∽ △DBA的条件是(

D ).

A

D.

AB2=BD· BC

B

D

C

4.已知三角形甲各边的比为3:4:6, 和它相似的三角形乙
的最大边为10cm, 则三角形乙的最短边为______cm.

C A B F E

解: 设三角形甲为△ABC ,三角 形乙为 △DEF,且△DEF的最大

边为DE,最短边为EF
∵ △DEF∽△ABC

D

∴ DE:EF=6:3 即 10:EF=6:3 ∴ EF=5cm

5.

等腰三角形ABC的腰长为18cm,底边长为6cm,在

腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.

A
解: ∵ △ABC ∽△BDC
AC BC = BC DC 18 6 = 6 DC



D B C


∴ DC=2cm

6. 如图,△ADE∽ △ACB, 则DE:BC=_____ 。

D 7 B

2

A 3 E 3 C
解: ∵ △ADE∽△ACB 且 AE =AD =1 AB AC 3


DE AE 1 = = BC AB 3

7.

D、E分别为△ABC 的AB、AC上的点,DE∥BC,
∠DCB= ∠ A,把每两个相似的三角形称为一组, 那么图中共有相似三角形_______组。

A D E

B

C

解: ∵ DE∥BC ∴∠ADE= ∠B, ∠EDC=∠DCB=∠A ① ∵ DE∥BC ∴△ADE ∽ △ABC ② ∵ ∠A

= ∠DCB, ∠ADE= ∠B ∴△ADE∽ △CBD ③ ∵ △ADE ∽ △ABC △ADE ∽ △CBD ∴ △ABC ∽ △CBD ④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC ∴ △ADC ∽ △DEC

已知 m n 8、 = 6 5

,求m n

的值.

解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得:

m 6 n = 5 m 方法(2)因为 6 = m 所以 n =

n 5 6 5

,所以5m=6n

二、证明题:
1. D为△ABC中AB边上一点, ∠ACD= ∠ ABC. 求证:AC2=AD· AB.
A D

C B
E
A D B M C

2. △ABC中,∠ BAC是直角,过斜 边中点M而垂直于斜边BC的直线 交CA的延长线于E,交AB于D, 连AM. 求证:① △ MAD ∽ △ MEA ② AM2=MD · ME

1.

D为△ABC中AB边上一点,∠ACD= ∠ ABC. 求证:AC2=AD· AB
C

分析:要证明AC2=AD· AB,需
要先将乘积式改写为比例

A

D

B

AC AB 式 ,再证明AC、 = AD AC
AD、AB所在的两个三角形相 似。由已知两个三角形有二个

证明:∵

∠ACD= ∠ ABC ∠A = ∠ A ∴ △ABC △ACD

角对应相等,所以两三角形相
似,本题可证。

AC AB ∴ = AD AC
∴ AC2=AD· AB

2. △ABC中,∠ BAC是直角,过斜边中点M而垂直于
斜边BC的直线交CA的延长线于E, 交AB于D,连AM.
E

求证:① △ MAD ~△ MEA

② AM2=MD ·ME

A D B M C

证明:①∵∠BAC=90°

M为斜边BC中点 ∴AM=BM=BC/2 ∴ ∠B= ∠MAD 又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90° ∠E+ ∠ADE=90° ∠BDM= ∠ADE

∴∠B=∠E ∴∠MAD= ∠E 又 ∵ ∠DMA= ∠AME ∴△MAD∽ △MEA
② ∵ △MAD∽ △MEA



AM ME = MD AM

即AM2=MD· ME

1 例4、如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC= BC. 4

求证: AE⊥EF

证明:∵四边形ABCD是正方形
∴BC=CD=AD,∠D=∠C=90° ∵E是BC中点,FC= BC
DE 1 ∴ ? AD 2
1 4

A

1
3

D

E

2
B F C

CF 1 ? CE 2

∴ DE ? CF
AD

∵∠D=90° ∴∠1+ ∠3=90 ° ∴∠2+ ∠3=90° ∴ AE⊥EF

CE

∴△ADE∽△ECF ∴∠1=∠2

例5、已知梯形ABCD中, AD∥BC,对角线AC、BD

交于点O,若△AOD的面积为4cm2, △BOC的面积
25 为9cm2, 则梯形ABCD的面积为_________cm2 解: ∵AD∥BC
∴△AOD∽△COB S△AOD :S△COB =4:9 ∴OD:OB=2:3 ∴S△AOD : S△AOB =2:3 ∴S△AOB =6cm2 ∴梯形ABCD的面积为25cm2 B

A
O

D

C

三、探索题
1、条件探索型
1.已知:如图,△ABC中,P是AB边上的一点,连 结CP.满足什么条件时△ ACP∽△ABC. 解:⑴∵∠A= ∠A,∴当∠1= ∠ACB (或∠2= ∠B) A 时,△ ACP∽△ABC P 1 ⑵ ∵∠A= ∠A,∴当AC:AP=AB:AC时, 4 2 B C △ ACP∽△ABC ⑶ ∵∠A= ∠A, 当∠4+∠ACB=180°时, △ ACP∽△ABC 答:当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP=AB:AC或 ∠4+∠ACB=180°时,△ ACP∽△ABC.

2.如图:已知∠ABC=∠CDB=90°,AC=a, BC=b,当BD与a、b之间满足怎样的关系式时, a 两三角形相似 C A
解:⑴∵ ∠1=∠D=90°
b 1 a b AC BC ∴当 BC ? BD 时,即当 b ? BD 时, B b2 △ABC∽ △CDB,∴ BD ? a ⑵∵ ∠1=∠D=90° D

∴当

AC AB ? BC BD

时,

即当

a ? b

a2 ? b2 BD

时,

b a2 ? b2 △ABC∽ △BDC, ∴ BD ? a

答:略.

这类题型结论是明确的,而需要完备使 结论成立的条件. 解题思路是:从给定结 论出发,通过逆向思考寻求使结论成立的条 件.

四、存在探索型
1、 如图, DE是△ABC的中位线, AF∥BC,∠B=90°, 在射线AF上是否存在点M,使△MEC与△ADE相似, 若存在,请先确定点 M,再证明这两个三角形相似,若不 存在,请说明理由. F M A

D B

E C

解:存在.过点E作AC的垂线,与AF交于一点, 即M点 证明:连结MC, A 1 ∵DE是△ABC的中位线, 4 3 ∴DE∥BC,AE=EC, D E 又∵ME⊥AC, ∴ME垂直平分AC,即AM=CM, B ∴ ∠1= ∠2 , ∵∠B=90°, ∴ ∠4= ∠B= 90°, ∵AF ∥BC,AM ∥DE, ∴ ∠1= ∠ 3 , ∴ ∠3= ∠2 , ∵ ∠ADE= ∠MEC=90 ° , ∴ △ADE ∽△MEC.

M F

2 C

所谓存在性问题,一般是要求 确定满足某些特定要求的元素有或 没有的问 题. 解题 思路是:先假定所需探索的对象存 在或结论成立,以此为依据进行计 算或推理,若由此推出矛盾,则假 定是错误的,从而给出否定的结论, 否则给出肯定的证明.

函数与相似的应用



例. 在△ABC中, ∠ACB= 90。过AB上任意一点D作DE⊥BC 于E,DF⊥AC于F, 若BC=3, AC= 4, 设DE= x, 矩形面 积为y.

(1) 求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围;
(2)求DE多长时,矩形DECF的面积最大?最大面积是多少?
B E D

C

F

A

解: ∵∠ACB=90,BC=3,AC=4 ∴AB=5 ∵DE⊥BC, DF⊥AC ∴∠BED=∠C=90 ,∠AFD= ∠C=90° ∴ DE∥AC, DF∥BC ∴ △BED ∽△BCA, △AFD ∽△ACB ∴ DE BD DF AD

A D E B C F

AC

?

①, ? ② BA BC AB

x BD ? ∴ 4 5
∴BD=

5x ∴AD=AB-BD=5- 4 把AD代入②中
DF ? 4 5? 5x 4 5

5x 4

(2)由(1)可知, y=DE· DF=x(4-x)=4x-x2 b 当 x= - =2时,y有最大值=4 2a

即DE=2时,矩形DECF面积有最大值, 且最大值为4

∴ DF=4-x ∴y=DE· DF=x(4-x)=4x-x2

二 .学以致用 1、如图, ABCD中,G是BC延长线上一点, AG交BD于E,与DC交于点F,则图中相似三角形 5 共有______对。(全等除外) B E C F D G

A

A

2.如图,DE∥BC,D是AB的中 点,DC、BE相交于点G。 DE 求 (1) BC E
C ?GED ( 2) C ?GBC

D

G
B C

C

练习(2003,潍坊)在Rt⊿ABC中,
∠C=90。,AC=4,BC=3, 如图1,四边形DEFG为⊿ABC的 内接正方形,求正方形的边长。
A

G

F

D

E

B

解.设正方形的边长为x 已知∠C=90°,AC=4,BC=3 由勾股定理得到,AB=5 因为Rt△GCF∽Rt△ACB 所以,GF/AB=CF/CB 即,x/5=CF/3 A 所以,CF=(3/5)x 那么,BF=3-(3/5)x=(15-3x)/5 又,Rt△FBE∽Rt△ABC 所以,FB/AB=EF/AC 即,[(15-3x)/5]/5=x/4 解得,x=60/37

C G F

D

E

B

3、在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2.

若S△AEF=6cm2,则S△CDF = S =____cm2 △ADF 18
D F A B C

54

cm2

E

4、如图,已知在△ABC

中,,D是AB上 一点,F是BC的延长上一点,连结DF交 AC于点E,且AD=CF, 求证:BF∶BD=AE∶CE
A

D E

G
F

B

C

5. 如图,AB∥CD,AO=OB,DF=FB,DF交AC于E,
求证:ED2=EO ·EC.
分析:欲证 ED2=EO· EC,即证:

ED EC = ,只需证DE、EO、EC EO ED
所在的三角形相似。

D O E A

C

证明:∵ AB∥CD

∴ ∠C=∠A ∵ AO=OB,DF=FB ∴ ∠A= ∠B, ∠B= ∠FDB ∴ ∠C= ∠FDB 又 ∵ ∠DEO= ∠DEC ∴ △EDC∽△EOD ED EC ∴ EO =ED ,即 ED2=EO · EC

F

B


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