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圆的专题复习

发布时间:2013-12-01 14:40:26  

(备战中考)2012年中考数学新题分类汇总(中考真题+模拟新题):

直线与圆的位置关系

一、选择题

1. (2011宁波市,11,3分)如图,⊙O1的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O2为正

方形ABCD的中心,O1O2垂直AB与P点,O1O2=8.若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现

A. 3次 B.5次 C. 6次 D. 7次

【答案】B

2. (2011浙江台州,10,4分)如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PB切⊙O于点B,则PB的最小值是( ) A. B.5

C. 3 D.2

【答案】B

3. (2011浙江温州,10,4分)如图,O是正方形ABCD的对角线BD上一点,⊙O边AB,BC都相切,点E,F分别在边AD,DC上.现将△DEF沿着EF对折,折痕EF与⊙O相切,此时点D恰好落在圆心O处.若DE=2,则正方形ABCD的边长是

( )

A.3 B.4 C

.2 D

.【答案】C

4. (2011浙江丽水,10,3分)如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )

用心 爱心 专心 1

A.点(0,3) B.点(2,3) C.点(5,1) D.点(6,1)

【答案】C

5. (2011浙江金华,10,3分)如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )

A.点(0,3) B.点(2,3) C.点(5,1) D.点(6,1)

【答案】C

6. (2011山东日照,11,4分)已知AC⊥BC于C,BC=a,CA=b,AB=c,下列选项中⊙O的半径为ab的是( ) a?b

【答案】C

7. (2011湖北鄂州,13,3分)如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线

于D,且CO=CD,则∠PCA=( )

A.30° B.45° C.60° D.67.5°

A 第13题图

【答案】D[来源

:学&科&网]

用心 爱心 专心 2

8. (2011 浙江湖州,9,3)如图,已知AB是⊙O的直径,C是AB延长线上一点,BC=OB,

CE是⊙O的切线,切点为D,过点A作AE⊥CE,垂足为E,则CD:DE的值是

1A. B.1 C.2 D.

3 2

【答案】C

9. (2011台湾全区,33)如图(十五),AB为圆O的直径,在圆O上取异于A、B的一点C,并连接BC、

.若想在AB上取一点P,使得P与直线BC的距离等于AP长,判断下列四个作法何

者正确?

A.作AC的中垂线,交AB于P点

B.作∠ACB的角平分线,交AB于P点

C.作∠ABC的角平分线,交AC于D点,过D作直线BC的并行线,交AB于P点

D.过A作圆O的切线,交直线BC于D点,作∠ADC的角平分线,交AB于P点

【答案】D

10.(2011甘肃兰州,3,4分)如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,DC切⊙O于点C,若∠A=25°,则∠D等于

A.20° B.30° C.40° D.50°

D O A

C

【答案】C

11. (2011四川成都,10,3分)已知⊙O的面积为9?cm,若点0到直线l的距离为?cm,则直线l与⊙O的位置关系是C

(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定

用心 爱心 专心 3 2

【答案】C

12. (2011重庆綦江,7,4分) 如图,PA、PB是⊙O的切线,切点是A、B,已知∠P=60°,

OA=3,那么∠AOB所对弧的长度为( )

A.6л B.5л C.3л D.2л

【答案】:D

13. (2011湖北黄冈,13,3分)如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长

线于D,且CO=CD,则∠PCA=( )

A.30° B.45° C.60° D.67.5°

A 第13题图

【答案】D

14. (2011山东东营,12,3

分)如图,直线yx与x轴、y分别相交与A、B两点,圆心P的坐标为(1,0),圆P与y轴相切与点O。若将圆P沿x轴向左移动,当圆P与该直线相交时,横坐标为整数的点P′的个数是( )

A.2

B.3 C.4 D. 5

【答案】B

15. (2011浙江杭州,5,3)在平面直角坐标系xOy中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的

圆( )

用心 爱心 专心 4

A.与x轴相交,与y轴相切 B.与x轴相离,与y轴相交

C.与x轴相切,与y轴相交 D.与x轴相切,与y轴相离

【答案】C

16. (2011山东枣庄,7,3分)如图,PA是⊙O的切线,切点为A,PA

∠APO=30°,则⊙O的半径为( )

A

A.1

【答案】C

二、填空题

1. (2011广东东莞,9,4分)如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点,连结BC.若∠A=40°,则∠C= °

【答案】25

2. (2011四川南充市,13,3分)如图,PA,PB是⊙O是切线,A,B为切点, AC是⊙O的直径,若∠BAC=25°,则∠P= __________度.

【答案】50

3. (2011浙江衢州,16,4分)木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r.用角尺的较短边紧靠?O,并使较长边与?O相切于点C.假设角尺的较长边足够长,角尺的顶点B,较短边AB?8cm.若读得BC长为acm,则用含a的代数式表示r

为 .

用心 爱心 专心 5

【答案】当0?a?8时,r?a;当a?8时,r?121a?4.或当0?r?8,r?a;当r?a2?4. 1616

4. (2011浙江绍兴,16,5分) 如图,相距2cm的两个点A,B在在线l上,它们分别以2 cm/s和1 cm/s的速度在l上同时向右平移,当点A,B分别平移到点A1,B1的位置时,半径为1 cm的?A1与半径为BB1的?B相切,则点A平移到点A1的所用时间为A【答案】 3

5. (2011江苏苏州,16,3分)如图,已知AB是⊙O的一条直径,延长AB至C点,使得AC=3BC,CD与⊙O相切,切点为D.若CD=,则线段

BC的长度等于__________.

【答案】1

6. (2011江苏宿迁,17,3分)如图,从⊙O外一点A引圆的切线AB,切点为B,连接AO并

延长交圆于点C,连接BC.若∠A=26°,则∠ACB的度数为 ▲

【答案】32

用心 爱心 专心

6

7. (2011山东济宁,13,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=4cm,以点C为圆心,以3cm长为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是 .

C第13题

【答案】相交

8. (2011广东汕头,9,4分)如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点,连结BC.若∠A=40°,则∠C= °

【答案】25

9. (2011山东威海,17,3分)如图①,将一个量角器与一张等腰直角三角形(△ABC)纸片放置成轴对称图形,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,半圆(量角器)的圆心与点D重合,没得CE=5cm,将量角器沿DC方向平移2cm,半圆(量角器)恰与△ABC的边AC、BC相切,如图②,则AB的长为 cm.(精确到0.1cm)

图① (第17题) 图②

【答案】 24.5

10.(2011四川宜宾,11,3分)如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,∠P=40°,则∠BAC=_____.

[来源:学_科_网]

(第11题图)

用心 爱心 专心 7

【答案】20°

11. (2010湖北孝感,18,3分)如图,直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C,大半

?的长分别为x、y,线 ?、CE圆M的弦AB与小半圆N相切于点F,且AB∥CD,AB=4,设CD

段ED的长为z,则z(x+y)

= .

【答案】8π

12. (2011广东省,9,4分)如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点,连结BC.若∠A=40°,则∠C= °

【答案】25

三、解答题

1. (2011浙江义乌,21,8分)如图,已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直,垂足为点E. ⊙0

O的切线BF与弦AD的

延长线相交于点F,且AD=3,cos∠BCD= .

(1)求证:CD∥BF;

(2)求⊙O的半径;

(3)求弦CD的长.

B C A

【答案】(1)∵BF是⊙O的切线 ∴AB⊥BF

∵AB⊥CD

∴CD∥BF

(2)连结BD ∵AB是直径 ∴∠ADB=90°

∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD=3

4

8 用心 爱心 专心

∴cos∠BAD=AD3? AB4

又∵AD=3 ∴AB=4

∴⊙O的半径为2

A

B

(3)∵cos∠DAE=9AE3? AD=3∴AE= 4AD4

237?9?2 ∴ED=3???? 44??

37 2

2. (2011浙江省舟山,22,10分)如图,△ABC中,以BC为直径的圆交AB于点D,∠ACD= ∴CD=2ED∠ABC.

(1)求证:CA是圆的切线;

(2)若点E是BC上一点,已知BE=6,tan∠ABC=25,tan∠AEC=,求圆的直径. 33

(第22题)

【答案】(1)∵BC是直径,∴∠BDC=90°,∴∠ABC+∠DCB=90°,∵∠ACD=∠ABC, ∴∠ACD+∠DCB=90°,∴BC⊥CA,∴CA是圆的切线.

(2)在Rt△AEC中,tan∠AEC=

在Rt△ABC中,tan∠ABC=

∵BC-EC=BE,BE=6,∴5AC53,∴?,EC?AC; 3EC352AC23?,BC?AC; ,∴3BC323320AC?AC?6,解得AC=,

325

用心 爱心 专心 9

∴BC=320??10.即圆的直径为10. 23

3. (2011安徽芜湖,23,12分)如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD?PA,垂足为D.

(1) 求证:CD为⊙O的切线;

(2) 若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度

.

【答案】

(1)证明:连接OC, ??????????????1分 因为点C在⊙O上,OA=OC,所以?OCA??OAC. 因为CD?PA,所以?CDA?90,有?CAD??DCA?90.因为AC平分∠PAE,所以?DAC??CAO.?????3分 所以?DCO??DCA??ACO??DCA??CAO??DCA??DAC?90. ??4分 又因为点C在⊙O上,OC为⊙O的半径,所以CD为⊙O的切线. ??????5分

(2)解:过O作OF?AB,垂足为F,所以?OCD??CDA??OFD?90, 所以四边形OCDF为矩形,所以OC?FD,OF?CD. ???????????7分 因为DC+DA=6,设AD?x,则OF?CD?6?x.

因为⊙O的直径为10,所以DF?OC?5,所以AF?5?x.[来

源:Zxxk.Com]

在Rt△AOF中,由勾股定理知AF?OF?OA.

2即?5?x???6?x??25.化简得x?11x?18?0, 22????222

解得x?2或x=9. ??????9分

由AD?DF,知0?x?5,故x?2. ???10分

从而AD=2,AF?5?2?3. ???????11分

因为OF?AB,由垂径定理知F为AB的中点,所以AB?2AF?6.????12分

4. (2011山东滨州,22,8分)如图,直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点,弦AC∥PM, 连接OM、BC.

求证:(1)△ABC∽△POM;

2(2)2OA=OP·BC

.

用心 爱心 专心 10

CM

BOAP

(第22题图)

【答案】证明:(1)∵直线PM切⊙O于点M,∴∠PMO=90°??????1分

∵弦AB是直径,∴∠ACB=90°??????2分

∴∠ACB=∠PMO??????3分

∵AC∥PM, ∴∠CAB=∠P ??????4分

∴△ABC∽△POM??????5分

ABBC??????6分 ?POOM

2OABC 又AB=2OA,OA=OM, ∴??????7分 ?POOA(2) ∵ △ABC∽△POM, ∴

∴2OA=OP·BC??????8分

5. (2011山东菏泽,18,10分)如图,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,

(1)求证:△ABE∽△ADB;

(2)求AB的长;

(3)延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系,并说明理由.

2解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,

∵∠C=

∠D,∴∠ABC=∠D,

又∵∠BAE=∠EAB,∴△ABE∽△ADB,

ABAE(2) ∵△ABE∽△ADB,∴, ?ADAB

∴AB=AD·AE=(AE+ED)·AE=(2+4)×2=12 2

用心 爱心 专心 11

∴AB

=

(3) 直线FA与⊙O相切,理由如下:

连接OA,∵BD为⊙O的直径,∴∠BAD=90°,

∴BD?,

1BF=BO

=BD? 2

∵AB

=BF=BO=AB,可证∠OAF=90°,

∴直线FA与⊙O相切.

6. (2011山东日照,21,9分)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D.

求证:(1)∠AOC=2∠ACD;

2(2)AC=AB·AD.

【答案】证明:(1)∵CD是⊙O的切线,∴∠OCD=90°,

即∠ACD+∠ACO=90°.?① ∵OC=OA,∴∠ACO=∠CAO,

∴∠AOC=180°-2∠ACO,即

∠ACD-1∠AOC+∠ACO=90°. ② 由①,②,得:21∠AOC=0,即∠AOC=2∠ACD; 2

(2)如图,连接BC.

∵AB是直径,∴∠ACB=90°.

在Rt△ACD与△RtACD中,

∵∠AOC=2∠B,∴∠B=∠ACD,

∴△ACD∽△ABC,∴ACAD2,即AC=AB·AD.

?ABAC

7. (2011浙江温州,20,8分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,过点B作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.已知OA=3,AE=2,

(1)求CD的长;

(2)求BF的长.

用心 爱心 专心 12

【答案】解:(1)连结OC,在Rt△OCE

中,CE??.

∵CD⊥AB,

∴CD?3CE?

(2) ∵BF是⊙O 的切线,

∴FB⊥AB,

∴CE∥FB,

∴△ACE∽△AFB, ∴

∴BF?

8. (2011浙江省嘉兴,22,12分)如图,△ABC中,以BC为直径的圆交AB于点D,∠ACD=∠ABC.

(1)求证:CA是圆的切线;

(2)若点E是BC上一点,已知BE=6,tan∠ABC=25,tan∠AEC=,求圆的直径. 332CEAE,?,

?

BF6BFAB

(第22题)

用心 爱心 专心

13

【答案】(1)∵BC是直径,∴∠BDC=90°,∴∠ABC+∠DCB=90°,∵∠ACD=∠ABC, ∴∠ACD+∠DCB=90°,∴BC⊥CA,∴CA是圆的切线.

(2)在Rt△AEC中,tan∠AEC=

在Rt△ABC中,tan∠ABC=

∵BC-EC=BE,BE=6,∴

∴BC=5AC53,∴?,EC?AC; 3EC352AC23,∴?,BC?AC; 3BC323320AC?AC?6,解得AC=, 325320??10.即圆的直径为10. 23

9. (2011广东株洲,22,8分)如图,AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,AC交⊙O于点

E,D 为AC上一点,∠AOD=∠C.

(1)求证:OD⊥AC;

(2)若AE=8,tanA?3,求OD的长.

4

【答案】(1)证明:∵BC是⊙O的切线,AB为⊙O的直径

∴∠ABC=90°,∠A+∠C=90°,

又∵∠AOD=∠C,

∴∠AOD+∠A=90°,

∴∠ADO=90°,

∴OD⊥AC.

(2)解:∵OD⊥AE,O为圆心,

∴D为AE中点 ,

∴AD=1AE=4, 2

3 ,∴ OD=3. 4又tanA?

10.(2011山东济宁,20,7分)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D,交BN于点C,F是CD的中点,连接OF,

(1)求证:OD∥BE;

用心 爱心 专心 14

(2)猜想:OF与CD有何数量关系?并说明理由.

B第20题

【答案】(1)证明:连接OE,

∵AM、DE是⊙O的切线,OA、OE是⊙O的半径,

∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°,

∴∠AOD=∠EOD=

∵∠ABE=1∠AOE, 21∠AOE,∴∠AOD=∠ABE, 2

∴OD∥BE

(2)OF=1CD, 2

理由:连接OC,

∵BC、CE是⊙O的切线,

∴∠OCB=∠OCE

∵AM∥BN,

∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°

由(1)得∠ADO=∠EDO,

∴2∠EDO+2∠OCE=180°,即∠EDO+∠OCE=90°

在Rt△DOC中,∵F是DC的中点, ∴OF=

1CD. 2第20题

11. (2011山东聊城,23,8分)如图,AB是半圆的直径,点O是圆心,点C是OA的中点,

用心 爱心 专心 15

?的中点,连接OD、AE,过点D作DP∥AE交BA的延CD⊥OA交半圆于点D,点E是BD

长线于点P,

(1)求∠AOD的度数;

(2)求证:PD是半圆O的切线;

【答案】(1)∵点C是OA的中点,∴OC=

在Rt△OCD中,cos∠COD=11OA=OD,∵CD⊥OA,∴∠OCD=90°,22OC1?,∴∠COD=60°,即∠AOD=60°, OD2

11∠DOB= 22(2)证明:连接OC,点E是BD弧的中点,DE弧=BE弧,∴∠BOE=∠DOE=

(180°-∠COD)=60°,∵OA=OE,∴∠EAO=∠AEO,又∠EAO+∠AEO=∠EOB=60°,∴∠EAO=30°,∵PD∥AE,∴∠P=∠EAO=30°,由(1)知∠AOD=60°,∴∠PDO=180°-(∠P+∠POD)=180°-(30°+60°)=90°,∴PD是圆O的切线

12. (2011山东潍坊,23,11分)如图,AB是半圆O的直径,AB=2.射线AM、BN为半圆的

切线.在AM上取一点D,连接BD交半圆于点C,连接AC.过O点作BC的垂线OE,垂足为点E,与BN相交于点F.过D点做半圆的切线DP,切点为P,与BN相交于点Q.

(1)求证:△ABC∽ΔOFB;

(2)当ΔABD与△BFO的面积相等时,求BQ的长;

(3)求证:当D在AM上移动时(A点除外),点Q始终是线段BF的中点.[来源:学科网

]

【解】(1)证明:∵AB为直径,

∴∠ACB=90°,即AC⊥BC.

又∵OE⊥BC,∴OE//AC,∴∠BAC=∠FOB.

∵BN是半圆的切线,故∠BCA=∠OBF=90°.

用心 爱心 专心 16

∴△ACB∽△OBF.

(2)由△ACB∽△OBF,得∠OFB=∠DBA,∠DAB=∠OBF=90°,

∴△ABD∽△BFO,

当△ABD与△BFO的面积相等时,△ABD≌△BFO.

∴AD=BO=1AB =1. 2

∵DA⊥AB,∴DA为⊙O的切线.

连接OP,∵DP是半圆O的切线,

∴DA=DP=1,∴DA=AO=OP=DP=1,

∴四边形ADPO为正方形.

∴DP//AB,∴四边形DABQ为矩形.

∴BQ=AD=1.

(3)由(2)知,△ABD∽△BFO, ∴BFAB2,∴BF?. ?OBADAD

222∵DPQ是半圆O的切线,∴AD=DP,QB=QP. 过点Q作AM的垂线QK,垂足为K,在Rt△DQK中,DQ?QK?DK,

∴?AD?BQ???AD?BQ??2, 222

∴BQ?1,∴BF=2BQ,∴Q为BF的中点

. AD

13. (2011四川广安,29,10分)如图8所示.P是⊙O外一点.PA是⊙O的切线.A是切

点.B是⊙O上一点.且PA=PB,连接AO、BO、AB,并延长BO与切线PA相交于点Q.

(1)求证:PB是⊙O的切线;

(2)求证: AQ?PQ= OQ?BQ;

(3)设∠AOQ=?.若cos?=4.OQ= 15.求AB的长 5

用心 爱心 专心 17

_ P

_ B

图8

【答案】(1)证明:如图,连结OP

∵PA=PB,AO=BO,PO=PO

∴△APO≌△BPO ∴∠PBO=∠PAO=90°

∴PB是⊙O的切线

(2)证明:∵∠OAQ=∠PBQ=90°

∴△QPB∽?QOA ∴PQBQ 即AQ?PQ= OQ?BQ ?OQAQ

AO4= ∴AO=12 OQ5 (3)解:cos?=

∵△QPB∽?QOA ∠BPQ=∠AOQ=?

BQ3= ∴PB

PB4

1 ∵AB?PO= OB?BP ∴AB

2 ∴tan∠BPQ=

_ P

_ B

8

14. (2011江苏淮安,25,10分)如图,AD是⊙O的弦,AB经过圆心O,交⊙O于点C,∠DAB=∠B=30°.

(1)直线BD是否与⊙O相切?为什么?(2)连接CD,若CD=5,求AB的长.

用心 爱心 专心 18

AB

(1)答:直线BD与⊙O相切.理由如下:

如图,连接OD,

∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°,

∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°,即OD⊥

BD,

∴直线BD与⊙O相切.

(2)解:由(1)知,∠ODA=∠DAB=30°,

∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°,

又∵OC=OD,

∴△DOB是等边三角形,

∴OA=OD=CD=5.

又∵∠B=30°,∠ODB=30°,

∴OB=2OD=10.

∴AB=OA+OB=5+10=15.

用心 爱心 专心 【答案】 19

15. (2011江苏南通,22,8分)(本小题满分8分)

如图,AM为⊙O的切线,A为切点,BD⊥AM于点D,BD交⊙O于C,OC平分∠AOB.求∠B的度数

.

【答案】60°.

16. (2011四川绵阳22,12)如图,在梯形ABCD中,AB//CD,∠BAD=90°,以AD为直径的

半圆O与BC相切.

(1)求证:OB丄OC;

(2)若AD= 12,∠ BCD=60°,⊙O1与半⊙O 外切,并与BC、CD 相切,求⊙O1的面积

.

【答案】(1)证明:连接OF,在梯形ABCD,在直角△AOB 和直角△AOB F中

?AO=FO∵? ?OB=OB

∴△AOB≌△AOB(HL)

同理△COD≌△COF,∴∠BOC=90°,即OB⊥

OC

(2) 过点做O1G,O1H垂直DC,DA,∵∠DOB=60°,∴∠DCO=∠BCO=30°,设O1G=x,又∵AD=12,∴OD=6,DC=63x, O1C =6-x,根据勾股定理可知O1G2+GC2=O1C2

x2+3x2=(6-x)2∴(x-2)(x+6)=0,x=2

用心 爱心 专心 20

H

17. (2011四川乐山24,10分)如图,D为?O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.

(1)求证:CD是⊙O的切线;

(2)过点B作?O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA=2,求BE

的长3

【答案】

⑴证明:连接

OD

∵OA=OD

∴∠ADO=∠OAD

∵AB为⊙O的直径,

∴∠ADO+∠BDO=90°

用心 爱心 专心 21

∴在RtΔABD中,∠ABD+∠BAD=90°

∵∠CDA=∠CBD

∴∠CDA+∠ADO=90°

∴OD⊥CE

即CE为⊙O的切线[来源:学科网]

18. (2011四川凉山州,27,8分)如图,已知△ABC,以BC为直径,O为圆心的半圆

?的中点,连接BE交AC于点M,AD为△ABC的角平分线,交AC于点F,点E为CF

且AD?BE,垂足为点H。

(1) 求证:AB是半圆O的切线;

(2) 若AB?3,BC?4,求BE的长。

O

A 27题图 A A

【答案】

⑴证明:连接EC,

∵BC是直径 ∴?E?90

有∵AD?BE于H ∴?AHM?90

∵?1??2 ∴?3??4

∵AD是△ABC的角平分线

∴?4??5??3 ??

?的中点 又 ∵E为CF

∴?3??7??5

∵AD?BE于H

∵?5??6?90 即?6??7?90

又∵BC是直径 ∴AB是半圆O的切线 ···4分

(2)∵AB?3,BC?4。

由(1)知,?ABC?90,∴AC?5。

在△ABM中,AD?BM于H,AD平分?BAC,

∴AM?AB?3,∴CM?2。

由△CME∽△BCE,得

∴EB?2EC,

∴BE????ECMC1??。 EBCB2 19. (2011江苏无锡,27,10分)(本题满分10分)如图,已知O(0,0)、A(4,0)、B(4,

3)。动点P从O点出发,以每秒3个单位的速度,沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运

用心 爱心 专心 22

动;动直线l从AB位置出发,以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动。若它们同时出发,运动的时间为t秒,当点P运动到O时,它们都停止运动。

(1)当P在线段OA上运动时,求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值

范围;

(2)当P在线段AB上运动时,设直线l分别与OA、OB交于C、D,试问:四边形CPBD

是否可能为菱形?若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由,并说明如何改变直线l的出发时间,使得四边形CPBD会是菱形。

【答案】

解:(1)当点P在线段OA上时,P(3t,0),??????????????????????(1分)

⊙P与x轴的两交点坐标分别为(3t ? 1,0)、(3t + 1,0),直线l为x = 4 ? t,

?3t ? 1 < 4 ? t,若直线l与⊙P相交,则??????(3分) ?4 ? t < 3t + 1.

35t(5分) 44

(2)点P与直线l运动t秒时,AP = 3t ? 4,AC = t.若要四边形CPBD为菱形,则CP // OB,

APAC3t ? 4t16∴∠PCA = ∠BOA,∴Rt△APC ∽ Rt△ABO,∴ = ∴,解得t ??ABAO349

(6分)

416205此时AP = ,AC = ,∴PCPB = 7 ? 3t≠ PC, 3993

故四边形CPBD不可能时菱形.?????????????????(7分)

(上述方法不唯一,只要推出矛盾即可)

现改变直线l的出发时间,设直线l比点P晚出发a秒,

若四边形CPBD为菱形,则CP // OB,∴△APC ∽ △ABO,

3t ? 47 ? 3tt ? a = 354

? 47 ? 3t41t = ?3t

3?524即:?,解得? 3t ? 4t ? a5?34.?a = 24

541∴只要直线l比点P晚出发秒,则当点P运动四边形CPBD就是菱形.??????2424

(10分)[来源:Z。xx。

k.Com] APPCAC = ,∴ABBOAO

用心 爱心 专心 23

20.(2011湖北武汉市,22,8分)(本题满分8分)如图,PA为⊙O的切线,A为切点.过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.

(1)求证:PB为⊙O的切线;

1(2)若tan∠ABE=,求sinE的值.

2

【答案】(本题8分)(1)证明:连接OA

∵PA为⊙O的切线,

∴∠PAO=90°

∵OA=OB,OP⊥AB于C

∴BC=CA,PB=PA

∴△PBO≌△PAO

∴∠PBO=∠PAO=90°

∴PB为⊙O的切线[来源:学科网]

(2)解法1:连接AD,∵BD是直径,∠BAD=90°

由(1)知∠BCO=90°

∴AD∥OP

∴△ADE∽△POE

∴EA/EP=AD/OP 由AD∥OC得AD=2OC

∵tan∠ABE=1/2

∴OC/BC=1/2,设OC=t,则BC=2t,AD=2t由△PBC∽△BOC,得PC=2BC=4t,OP=5t ∴EA/EP=AD/OP=2/5,可设EA=2m,EP=5m,则PA=3m

∵PA=PB∴PB=3m

∴sinE=PB/EP=3/5

(2)解法2:连接AD,则∠BAD=90°由(1)知∠BCO=90°∵由AD∥OC,∴AD=2OC ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC=t,BC=2t,AB=4t由△PBC∽△BOC,得PC=2BC=4t, ∴PA=PB=2t 过A作AF⊥PB于F,则AF·PB=AB·PC

86t 进而由勾股定理得PF=t 55

∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5

21. (2011湖南衡阳,24,8分)如图,△ABC内接于⊙O,CA=CB,CD∥AB且与OA的延长

线交与点D.

(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由;

(2)若∠ACB=120°,OA=2,求CD的长. ∴AF=

用心 爱心 专心 24

【解】 (1) CD与⊙O的位置关系是相切,理由如下:

作直径CE,连结AE.

∵CE是直径, ∴∠EAC=90°,∴∠E+∠ACE=90°,

∵CA=CB,∴∠B=∠CAB,∵AB∥CD,

∴∠ACD=∠CAB,∵∠B=∠E,∠ACD=∠E,

∴∠ACE+∠ACD=90°,即∠DCO=90°,

∴OC⊥D C,∴CD与⊙O相切.

(2)∵CD∥AB,OC⊥D C,∴OC⊥A B,

又∠ACB=120°,∴∠OCA=∠OCB=60°,

∵OA=OC,∴△OAC是等边三角形,

∴∠DOA=60°,

∴在Rt△DCO中,DC?tan?

DOA, OC

∴DC

OA

22. (2011湖南永州,23,10分)如图,AB是半圆O的直径,点C是⊙O上一点(不与A,B重合),连接AC,BC,过点O作OD∥AC交BC于点D,在OD的延长线上取一点E,连接EB,使∠OEB=∠ABC.[来源:Zxxk.Com]

⑴求证:BE是⊙O的切线;

⑵若OA=10,BC=16,求BE的长.

B(第25题图)

【答案】证明:⑴∵AB是半圆O的直径 ∴∠ACB=90°

∵OD∥AC ∴∠ODB=∠ACB=90° ∴∠BOD+∠ABC=90°

又∵∠OEB=∠ABC ∴∠BOD+∠OEB=90° ∴∠OBE=90°

∵AB是半圆O的直径 ∴BE是⊙O的切线

⑵在Rt?ABC中,AB=2OA=20,BC=16,∴AC?AB2?BC2?202?162?12

用心 爱心 专心

25

∴tanA?

∴BE?BC164BE4?? ∴tan?BOE?? AC123OB3441OB??10?13. 333

23. (2011江苏盐城,25,10分)如图,在△ABC中,∠C= 90°,以AB上一点O为圆心,

OA长为半径的圆与BC相切于点D,分别交AC、AB于点E、F.

(1)若AC=6,AB= 10,求⊙O的半径;

(2)连接OE、ED、DF、EF.若四边形BDEF是平行四边形,试判断四边形OFDE的形状,

并说明理由.

A

【答案】(1)连接OD. 设⊙O的半径为r.

∵BC切⊙O于点D,∴OD⊥BC.

∵∠C=90°,∴OD∥AC,∴△OBD∽△ABC.

ODOBr10-r15∴ = ,即 . 解得r ACAB6104

15∴⊙O的半径为. 4

(2)四边形OFDE是菱形.

∵四边形BDEF是平行四边形,∴∠DEF=∠B.

11∵∠DEFDOB,∴∠B=DOB. 22

∵∠ODB=90°,∴∠DOB+∠B=90°,∴∠DOB=60°.

∵DE∥AB,∴∠ODE=60°.∵OD=OE,∴△ODE是等边三角形.

∴OD=DE.∵OD=OF,∴DE=OF.∴四边形

OFDE是平行四边形.

A

∵OE=OF,∴平行四边形OFDE是菱形.

24. (20011江苏镇江27,9分)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y?3x?3的图象是直线4

l1,l2与x轴、y轴分别相交于A、B两点.直线l2过点C(a,0)且与l1垂直,其中a>0,点P、Q同时从A点出发,其中点P沿射线AB运动,速度为每秒4个单位;点Q沿射线AO运动,速度为每秒5个单位.

用心 爱心 专心 26

(1)写出A点的坐标和AB的长;

(2)当点P、Q运动了t秒时,以点Q为圆心,PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切,求此时a的值

.

答案:(1)A(-4,0),AB=5.

(2)由题意得:AP=4t,AQ=5t,AP

OA?AQ

OB?t,又∠PAQ=∠QAB,∴△APQ∽△AOB.

∴∠APQ=∠AOB=90°。

∵点P在l1上,∴⊙Q在运动过程中保持与l1相切。

①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时,设l1与⊙Q相切于F,由△APQ∽△AOB得 PQ4?PQ

3?5 ,∴PQ=6,

连接QF,则QF=PQ, △QFC∽△APQ∽△AOB得QF

OA?QC

AB. ∴PQQC

OA?AB,6

4?QC

5,∴QC=15

2,a=OQ+QC=27

2.

②当⊙Q在y轴左侧与y轴相切时,设l1与⊙Q相切于E, 由△APQ∽△AOB得 PQ4?PQ

3?5,∴PQ=3

2.

用心 爱心 专心 27

3

QFQCQFQCQC连接QE,则QE=PQ,由△QEC∽△APQ∽△AOB得,∴,?, ??OAABOAAB45

∴QC=315273,a=QC-OQ=.∴a的值为和。 8882?25. (2011广东湛江27,12分)如图,在Rt?ABC中,?C?90,点D是AC的中点,且

?A??CDB?90?,过点A,D作?O,使圆心O在AB上,?O与AB交于点E.

(1)求证:直线BD与?O相切;

(2)若AD:AE?4:5,BC?6,求?O的直径.

【答案】(1)证明:连接OD,在?AOD中,OA=OD,

所以?A??ODA,

又因为?A??CDB?90,

所以?ODA??CDB?90,所以?BDO?180?90?90,即OD?BD, 所以BD与?O相切;

(2)由于AE为直径,所以?ADE?90,由题意可知DE//BC,又点D是AC的中点,且 ??????

AD:AE?4:5,BC?6,所以可得AE?5,即?O的直径为5.

26. (2011贵州安顺,26,12分)已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.

⑴求证:点D是AB的中点;

⑵判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;

1⑶若⊙O的直径为18,cosB =,求DE的长. 3

用心 爱心 专心 28

第26题图

【答案】(1)证明:连接CD,则CD?AB, 又∵AC = BC, CD = CD, ∴Rt?ACD≌Rt?BCD

∴AD = BD , 即点D是AB的中点.

第26题图

(2)DE是⊙O的切线 .

理由是:连接OD, 则DO是△ABC的中位线,∴DO∥AC , 又∵DE?AC;

∴DE?DO 即DE是⊙O的切线;

1BD1(3)∵AC = BC, ∴∠B =∠A , ∴cos∠B = cos∠A =, ∵ cos∠B =?, 3BC3

BC = 18,

AE1∴BD = 6 , ∴AD = 6 , ∵ cos∠A =? , ∴AE = 2,[来源:Zxxk.Com] AD3

在Rt?AED中,DE=AD2?AE2?42.

27. (2011河北,25,10分)如图14-1至14-4中,两平行线AB,CD间的距离为6,点M为AB上一定点.

思考

如图14-1,圆心为O的半圆纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α.

当α= 度时,点P到CD的距离最小,最小值为 。

探究一

在图14-1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,CD之间顺时针旋转该半圆纸片,直到

用心 爱心 专心 29

不能再转动为止,如图14-2,得到最大旋转角∠BMO= 度,此时点N到CD的距离是

探究二

将图14-1中的扇形纸片NOP按下面对α要求剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转。

(1)如图14-3,当α=60°时,球在旋转过程中,点p到CD的最小距离,并请指出旋转角∠BMO的最大值;

(2)如图14-4,在扇形纸片MOP旋转过程中,要保证点P能落在直线CD上,请确定α的取值范围.

(参考数据:sin49°=

333

,cos41°=,tan37°= )

444

图14-2

图14-4

图14-1

图14-3

【答案】思考 90,2; 探究一 30,2; 探究二

(1)由已知得M与P的距离为4,∴当MP⊥AB

时,点P到AB的最大距离为4,从而点P到CD的最小距离为6-4=2.当扇形MOP在AB,CD之间旋转到不能再转时,弧MP与AB相切,此时旋转角最大,∠BMO的最大值为90°。

(2)如图,由探究一可知,点P是弧MP与CD的切点时,α达到最大,即OP⊥CD。此时延长PO交AB于点H,α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°。

如图,当点P在CD上且与AB距离最小时,MP⊥CD,α达到最小,连接MP,作OH⊥MP于点H,由垂径定理,得MH=3,在Rt△MOH中,MO=4,∴sin∠MOH=

B

MH3

?,∴∠MOH=49°,∵OH4

α=2∠MOH,∴α最小值为98°。∴α的取值范围是98°≤α≤120°。

用心 爱心 专心 30

2011中考模拟分类汇编:直线与圆的位置关系

一、选择题

1、(2011年北京四中中考模拟19)如图,PA为⊙O的切线,A为切点,PO交⊙O于点B,PA=8,OA=6,则tan∠APO的值为( )

A、

2、(2011年北京四中模拟26)

如果等边三角形的边长为6,那么它的内切圆的半径为

( )

A.3 B C..答案:B

3.(2011.河北廊坊安次区一模)一个钢管放在V形架内,图3是其截面图,O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25 Cm,∠MPN = 60?,则OP 的长为

A.50 Cm

答案:A

4.(2011湖北省天门市一模)如图,在△ABC中,AB?10,AC?8,BC?6,经过点C且与边AB相切的动圆 与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ长度的最小值是( )

A.4.75

B.4.8 C.5 D.B.25Cm C.3344 B、 C、 D、 545350Cm 3D.50Cm C 爱心 专心 A

31

(第4题)

答案:B

5.(2011年浙江省杭州市模2)如图,在矩形ABCD

中,BC=8,AB=6,经过点B和点D的两个动

圆均与AC相切,且与AB、BC、AD、DC分别

交于点G、H、E、F,则EF+GH的最小值是( )

A.6

答案:C B.8 C.9.6 D.10 第5题

二、填空题

1、(2011年北京四中模拟26)

如图,PA切⊙O于点A,PC过点O且于点B、C,若PA=6㎝,PB=4㎝,则⊙O的半

径为 ㎝.

答案:2.5㎝

2、(北京四中模拟)已知如图,P为⊙O外一点,过点P作⊙O的切线,切点为C,过P、O两点作⊙O的割线交⊙O于A、B两点,且PC=4cm,PA=3cm,则⊙O的半径

R= cm

答案:3cm

3、如图,点P为△ABC的内心,延长AP交△ABC的外接圆于D,过D作DE//BC,交AC的延

长线于E点。①则直线DE与⊙O的位置关系是 ▲ ;②若AB=4,AD=6,CE=3,则DE= ▲ 。

用心 爱心 专心 32

答案:相切,4.( 2011年杭州三月月考)如图所示,在Rt?ABC中,?C?90?,AC?6,BC?8,若以C为圆心,R为半径所得的圆与斜边AB只有一个公共点,则R是: ▲ 。

答案:R?

5. (2011年海宁市盐官片一模)如图AB、AC是⊙O的两条弦,?A=30°,过点C的切线与OB的延长线交于点D,则?D的度数为 .

答案:30°

(第5题图) 24或6?R?8 56、(2011年北京四中34模)在直径为12的⊙O中,点M为⊙

O所在平面上一点,且OM=5,则过点M的⊙O最短的弦长是

答案:2

7.(2011杭州市模拟)如图,矩形纸片ABCD,点E是AB上一点,且BE∶EA=5∶3,EC=把△BCE沿折痕EC向上翻折,若点B恰好落在AD边上,设这个点为F,则(1)AB= ,BC= ;(2)若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形,则⊙O的面积= . ;

答案:AB=24,BC=30,⊙O的面积=100?.(1+1+2分) BC

A EFDO

(第7题图)

8. (2011广东南塘二模)Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,内切圆半径= ;

用心 爱心 专心 33

答案:1

9.(浙江杭州靖江2011模拟)如图,AB是半图的直径,C为BA延长线上的一点,CD切半圆于点E。已知OA=1,设DF=x,AC=y

,则y关于x的函数解析式是_____________。(根据2009年衢州中考试卷改编)

答案:y?x 1?x

10.(浙江杭州进化2011一模)如图,⊙O1和⊙O2的半径为2和3,连接O1O2,交⊙O2于点

P,O1O2=7,若将⊙O1绕点P按顺时针方向以30°/秒的速度旋转一周,请写出⊙O1与⊙O2相切时的旋转时间为_______秒.

答案:3或6或9

11、(2011杭州模拟20)如图,AB是半圆O的直径,C为半圆上一点,

N是线段BC上一点(不与B﹑C重合),过N作AB的垂线交AB于M,交AC的延长线于E,过C点作半圆O的切线交EM于F,若NC∶CF=3∶2,

则 sinB=_______.

答案:O 第11题 E F 3 4M B

12、(江西省九校2010—2011第一次联考)如图,某房间一角(AC⊥BC)

放有一张直径为2m的圆桌(桌面紧贴AC、BC两边),则图中阴影部分的面积

是 .[来源:学科网]

答案: 1-

?4

13、(江西省九校2010—2011第一次联考)如图,Rt△ABC中∠C=90°、∠A=30°, 在AC边上取点O画圆使⊙O经过A、B两点,下列结论正确的序号是(多填或错填得0分,少填酌情给分) .

①AO=2CO ; ②AO=BC ; ③以O为圆心,以OC为半径的圆与AB相切;

用心 爱心 专心 34

④延长BC交⊙O与D,则A、B、D是⊙O的三等分点.

答案:①③④

14、(北京四中2011中考模拟13)如图:⊙O与AB相切于点A,BO与⊙O交 于点C,?BAC?24?,则?B等于 .

答案:42? [来源:学|科|网]

15、(北京四中2011中考模拟14)已知圆的直径为13㎝,圆心到直线L的距离为6㎝,那么直线L和这个圆的公共点的个数为_________________.

答案:2个

三、解答题

1.(2011年黄冈中考调研六)(满分7分)如图,从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC,切点分别为B、C,且⊙O直经BD=6,连结CD、AO。

(1)求证:CD∥AO;

(2)设CD=x,AO=y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x

的取值范围;CB

( 1)连接BC交OA于E点

∵AB、AC是⊙O的

切线,

∴AB=AC, ∠1=∠2

∴AE⊥BC

∴∠OEB=90O

∵BD是⊙O的直径

∴∠DCB=90O

∴∠DCB=∠OEB

2. (2011年江苏盐都中考模拟)(本题10分)已知:如图,O为平面直角坐标系的原点,半径为1的⊙B经过点O,且与x轴、y轴分别交于点A、C,点A的坐标为(?3,0),AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D.

(1)求OC的长度和∠CAO的度数

(2)求过D点的反比例函数的表达式.

用心 爱心 专心 35

解: (1)由题意得,在Rt△OAC中,OA=3,AC=2,所以OC=1,又因为cos∠CAO=

以∠CAO=30°;(4分)

(2)过D作DE⊥x轴,垂足为E,连接OB,因为DO切⊙B于O,所以∠BOD=90°,在Rt△OBD中,OB=1,∠OBD=60°,所以OD=,在Rt△ODE中,OD=,∠DOE=60°,,所2所以OE=

(6分) 33333,DE=,即,D(,),所以过D点的反比例函数表达式为y?。2224x2

3、(2011年北京四中中考模拟18)AB是⊙O的直径,点E是半圆上一动点(点E与点A、

B都不重合),点C是BE延长线上的一点,且CD⊥AB,垂足为D,CD与AE交于点H,点H与点A不重合。

(1)求证:△AHD∽△CBD

(2)连HB,若CD=AB=2,求HD+HO的值。 解:(1)证明:∵AB为⊙O的直径,CD⊥AB,

∴∠AEB=∠ADH=90°,

∴∠C+∠CHE=90°,∠A+∠AHD=90°, ∵∠AHD=∠CHE,∴∠A=∠C,

∵∠ADH=∠CDB=90°,

∴△AHD∽△CBD

(2)设OD=x,则BD=1-x,AD=1+x A O D B 证Rt△AHD∽Rt△CBD 图10 则HD : BD=AD : CD

即HD : (1-x)=(1+x) : 2

1?x2

即HD= 2

在Rt△HOD中,由勾股定理得:

1?x221?x2

)= OH=OD?HD?x?( 22222

1?x21?x2

所以HD+HO=+=1 22

4.(2011年江苏连云港)(本小题满分8分)

如图,△ABC内接于?O,AB为?O的直径,?BAC?2?B,AC?6,过点A作?O的切线与OC的延长线交于点P,求PA的长.

解:?AB是?O的直径,??ACB?90.又?BAC?2?B,用心 爱心 专心 ?P

A

(第4题图)

························ 3分 ??B?30?,?BAC?60?.

又OA?OC,所以△OAC是等边三角形,由AC?6,知OA?6. ······· 5分 ?PA是?O的切线,??OAP?90?.

在Rt△OAP中,OA?6,?AOC?60,

所以,PA?OAtan60? 8分

??A? C?

5.(2011.河北廊坊安次区一模)阅读材料:如图23—1,

的周长为l,面积为S,

(内切圆O的半径为r,探究

r与S、l之间的关系.连结OA,OB,OC

?S?S△OAB?S△OBC?S△OCA

111AB?r,S△OBC?BC?r,S△OCA?CA?r21世纪教育网 222

1111∴S?AB?r?BC?r?CA?r?l?r 2222

2S∴r? l又?S△OAB?

解决问题:

(1)利用探究的结论,计算边长分别为5,12,13的三角形内切圆半径;

(2)若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆),如图23—2且面积为S,各边长

分别为a,b,c,d,试推导四边形的内切圆半径公式;

(3)若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆,且面积为S,各边长分别为a1,

a2,a3,?,an,合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由).

.答案:(1)?5?12?13,?三角形为直角三角形 222

12?30?5?12?30,?r??2 25?12?13

,OB,OC,OD, (2)设四边形ABCD内切圆的圆心为O,连结OA

1111则S?S△OAB?S△OBC?S△OCD?S△ODA?AB?r?BC?r?CD?r?DA?r 2222面积S?

用心 爱心 专心 37

12s ?(a?b?c?d)?r,?r?2a?b?c?d

(3)r?2s a1?a2???an

6. (2011湖北省天门市一模)如图,已知△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过D作DE⊥BC,垂足为E,连结OE,CD=,∠ACB=30°.

(1)求证:DE是⊙O的切线;

(2)分别求AB,OE的长;

(3)填空:如果以点E为圆心,r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1, 则r的取值范围为 .

A

7、(北京四中模拟)

如图,点P是半径为6的⊙O外一点,过点P作⊙O的割线PAB,点C是⊙O上一点,

2且PC=PA.PB,

(1)求证:PC是⊙O的切线;

(2)若sin

∠,求弦AB的长;(3)已知在(2)的条件下,点D是劣弧AB的中点,连结CD交AB于E,若AC:

BC=1:3,求CE的长。

(1)证明:连接CO并延长交⊙O于M,连接AM ∵PC=PA.PB ∴2PCPB ?PAPC

∵∠P=∠P ∴△PAC∽△PCB ∠PCA=∠B

∵∠B=∠M ∴∠M=∠PCA

∵CM是直径 ∴∠MAC=90° ∴∠ACM+∠M=90° ∴∠ACM+∠PCA=90°

即∠PCM=90° ∴CM⊥PC ∴PC是⊙O的切线。

用心 爱心 专心 38

(2)连接AO,并延长AO交⊙O于N,连接BN

∵AN是直径 ∴∠ABN=90° ∠N=∠ACB,AN=12

在Rt△ABN中,AB=ANsin∠ACB=12sin∠ACB=12

= (3)连接OD交AB于F,∴OD⊥AB ∵D是劣弧AB的中点 ∴∠ACD=∠BCD ∵∠PCA=∠B ∴∠PCE=∠PEC ∴PC=PE 由△PCA∽△PBC 得 PC=3PA ∵PC2=PA.PB ∴9PA2=PA.PB ∴9PA=PB=PA+AB ∴

8PA=AB=∴

AB=

AF=

在Rt△OAF中,可求得OF=4 ∴DF=2 DE=3

∵AE·EB=DE·CE ∴CE=5

8、(北京四中模拟)如图,以等腰?ABC中的腰AB为直径作⊙O,交底边BC于

点D.过点D作DE?AC,垂足为E.

(I)求证:DE为⊙O的切线;

(II)若⊙O的半径为5,?BAC?60?,求DE的长.

解:(I)证明:连接AD,连接OD[来源:Zxxk.Com]

?AB是直径,?AD?BC,[来源:学科网ZXXK]

又??ABC是等腰三角形,∴D是BC的中点.

?OD∥AC.

DE?AC,?OD?DE.

?DE为⊙O的切线.

(II)在等腰?ABC中,?BAC?60?,知△ABC是等边三角形.

用心 爱心 专心 39

?⊙O的半径为5,?AB?BC?10,CD?

?DE?CD?sin60??1BC?5. 2

9、 (2011年浙江杭州六模)如图,AB为⊙O的弦,C为劣弧AB的中点,

(1)若⊙O的半径为5,AB?8,求tan?BAC;

(2)若?DAC??BAC,且点D在⊙O的外部,判断

AD与⊙O的位置关系,并说明理由.

答案:(1)解: ∵AB为⊙O的弦,C为劣弧AB的中点,AB?8 ∴OC?AB于E∴ AE?1AB?4 ??1分 2

又 ∵AO

?5 ∴ OE??3

∴ CE?OC?OE?2 ??1分

在Rt△AEC中,tan?BAC?9题 EC21?? ??1分 AE42

(2)AD与⊙O相切. ??1分

理由如下:

∵OA?OC ∴?C??OAC

∵由(1)知OC?AB ∴ ∠C+∠BAC=90°. ??1分

又∵?BAC??DAC ∴?OAC??DAC?90? ??1分

∴AD与⊙O相切.

B组

1.( 2011年杭州三月月考)如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.[来源:学.科.网]

(1)尺规作图:过A,D,C三点作⊙O(只要求作出图形,保留痕迹,不要求写作法);

(2)求证:BC是过A,D,C三点的圆的切线;

(3)若过A,D,C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P,使得以P,D,B为顶点的三角形与△BCO相似.若存在,求出DP的长;若不存在,请说明理由.

答案: 用心 爱心 专心 B40

解:(1)作出圆心O,

以点O为圆心,OA长为半径作圆.

(2)证明:∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°.

∴AD是⊙O的直径

连结OC,∵∠A=∠B=30°,

∴∠ACB=120°,又∵OA=OC,

∴∠ACO=∠A =30°,

∴∠BCO=∠ACB-∠ACO

=120°-30°=90°.

∴BC⊥OC,

∴BC是⊙O的切线.

(3)存在.

∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,

∴∠BCD=∠B, 即DB=DC.

又∵在Rt△ACD中,DC=AD?sin30?? A3, ∴BD

.

P1DBD, ?COBO解法一:①过点D作DP1// OC,则△P1D B∽△COB,

∵BO=BD+OD=23,

∴P1D=

BD×OC=

=. 32BO

②过点D作DP2⊥AB,则△BDP2∽△BCO, ∴

∵BC=BO?CO?3, 22P2DBD, ?OCBC

BD3?OC??3?1. BC3

解法二:①当△B P1D∽△BCO时,∠DP1B=∠OCB=90°. ∴P2D?

在Rt△B P1D中,

DP1=BD?sin30??3. 2

②当△B D P2∽△BCO时,∠P2DB=∠OCB=90°.

在Rt△B P2D中,

DP2=BD?tan30??1.

2.(2011年三门峡实验中学3月模拟)如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且?PDA??PBD.

用心 爱心 专心 41

(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;

(2)如果?BDE?60?

,PD?,求PA的长。

答案:

(1)PD是⊙O的切线

连接OD,∵OB=OD, ∴∠ODB=∠PBD

又∵∠PDA=∠PBD. ∴∠PDA=∠ODB

又∵AB是半圆的直径,∴∠ADB=90°.

即∠ODA+∠ODB=90°. ∴∠ODA+∠PDA=90°,

即OD⊥PD. ∴PD是⊙O的切线..

(2)∵OD⊥PE,AD⊥BD,∠BDE=60°,

∴∠ODB=∠PBD=∠PDA=30°

∴∠OAD=60°. ∴∠P=30°. ∴PA=AD=OD.

在直角△PDO

∴tan?P?

∴PA=1.

[来源:Z|xx|k.Com]

3.(2011安徽中考模拟)如图(1),∠ABC=90°,O为射线BC上一点,OB = 4,以点O为圆心,1BO长为半径作⊙O交BC于点D、E. 2

(1)当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切?请说明理由.

(2)若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M、N两点(如图(2)),MN

=⌒求MN的长.

图(1) OD,∴OD=PDtan∠

PD图(2) 答案:(1)当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60度或120度时与⊙O相切.??2分

(第22题)

用心 爱心 专心 42

理由:当BA绕点B按顺时针方向旋转60度到B A′的位置. 则∠A′BO=30°,

过O作OG⊥B A′垂足为G,

1

∴OG=OB=2. ??????????4分

2

∴B A′是⊙O的切线.????????5分

(第22题图) A″

同理,当BA绕点B按顺时针方向旋转120度到B A″的位置时, B A″也是⊙O的切线.???????6分

(如只有一个答案,且说理正确,给2分)

(或:当BA绕点B按顺时针方向旋转到B A′的位置时,BA与⊙O相切, 设切点为G,连结OG,则OG⊥AB,

∵OG=

1

OB,∴∠A′BO=30°. 2

∴BA绕点B按顺时针方向旋转了60度.

同理可知,当BA绕点B按顺时针方向旋转到B A″的位置时,BA与⊙O相切,BA绕点B按顺时针方向旋转了120度.) (2)∵MN=OM=ON=2,

∴MN = OM +ON,???????8分

2

2

2

∴∠MON=90°. ???????9分

90??2⌒

∴MN的长为l?=π.????12分

180

(第22题图)

4.(2011杭州上城区一模)AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,

连结AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.

(1)求证:AB=AC; (2)求证:DE为⊙O的切线.

答案:(1)证明:连接AD, ∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90° ,??1分

又∵BD=CD, ∴AD是BC的垂直平分线,?????1分 ∴AB=AC ?????1分

(2)连接OD ,∵点O、D分别是AB、BC的中点, ∴OD∥AC

又DE⊥AC ,∴OD⊥DE ?????2分 ∴DE为⊙O的切线.?????1分

5.(2011广东南塘二模)半圆O的直径AB为2cm,有一定弦用心 爱心 专心

(第4题)

圆内滑动(C不与A重合),AD与BC相交于P,如图。

(1)∠APC的大小是否为一定值?并说明理由。

(2)若CD=3cm,求∠APC的度数。

(第5题)

答案:(1)∠APC的大小是定值。理由:连AC,

∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAP+∠CPA=90°,

∵弦CD确定,∴CD也确定,则CD所对的圆周角∠CAP的大小也确定,∠CPA的大小是一定值。

3(2)连结OC、OD,则OC=OD=2cm, 2

∵CD=9,OC+OD=9,∴CD=OC+OD

∴∠COD=90°,∴∠CAD=45°,∵∠ACB=90°,∴∠APC=45°

6. (2011深圳市中考模拟五) 已知: 如图, AB是⊙O的直径,⊙O过AC的中点D, DE切⊙O于点D, 交BC于点E.

(1)求证: DE⊥BC;

(2)如果CD=4,CE=3,求⊙O的半径. 222222

C

(第6题)

答案:证明: (1)连结OD???????1分

∵DE切⊙O于点D

0∴DE⊥OD, ∴∠ODE=90 ???????2分

又∵AD=DC, AO=OB

∴OD//BC

0∴∠DEC=∠ODE=90, ∴DE⊥BC???????4分

(2)连结BD. ???????5分

0∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90 ???????6分

0∴BD⊥AC, ∴∠BDC=90

又∵DE⊥BC, △RtCDB∽△RtCED ???????7分

DC24216BCDC?? ???????9分 ?∴, ∴BC=CE33DCCE

又∵OD=1BC 2

用心 爱心 专心 44

∴OD=

81168??, 即⊙O的半径为???????10分 3233

7. (2011湖北武汉调考模拟二) 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC+BC=8,∠ACB的平分线交AB于点D,以D为圆心的⊙O与AC相切于点D.

(1)求证: ⊙0与BC相切;

(2)当AC=2时,求⊙O的半径,

(第7题) 答案: (1)证明略; (2)解:由(1)知BC与00相切,设BC与00切于点E,连接OD.OE,

∵ D、E为切点,

∴OD⊥AC,OE⊥BC,OD=OE,

S?ABC=S?AOC+ S?BOC =

∴ABC111AC·BC= AC·OD+BC·OE 222

111×2×6=×2×OD+×6×OE, 222

33,即⊙O的半径为. 22 ∵AC+BC=8 , AC=2,∴BC=6, ∴ 而OD=OE. ∴OD=

8. (2011湖北武汉调考一模) 如图, △ABC中AB=AC,D是BC边的中点,以点D为圆心的圆与AB相切于点E求证:AC与⊙D相切.

用心 爱心 专心 45

BC

答案:证明:作DF ⊥AC于F,连接AD、DE.

∵AB是⊙0的切线,∴ DE⊥ AB

∵AB=AC,D是BC的中点,

∴AD平分∠BAC

又DE ⊥AB.DF⊥AC,AD=AD,

∴?ADE≌?ADF ∴DF=DE,

∴AC是⊙D的切线.

9. (浙江杭州金山学校2011模拟)(6分) (根据2011年3月杭州市九年级数学月考试题第21题改编)

如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.

(1)尺规作图:过A,D,C三点作⊙O(只要求作出图形,保留痕迹,不要求写作法);

(2)求证:BC是过A,D,C三点的圆的切线;

答案:解:(1)作出圆心O, ???????2以点O为圆心,OA长为半径作圆.????1分

(2)证明:∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°.

∴AD是⊙O的直径?????1分

连结OC,∵∠A=∠B=30°,

∴∠ACB=120°,又∵OA=OC,

∴∠ACO=∠A =30°,????1分

∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°.

∴BC⊥OC,

∴BC是⊙O的切线. ?????????????????1分

10. (河南新乡2011模拟)( 10分)

如图,⊙O的直径AB=4,C为圆周上一点,AC=2,过点C作⊙O的切线l,过点B作l的

用心 爱心 专心 46

AB

垂线BD,垂足为D,BD与⊙O交于点 E.

(1) 求∠AEC的度数;

(2)求证:四边形OBEC是菱形.[来源

:Z.xx.k.Com]

答案:(10分)(1)解:在△AOC中,AC=2,

∵ AO=OC=2,

∴ △AOC是等边三角形.???2分

∴ ∠AOC=60°, [来源:学*科*网Z*X*X*K]

∴∠AEC=30°.???????4分

(2)证明:∵OC⊥l,BD⊥l.

∴ OC∥BD. ????????5分

∴ ∠ABD=∠AOC=60°.

∵ AB为⊙O的直径,

∴ △AEB为直角三角形,∠EAB=30°. ?????7分

∴∠EAB=∠AEC.

∴ 四边形OBEC 为平行四边形. ????????????9分

又∵ OB=OC=2.

∴ 四边形OBEC是菱形. ???????????10分

11、(2011年黄冈市浠水县)(本题满分8分)如图,直线EF交⊙O于A、B两点,AC是⊙O直径,DE是⊙O的切线,且DE⊥EF,垂足为E.

(1)求证:AD平分∠CAE;

(2)若DE=4cm,AE=2cm,求⊙O的半径.

答案:(1)证明:连接OD, ∵OD=OA ∴∠ODA=∠

∵DE是⊙O的切线 ∴∠ODE=90° OD⊥DE ????????? 2分

又∵DE⊥EF ∴OD∥EF ?????????? 3分

用心 爱心 专心 47

∴∠ODA=∠DAE ∴∠DAE=∠OAD ∴AD平分∠CAE. ??????? 5分 (2)解:连接CD ∵AC是⊙O直径 ∴∠ADC=90°??????? 6分 由(1)知:∠DAE=∠OAD ∠AED=∠ADC ∴△ADC∽△AED ∴

ADAC

? ??????? 7分 AEAD

在ADE中,DE=4 AE=2 ∴AD=25 ??????? 8分 25AC

? ∴AC=10 ??????? 9分 ∴225

∴ ⊙O5. ??????? 10分

12、(北京四中2011中考模拟13)如图2,PA切⊙O于点A,PBC交⊙O于点B、C,若PB、

PC的长是关于x的方程x2?8x?(m?2)?0的两根,且BC=4,

求:(1)m的值;(2)PA的长;

答案:.解:由题意知:(1)PB+PC=8,BC=PC-PB=2

∴PB=2,PC=6

∴PB·PC=(m+2)=12 ∴m=10

2

(2)∴PA=PB·PC=12

∴PA=23

13、(2011年黄冈浠水模拟1)如图,点A,B,C,D在?O

图2

1

上,AB?AC,AD与BC相交于点E,AE?ED,延长DB

2

1

到点F,使FB?BD,连结AF.求证:直线AF与?O相

2

切.

答案:连结OA,OB,OC.

∵AB?AC,BO?CO,OA?OA,

(第13题) ∴△OAB≌△OAC.∴?OAB??OAC.

所以AO是等腰三角形ABC顶角?BAC的平分线. ∴AO?BC.

11BDED2

在△BDE和△FDA中,∵FB?BD,AE?ED,∴??.

22FDAD3

又∵?BDE??FDA,

∴△BDE∽△FDA. ∴?EBD??AFD.∴BE∥FA.由AO?BE知,AO?FA.

∴直线FA与?O相切.

14、(2011年黄冈浠水模拟2)如图,已知AB是⊙O的直径,

直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB. (1)求证:AD⊥CD;

(2)若AD=2,AC=,求AB的长.

答案:(1)证明:连结BC.

??????????1分

用心 爱心 专心

48

∵直线CD与⊙O相切于点C,

∴∠DCA=∠B. ???? 2分

∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB.∴∠ADC=∠ACB.??3分

∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠ADC=90°,即AD⊥CD.????5分 (2)解:∵∠DCA=∠B,∠DAC=∠CAB,∴△ADC∽△ACB.?????6分

ADAC2

∴AC=AD·AB. ?

ACAB

5

∵AD=2,AC=,∴AB=.???9分.

2

15.(2011年广东省澄海实验学校模拟)如图21,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点M, 过点B做BE∥CD,交AC的延长线于点E,连结AD。 (1)求证:BE为⊙O的切线;

(2)如果CD=8,DM?1,求⊙O的直径。

AM2解:(1)证明:∵BE∥CD,CD⊥AB

∴BE⊥AB??????????????(2分) ∵AB为⊙O的直径

∴BE为⊙O的切线;?????????(3分)

(2)解:连接BC,∵AB为⊙O的直径,CD⊥AB ,CD=8

∴DM=CM=0.5CD=4?????????????(4分) ∵DM?1 AM2

∴AM=2DM=8????????????????(5分) ∵∠BCM=∠BAD, ∠CMB=∠AMD=90°

∴△BCM∽△DAM ??????????????(6分) ∴MB?DM?1??????????????(7分) MCAM2

∴MB=0.5MC=2????????????????(8分) ∴⊙O的直径:AB=AM+MB=8+2=10?????????(9分)

16. (2011湖北省崇阳县城关中学模拟) (本小题满分6分) 如图, CD切⊙O于点D,连结OC, 交⊙O

于点B,过点B作弦AB⊥OD,点E为垂足,已知⊙O的半 径为10,sin∠COD=

第15题

B

第15题答

B

4. 5

D 第16题

C

求:(1)弦AB的长; (2)CD的长;

BE

解:(1)?AB?OD ?AB?2BE,sin?COD? ?? 2′

0B

4

?BE?10??8,?AB?16 ?? 1′

5

(2)∵CD切⊙O于D,∴CD?OD

用心 爱心 专心 49

∴sin?COD?CD4?,不妨设CD?4k,则CO?5k,OD?3k OC5

10∴OD?3k?10,k? ?? 2′ 3

40∴CD?4k? ?? 1′ 3

17.(2011年杭州市上城区一模)(本小题满分6分)

AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连结AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.

(1)求证:AB=AC; (2)求证:DE为⊙O的切线.

答案:

(1)证明:连接AD, ∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90° ,

又∵BD=CD, ∴AD是BC的垂直平分线,

∴AB=AC

(2)连接OD ,∵点O、D分别是AB、BC的中点, ∴OD∥AC

又DE⊥AC ,∴OD⊥DE ∴DE为⊙O的切线.

18.(2011年海宁市盐官片一模)如图,AB是?O的直径,点C在BA

(第17题)

?O相切于点D,弦DF?AB于点E,线段CD=10,连接BD;

(1) 求证:?CDE=?DOC=2?B;

(2) 若BD:AB=3:2,求?O的半径及DF的长。

答案:⑴证明:

∵CD切⊙O ∴OD⊥CD

又∵DF⊥AD ∴∠CDE=∠DOC

∵OD=OB ∴ ∠B=∠OBD ∠COD=∠B+∠OBD[来源:Z|xx|k.Com]

∴∠CDE=∠COD=2∠B

⑵连AD,设BD=R,则AB=2k[来源:学+科+网Z+X+X+K] 用心 爱心 专心

50

∵AB为直径,∴∠ADB=90°∴AD=

∴AB=2AD, ∠B=30°

∠COD=60°,∠C=30°

∴BD=CD=10 ,DE=5

直径AB⊥DF ∴DF=2DE=10 ?2k?2?k2?k

10, 3

203103∴AB=,∴半径为 33BD=k=10,∴k=

一、选择题

1.(2010年 湖里区 二次适应性考试)已知半径分别为5 cm和8 cm的两圆相交,则它们的圆心距可能是( )

A.1 cm B.3 cm C.10 cm D.15 cm

答案:C

2.(2010年教育联合体)如图,已知AB是⊙O的直径,⊙O交BC的中点于D,DE⊥AC于E,

连接AD,则下列结论正确的个数是( )

1 ①AD⊥BC,②∠EDA=∠B,③OA=,④DE是⊙O的切线. 2

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案:D

3.(2010安徽省模拟)如图,AB是⊙O的直径,点D、E

是圆的三等分点,AE、BD的延长线交于点C,若CE=2,则

⊙O中阴影部分的面积是( )

C

4

3

2C.? 3A.?

答案:A

2 31D.? 3B.

? B第3题

用心 爱心 专心 51

4.(2010年重庆市綦江中学模拟1).在直角坐标系中,⊙A、⊙B的

位置如图所示.下列四个点中,在⊙A外部且在⊙B内部的是( )

A.(1,2) B.(2,1). C.(2,-1). D.(3,1)

答案C

5.(2010年聊城冠县实验中学二模)如下图,将半径为2cm的圆形纸片

折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为( )

A.2cm B.cm

答案C

6.(2010年广州市中考六模)、如果圆锥的母线长为6cm,底面圆半径为3cm,则这个圆锥的侧面积为( )

A. 9?cm

答案:B

7.(2010年广州市中考六模)如图,已知⊙O的弦AB、CD相交于点E,

的度数为60°,的度数为100°,则∠AEC等于( ) 2 C.2cm D.2cm 第5题图

B. 18?cm 2C. 27?cm 2D. 36?cm 2

A. 60° B. 100° C. 80° D. 130°

答案:C

8.(2010年广西桂林适应训练)如图,圆弧形桥拱的跨度AB=

12米,拱高CD=4米,则拱桥的半径为( ).

A.6.5米 B.9米 C.13米 D.15米

答案:A

9.(2010年广西桂林适应训练)如图,BD是⊙O的直径,∠CBD=30,

则∠A的度数为( ).[来

A.30 B.45 C.60 D.75

9题图

答案:C

10.(2010山东新泰)已知⊙O1的半径为5cm,⊙O2的半径为3cm,圆心距O1O2=2,那么⊙O1与⊙O2的位置关系是( )

A.相离 B.外切 C.相交 D.内切

答案:

D 用心 爱心 专心 ?????7

题图 8题图 52

11.(2010年济宁师专附中一模)如图,A,B,C,D为⊙O的四等分点,动点P从圆心

O出发,沿O?C?D?O路线作匀速运动,设运动时间为t(s).∠APB?y(?),则下

列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是( )

O

A A.

B.

C.

D.

第11题图 答案:C

12.(2010年武汉市中考拟)已知:如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A、B),过点P

作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C,AC、

BD相交于N点,连结ON、NP.下列结论:

① 四边形

ANPD是梯形; ② ON=NP; ③ DP·PC

为定植;

④ PA为∠NPD的平分线

. 其中一定成立的是

A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①④ 答案:B

13.(2010 年河南模拟)如图,圆心为A、B、C的三个圆彼此相切,且均与直线l相切,若⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为a,b,c,(0<c<a<b),则a、b、c一定满足的关系式为( ) A.2b=a+c ?C.

111

?? cab? 答案:D

14.(2010年湖南模拟)⊙O1和⊙O2半径分别为4和5,O1O2=7,则⊙O1和⊙O2的位置关系是( )

用心 爱心 专心

53

A.外离 B.相交 C.外切 D.内含

答案:B

15.(2010年湖南模拟)圆锥的母线长为3,底圆半径为1,则圆锥的侧面积为( )

A.3? B.4? C.? D.2?

答案:A

16.(2010年厦门湖里模拟)如图,正三角形ABC内接于⊙O,动点P在

圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于

A.30 B.60 C.90 D.45

答案:B

17.(2010年西湖区月考)如图,一种圆管的横截面是同心圆的圆环面,大圆的弦AB切小圆于点C,大圆弦AD交小圆于点E和F.为了计算截面(图中阴影部分)的面积,甲、乙、丙三位同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度.甲测得AB的长,乙测得AC的长,丙测得AD的长和EF的长.其中可以算出截面面积的同学是( )

A.甲、乙 B.丙

C.甲、乙、丙 D.无人能算出

答案:C

18.(2010年西湖区月考)四个半径为r的圆如图放置,相邻两个圆

交点之间的距离也为r,不相邻两个圆的圆周上两点间的最短距离等

于2,则

r的值是( )

A

2 B.

2 C.

2 D3

答案:A

19.(2010年铁岭加速度辅导学校)如图(3),已知AB是半圆O

的直径,∠BAC=32o,D是弧AC的中点,那么∠DAC的度数是( )

A.25o B.29o C.30o D.32°

答案:B

20.(2010年天水模拟)已知两圆的半径分别为3和4,圆心距为8,那么这两个圆的位置关系是( )

A.

内切 B.相交 C.外离 D.外切

用心 爱心 专心 54

????第16题

答案:C

二、填空题

1.(2010年河南模拟)圆内接四边形ABCD的内角∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠D=____° 答案:90

2.(2010年 河南模拟)如图,已知⊙O的半径

为R,AB是⊙O的直径,D是AB延长线上一点,

DC是⊙O的切C是切点,连接AC,若∠CAB=30,

则BD的长为

答案:R;

3.(2010年 河南模拟)如图,是一张电脑光盘的表面,

两个圆心都是O,大圆的弦AB所在的直线是小圆的切线,

切点为C,已知大圆的半径为5cm,小圆的半径为1cm, B0AD第2题A则弦AB的长是多少?

答案:4.(2010年广东省中考拟)如图2,AB是⊙O的直径,

∠COB=70°,则∠A=_____度.

答案.35.

5.(2010年武汉市中考拟)如图,点P在y轴上,?P交x轴4题

,B两点,连结BP并延长交?P于C,过点 于A

C的直线y?2x?b交x轴于D,且?P,

AB?4.若函数y?

则k=___________.

答案:-4 k(x<0)的图象过C点, x

6.(2010年铁岭加速度辅导学校)如图,在矩形空地上铺4块扇形草地.若扇形的半径均

用心 爱心 专心

55

为r米,圆心角均为90,则铺上的草地共有 平方米. ?

(第6题)

答案:πr 2

7.(2010年浙江永嘉)如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,点C在⊙O上,如果∠P=50°,那么∠ACB等于____ .13、65°;

8.(2010年广州市中考六模)、如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,

垂足为E,如果AB=10cm, CD=8cm,那么AE的长为 cm.

答案:3.75

9.(2010年广州市中考七模)、如右图,直角三角形ABC

∠C=90°,∠A=30°,点0在斜边AB

上,半径为2的⊙O点

B,切AC边于点D,交

BC边于点E,则由线段CD,CE弧DE围成的隐影部分的面积为

答案:(第8题) 第7题图 32?? 23第9题

10.(2010年广州市中考六模)、如果点P在坐标轴上,以点P为圆心,

直线l:y??12为半径的圆与54x?4相切,则点P的坐标是3

答案:(0,0)或(6,0)

三、解答题

1.(2010年 河南模拟)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径

用心 爱心 专心 56

的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连结DE.

(1) DE与半圆O相切吗?若相切,请给出证明;若不相切,请说明理由;

(2) 若AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根,求直角边BC的长. 解:(1)DE与半圆O相切.

证明: 连结OD、BD ∵AB是半圆O的直径

∴∠BDA=∠BDC=90° ∵在Rt△BDC中,E是BC边上的中点

∴DE=BE∴∠EBD=∠BDE

∵OB=OD∴∠OBD=∠ODB

又∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°

∴∠ODB+∠EBD=90°∴DE与半圆O相切.

(2)解:∵在Rt△ABC中,BD⊥AC

∴ Rt△ABD∽Rt△ABC

2 ∴ ABAD2AB

ACAB即AB=AD·AC∴ AC=AD

∵ AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根

∴ 解方程x2-10x+24=0得: x1=4 x2=6

∵ AD<AB ∴ AD=4 AB=6 ∴ AC=9

在Rt△ABC中,AB=6 AC=9

∴AC-AB81-36 =35

2.(2010年湖南模拟)如图4,平行四边形ABCDE中,以A为圆心,AB为半径的圆分别交AD、BC于

F、G,?延长BA交圆于E.求证:EF=FG. AFD证明:连结AG.

∵A为圆心,∴AB=AG. C∴∠ABG=∠AGB. ∵四边形ABCD为平行四边形.

∴AD∥BC.∠AGB=∠DAG,∠EAD=∠ABG.

∴∠DAG=∠EAD.

∴?EF?

FG?.

用心 爱心 专心 57

3.(2010年湖南模拟)如图 ,以△ACF的边AC为弦的圆交AF、CF于点B、E,连结BC,且满足AC=CE·CF.求证:△ABC为等腰三角形.

证明:连结AE.∵AC=CE·CF,∴ 22ACCF ?CEAC

又∵∠ACE=∠FCA.∴△ACE∽△FCA.

?. AC?BC ∴∠AEC=∠FAC. ∵?

∴AC=BC,∴△ABC为等腰三角形.

4.(2010年 中考模拟2)如图,有一个圆O和两个正六边形T1,T2 .T1的6个顶点都在圆周上,T2的6条边都和圆O相切(我们称T1,T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形) .

(1)设T1,T2的边长分别为a,b,圆O的半径为r,求r:a及r:b的值;

(2)求正六边形T1,T2的面积比S1:S2的值 . 答案:(1)连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形 . 所以r∶a=1∶1;

连接圆心O和T2相邻的两个顶点,得以圆O半径为高的正三角形,

所以r∶b=3∶2;

2(2) T1∶T2的连长比是∶2,所以S1∶S2=(a:b)?3:4

5.(2010年 中考模拟2)如图是一个几何体的三视图 .

(1)写出这个几何体的名称;

(2)根据所示数据计算这个几何体的表面积;

(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发,沿表面爬到AC的中点D,请你求出这个线路的最短路程 . 答案:

(1) 圆锥;

(2) 表面积

用心 爱心 专心 58

S=S扇形?S圆??rl??r?12??4??16?(平方厘米) (3) 如图将圆锥侧面展开,线段BD为所求的最短路程 . 由条件得,∠BAB′=120°,C为弧BB′中点,所以BD=3 .

6.(2010年长沙市中考模拟)在Rt△ABC中,?ACB?90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连结DE并延长,与BC

(1)求证:BD?BF;

(2)若BC?6,AD

?4,求⊙O的面积.

答案:1)证明:连结OE。?AC切⊙O于E,?OE⊥AC,

又?ACB?90°即BC⊥AC,?OE∥BC, ,

2

??OED??F。又OD?OE,??ODE??OED, ??ODE??F, ?BD?BF。

(2)设⊙O半径为r,由OE∥BC得△AOE∽△ABC.

?

AOOEr?4r

,即??,?r2?r?12?0,

ABBC2r?46

2

解之得r1?4,r2??3(舍)。?S⊙O?πr?16π。

7.(2010年 湖里区 二次适应性考试)已知:如图,△ABC的中,AB=AC,点B、C都在⊙O上,AB、AC交⊙O于D、E两点,求证:BD?CE 答案:证明:∵AB=AC

?

?

∴∠B=∠C ∴BE?CD ∵DE?DE

∴BD?CE

8.(2010年 湖里区 二次适应性考试)如图,线段AB与⊙O相切于点C,连结OA,OB,

?

?

?

?

??

第7题图

OB交⊙O于点D,已知OA?OB?6,AB?

(1)求⊙O的半径;

(2)求图中阴影部分的面积.

答案:(1)连结OC,∵AB与⊙O相切于点C

A

C D

B

第8题图

∴OC⊥AB.

用心 爱心 专心

59

∵OA?OB,

∴AC?BC?11AB???. 22

在Rt△

AOC中,OC???3.

∴ ⊙O的半径为3.

(2)在Rt△AOC中∵ OC=

∴扇形OCD的面积为 1OB, ∴ ∠B=30o, ∠COD=60o. 2

60?π?323S扇形OCD==π. 3602

阴影部分的面积为

S阴影=SRtΔOBC?S扇形OCD =313-π. OC?CB-π2

22

9.(2010年 湖里区 二次适应性考试)如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,

AE⊥CD于点E,DA平分∠BDE。

(1)求证:AE是⊙O的切线。

(2)若∠DBC=30°,DE=1 cm,求BD的长。

答案:

(1)证明:连结OA

∵AD平分∠BDE

∴∠ADE=∠ADO

∵OA=OD

∴∠OAD=∠ADO

∴∠ADE=∠OAD

∴OA∥CE

∵AE⊥CD

∴AE⊥OA

∴AE是⊙O的切线

(2)∵BD是⊙O的直径

第9题图

用心 爱心 专心 60

∴∠BCD=90° ∵∠DBC=30°

∴∠BDE=120° ∵AD平分∠BDE ∴∠ADE=∠ADO=60° ∵OA=OD

∴△OAD是等边三角形 ∴AD=OD=

1

BD 2

在Rt△AED中,DE=1,∠ADE=60° ∴AD=

DE

= 2

cos60?

∴BD=4

10.(2010年 湖里区 二次适应性考试)已知:如图, 直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A,点B、C把弧 OA分为三等分,连结MC并延长交y轴于D(0,3). (1)求证:△OMD≌△BAO; (2)若直线l:y?kx?b把⊙M的

?b?0. 答案:证明:

(第10题图) (1)连接BM,∵OA是直径,且B、C把弧OA三等分,∴?1??5?60°,

1

?5?30°, 2

1

又∵OA为⊙M直径,∴?ABO?90°,∴AB?OA?OM,?3?60°,

2

又∵OM?BM,∴?2?

∴?1??3,?DOM??ABO?90°,

??1??3,?

在△OMD和△BAO中,?OM?AB,

??DOM??ABO.?

∴△OMD≌△BAO(ASA) (2)若直线l把⊙M的面积分为二等份, 则直线l必过圆心M,

用心 爱心 专心

∵D(0,3),?1?60°,

∴在Rt△OMD中,

OM?OD??

tan60°, ∴M代入y?kx?b得:

M?b?0.

11.(2010年北京市朝阳区模拟)如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABO的三个顶点A、B、O

(1)画出△ABO绕点O逆时针旋转90?后得到的三角形;

(2)求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积.

解:(1)画图正确(如图).

(2)△AOB所扫过的面积是: S?S扇形OBD?S△AOB?

90π?42?4?4π?4. 360

12.(2010年聊城冠县实验中学二模) 如下图所示,以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边交于点D,E为BC边上的中点,连接DE。

(1)求证:DE是⊙O的切线;

(2)连接OE,AE,当∠CAB为何值时,四边形AOED是平行四边形?

解(1)连接OD与BD.

用心 爱心 专心 62

∵△BDC是Rt△,且E为BC中点

∴∠EDB=∠EBD

又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°

∴∠EDB+∠ODB=90°

∴DE是⊙O的切线

(2)∵∠EDO=∠B=90°,若要AOED是平行四边形,则DE∥AB,D为AC中点

又∵BD⊥AC

∴△ABC为等腰直角三角形

∴∠CAB=45°

13.(2010年广西桂林适应训练)、以RtΔABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边交于点

D,E为BC边上的中点,连接DE.

(1)求证:DE是⊙O的切线;

(2)连接OE、AE,当∠CAB为何值时,四边形AOED是平行四边

形?并在此条件下求

sin∠CAE的值.

答案:

(1)连接OD、BD

∵ΔBDC是RtΔ, 且E为BC中点。

∴∠EDB=∠EBD.

又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°

∴∠EDB+∠ODB=90°

∴DE是⊙O的切线;

(2)∵∠EDO=∠B=90°,

若要AOED是平行四边形,则DE∥AB,D为AC中点。

又∵BD⊥AC,

∴ΔABC为等腰直角三角形。

∴∠CAB=45°.

过E作EH⊥AC于H.

设BC=2k,

第13题

用心 爱心 专心 63

则EH=2K,AE?5K, 2

EH?? AE∴sin∠

CAE=

14.(2010年山东新泰)在某张航海图上,标明了三个观测点的坐标为O(0,0)、B(12,0)、C(12,16),由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区,如图所示.

(1)求圆形区域的面积(?取3.14);

(2)某时刻海面上出现一渔船A,在观测点O测得A位于北偏

东45°方向上,同时在观测点B测得A位于北偏东30°方向上,

求观测点B到渔船A的距离(结果保留三个有效数字);

(3)当渔船A由(2)中的位置向正西方向航行时,是否会进

入海洋生物保护区?请通过计算解释.

(1)314;(2)16.4;

(3)28.4>18,所以渔船A不会进入海洋生物保护区.

15.(2010年浙江杭州)已知:如图,AB是⊙O的直径,点C、D为圆上两点,且弧CB=弧

CD,CF⊥AB于点F,CE⊥AD的延长线于点E.

(1)试说明:DE=BF;

(2)若∠DAB=60°,AB=6,求△ACD的面积.

(1)∵ 弧CB=弧CD

∴ CB=CD,∠CAE=∠CAB

又∵ CF⊥AB,CE⊥

AD

用心 爱心 专心

64

∴ CE=CF ∴ △CED≌△CFB ∴ DE=BF

(2)易得:△CAE≌△CAF

易求:CF?

3

23BF?

2

∴ S?ACD?S?ACE?S?CDE?S?ACF?S?CFB?

19?(AB?BF)?CF?3 24

16.(2010年江西南昌一模)如图,在平面直角坐标系中,OP?4,直线OA与y轴的夹角为30?,以P为圆心,r 为半径作⊙P,(1) 当r为何值时,△PBC(2) 当⊙P与直线y??2相切时,求BC

答案:(1)作PM?OA于M. ∵?PBC是等边三角形, ∴PM?PC?sin60??∵?POA?30?, ∴PM?

r. 2

PO

?2. 2

r?2 ∴243

. ∴r?3

(2)连结PC.

∵PG与直线y??2相切, ∴⊙P的半径为4+2=6. ∴PC?6

用心

则MC?

PC2?PM2?62?22?42.

∵PM?BC, ∴BC?2MC?82.

17.(2010年厦门湖里模拟) 如图,已知在⊙O中,

AC是⊙O的直径,AC⊥BD于F,∠A=30°.

(1)求图中阴影部分的面积;

(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径. 答案:(1)∵∠A=30° AC⊥BD

C

1

∴BF=AB? ∠BOC=∠COD=60° OB=2OF

2

∴OF=2,OB=4

12016

??42?? 3603

1204

(2)根据题意得: 2?r????4 ∴r=

3180

S阴=

18.(2010年厦门湖里模拟)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,P是△OAC的重心,

2

且OP=,∠A=30o.

3(1)求劣弧⌒AC的长;

(2)若∠ABD=120o,BD=1,求证:CD是⊙O的切线.

答案:.(1)解:延长OP交AC于E, 2 ∵ P是△OAC的重心,OP=

3 ∴ OE=1, 且 E是AC的中点.

用心 爱心 专心

66

∵ OA=OC,∴ OE⊥AC. 在Rt△OAE中,∵ ∠A=30°,OE=1,

∴ OA=2.

∴ ∠AOE=60°.

∴ ∠AOC=120°.

∴ ︵AC43.

(2)证明:连结BC.

∵ E、O分别是线段AC、AB的中点,

∴ BC∥OE,且BC=2OE=2=OB=OC. ∴ △OBC是等边三角形.

法1:∴ ∠OBC=60°.

∵ ∠OBD=120°,∴ ∠CBD=60°=∠AOE.

∵ BD=1=OE,BC=OA,

∴ △OAE ≌△BCD.

∴ ∠BCD=30°.

∵ ∠OCB=60°,

∴ ∠OCD=90°.

∴ CD是⊙O的切线.

法2:过B作BF∥DC交CO于F.

∵ ∠BOC=60°,∠ABD=120°,

∴ OC∥BD.

∴ 四边形BDCF是平行四边形.

∴ CF=BD=1.

∵ OC=2,

∴ F是OC的中点.

∴ BF⊥OC.

∴ CD⊥OC. ∴ CD是⊙O的切线.

用心 爱心 专心 67

19.(2010年天水模拟)如图,AB是⊙O是直径,过A作⊙O的切线,在切线上截取AC=AB,连结OC交⊙O于D,连结BD并延长交AC于E,⊙F是△ADE的外接圆,⊙F在AE上. 求证:(1)CD是⊙F的切线;

(2)CD=AE.

证明:(1)连接DF

∵CA 切⊙O于A,∴∠CAB=90°

又∵∠OAD=∠ODA ∠FAD=∠FDA

∴∠OAC=∠ODF=90°

∴∠FDC=90

∴CD是⊙F的切线

(2)FDC=DAC=90

∠C=∠C

∴△CDF∽△CAO

又∵AC=AB ∴OA1DF== AC2CD

又∵DF=FE AE=2DF

∴AE=CD

20.(2010年广州中考数学模拟试题一)如图①②,图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏,铁环是圆形的,铁环向前滚动时,铁环钩保持与铁环相切.将这个游戏抽象为数学问题,如图②.已知铁环的半径为5个单位(每个单位为5cm),设铁环中心为O,铁环钩与铁环相切点为M,铁环与地面接触点为A,∠MOA=α,且sinα=3. 5

(1)求点M离地面AC的高度BM(单位:厘米);

(2)设人站立点C与点A的水平距离AC 等于11个单位,求铁环钩MF的长度(单位:厘米).

① 第20题图 ② 答案:过M作AC平行的直线,与OA,FC分别相交于H,

N.

用心 爱心 专心 68

(1)在Rt△OHM中,∠OHM=90°,OM=5,HM=OM×sinα=3,所以OH=4,MB=HA=5-4=1(单位),1×5=5(cm),所以铁环钩离地面的高度为5cm.

(2)因为∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°,∠FMN=∠MOH=α,所以

即得FN=3FN=sinα=,5FM3FM,在Rt△FMN中,∠FNM=90°,MN=BC=AC-AB=11-3=8(单位),由勾股5

3222222定理FM=FN+MN,即FM=(FM)+8,解得FM=10(单位),10×5=50(cm),所以铁环5

钩的长度FM为50cm.

用心 爱心 专心 69

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