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九年级圆

发布时间:2013-12-01 14:40:22  

12. (2011山东潍坊,23,11分)如图,AB是半圆O的直径,AB=2.射线AM、BN为半圆的

切线.在AM上取一点D,连接BD交半圆于点C,连接AC.过O点作BC的垂线OE,垂足为点E,与BN相交于点F.过D点做半圆的切线DP,切点为P,与BN相交于点Q.

(1)求证:△ABC∽ΔOFB;

(2)当ΔABD与△BFO的面积相等时,求BQ的长;

(3)求证:当D在AM上移动时(A点除外),点Q始终是线段BF的中点.[来源:学科网

]

【解】(1)证明:∵AB为直径,

∴∠ACB=90°,即AC⊥BC.

又∵OE⊥BC,∴OE//AC,∴∠BAC=∠FOB.

∵BN是半圆的切线,故∠BCA=∠OBF=90°.

∴△ACB∽△OBF.

(2)由△ACB∽△OBF,得∠OFB=∠DBA,∠DAB=∠OBF=90°,

∴△ABD∽△BFO,

当△ABD与△BFO的面积相等时,△ABD≌△BFO.

∴AD=BO=1AB =1. 2

∵DA⊥AB,∴DA为⊙O的切线.

连接OP,∵DP是半圆O的切线,

∴DA=DP=1,∴DA=AO=OP=DP=1,

∴四边形ADPO为正方形.

∴DP//AB,∴四边形DABQ为矩形.

∴BQ=AD=1.

(3)由(2)知,△ABD∽△BFO, ∴BFAB2?,∴BF?. OBADAD

222∵DPQ是半圆O的切线,∴AD=DP,QB=QP. 过点Q作AM的垂线QK,垂足为K,在Rt△DQK中,DQ?QK?DK,

2∴?AD?BQ???AD?BQ??2, 22

∴BQ?1,∴BF=2BQ,∴Q为BF的中点. AD

16. (2011四川绵阳22,12)如图,在梯形ABCD中,AB//CD,∠BAD=90°,以AD为直径的

半圆O与BC相切.

(1)求证:OB丄OC;

(2)若AD= 12,∠ BCD=60°,⊙O1与半⊙O 外切,并与BC、CD 相切,求⊙O1的面积

.

【答案】(1)证明:连接OF,在梯形ABCD,在直角△AOB 和直角△AOB F中

?AO=FO∵? ?OB=OB

∴△AOB≌△AOB(HL)

同理△COD≌△COF,∴∠BOC=90°,即OB⊥

OC

(2) 过点做O1G,O1H垂直DC,DA,∵∠DOB=60°,∴∠DCO=∠BCO=30°,设O1G=x,又∵AD=12,∴OD=6,DC=63x, O1C =6-x,根据勾股定理可知O1G2+GC2=O1C2

x2+3x2=(6-x)2∴

(x-2)(x+6)=0,x=2

H

24. (20011江苏镇江27,9分)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y?3x?3的图象是直线4

l1,l2与x轴、y轴分别相交于A、B两点.直线l2过点C(a,0)且与l1垂直,其中a>0,点P、Q同时从A点出发,其中点P沿射线AB运动,速度为每秒4个单位;点Q沿射线AO运动,速度为每秒5个单位.

(1)写出A点的坐标和AB的长;

(2)当点P、Q运动了t秒时,以点Q为圆心,PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切,求此时a的值

.

答案:(1)A(-4,0),AB=5.

(2)由题意得:AP=4t,AQ=5t,

∴∠APQ=∠AOB=90°。

∵点P在l1上,∴⊙Q在运动过程中保持与l1相切。 APAQ??t,又∠PAQ=∠QAB,∴△APQ∽△AOB. OAOB

①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时,设l1与⊙Q相切于F,由△APQ∽△AOB得

PQ4?PQ? ,∴PQ=6, 35

连接QF,则QF=PQ, △QFC∽△APQ∽△AOB得QFQC?. OAAB

∴PQQC6QC1527?,?,∴QC=,a=OQ+QC=. 522OAAB4

②当⊙Q在y轴左侧与y轴相切时,设l1与⊙Q相切于E, 由△APQ∽△AOB得

PQ4?PQ3?,∴PQ=. 235

3

QFQCQFQCQC??连接QE,则QE=PQ,由△QEC∽△APQ∽△AOB得,∴,?, OAABOAAB45

∴QC=315273,a=QC-OQ=.∴a的值为和。 88824.(2011湖北省天门市一模)如图,在△ABC中,AB?10,AC?8,BC?6,经过点C且与边AB相切的动圆 与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ长度的最小值是( )

A.4.75

答案:B

5.(2011年浙江省杭州市模2)如图,在矩形ABCD

中,BC=8,AB=6,经过点B和点D的两个动

圆均与AC相切,且与AB、BC、AD、DC分别

交于点G、H、E、F,则EF+GH的最小值是( )

第5题 B.4.8 C.5 D

A (第4题)

A.6

答案:C B.8 C.9.6 D.10

2. (2011年江苏盐都中考模拟)(本题10分)已知:如图,O为平面直角坐标系的原点,半径为1的⊙B经过点O,且与x轴、y轴分别交于点A、C,点A的坐标为(?3,0),AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D.

(1)求OC的长度和∠CAO的度数

(2)求过D点的反比例函数的表达式.

解: (1)由题意得,在Rt△OAC中,OA=3,AC=2,所以OC=1,又因为cos∠CAO=

以∠CAO=30°;(4分)

(2)过D作DE⊥x轴,垂足为E,连接OB,因为DO切⊙B于O,所以∠BOD=90°,在Rt△OBD中,OB=1,∠OBD=60°,所以OD=,在Rt△ODE中,OD=3,∠DOE=60°,3,所2所以OE=

(6分) 333,DE=,即,D(,),所以过D点的反比例函数表达式为y?。22224x

7、(北京四中模拟)

如图,点P是半径为6的⊙O外一点,过点P作⊙O的割线PAB,点C是⊙O上一点,

2且PC=PA.PB,

(1)求证:PC是⊙O的切线;

(2)若sin∠

AB的长;(3)已知在(2)的条件下,点D是劣弧AB的中点,连结CD交AB于E,若AC:BC=1:3,求CE的长。

(1)证明:连接CO并延长交⊙O于M,连接AM

∵PC=PA.PB ∴2PCPB? PAPC

∵∠P=∠P ∴△PAC∽△PCB ∠PCA=∠B

∵∠B=∠M ∴∠M=∠PCA

∵CM是直径 ∴∠MAC=90° ∴∠ACM+∠M=90° ∴∠ACM+∠PCA=90°

即∠PCM=90° ∴CM⊥PC ∴PC是⊙O的切线。

(2)连接AO,并延长AO交⊙O于N,连接BN

∵AN是直径 ∴∠ABN=90° ∠N=∠ACB,AN=12

在Rt△ABN中,AB=ANsin∠ACB=12sin∠ACB=12

(3)连接OD交AB于F,∴OD⊥AB ∵D是劣弧AB的中点 ∴∠ACD=∠BCD ∵∠PCA=∠B ∴∠PCE=∠PEC ∴PC=PE 由△PCA∽△PBC 得 PC=3PA

∵PC=PA.PB ∴9PA=PA.PB ∴9PA=PB=PA+AB ∴

8PA=AB=22

AB=

AF=

在Rt△OAF中,可求得OF=4 ∴DF=2 DE=3

∵AE·EB=DE·CE ∴CE=5

5.(2011广东南塘二模)半圆O的直径AB为32cm,有一定弦

圆内滑动(C不与A重合),

AD与BC相交于P,如图。

(1)∠APC的大小是否为一定值?并说明理由。

(2)若CD=3cm,求∠APC的度数。 (第5题) O

答案:(1)∠APC的大小是定值。理由:连AC,

∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAP+∠CPA=90°,

∵弦CD确定,∴CD也确定,则CD所对的圆周角∠CAP的大小也确定,∠CPA的大小是一定值。

3(2)连结OC、OD,则OC=OD=2cm, 2

∵CD=9,OC+OD=9,∴CD=OC+OD

∴∠COD=90°,∴∠CAD=45°,∵∠ACB=90°,∴∠APC=45°

13.(2010 年河南模拟)如图,圆心为A、B、C的三个圆彼此相

切,且均与直线l相切,若⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为a,b,c,(0

<c<a<b),则a、b、c一定满足的关系式为( )

A.2b=a+c

?

C.222222111?? cab

?

答案:D

18.(2010年西湖区月考)四个半径为r的圆如图放置,相邻两个圆

交点之间的距离也为r,不相邻两个圆的圆周上两点间的最短距离等

于2,则r的值是( )

A

2 B.

2 C

.2

3

答案:A

5.(2010年武汉市中考拟)如图,点P在y轴上,?P交x轴

于A,B两点,连结BP并延长交?P于C,过点

C的直线y?2x?b交x轴于D,且?

P

AB?4.若函数y?

则k=___________.

答案:-4

19.(2010年天水模拟)如图,AB是⊙O是直径,过A作⊙O的切线,在切线上截取AC=AB,连结OC交⊙O于D,连结BD并延长交AC于E,⊙F是△ADE的外接圆,⊙F在AE上. 求证:(1)CD是⊙F的切线;

(2)CD=AE.

证明:(1)连接DF

∵CA 切⊙O于A,∴∠CAB=90°

又∵∠OAD=∠ODA ∠FAD=∠FDA

∴∠OAC=∠ODF=90°

∴∠FDC=90

∴CD是⊙F的切线

(2)FDC=DAC=90

∠C=∠C

∴△CDF∽△CAO

又∵AC=AB ∴k(x<0)的图象过C点, xOA1DF== AC2CD

又∵DF=FE AE=2DF ∴

AE=CD

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