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圆经典难题

发布时间:2013-12-02 10:29:56  

【例1】设线段AB=4cm,作图说明:到点A的距离大于3cm,且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形.

【例2】如图,点P的坐标为(4,0),⊙P的半径为5,且⊙P与x轴交于点A、B,与y 轴交于点C、D,试求出点A、B、C、D的坐标.

【例3】如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,试问:是否存在一个圆,使A、B、C、D四个点都在这个圆上?如果存在,请指出这个圆的圆心和半径;如果不存在,说明理由.

A

BD

【变式】如图,⊙O的半径为2.5,动点P到定点O的距离为2,动点Q到P点的距离为1,则点P、Q与⊙O有何位置关系?说明理由.

m2

考点二、圆的对称性

【例1】已知:如图,在⊙O中,弦AB的长是半径OA的3倍,C是的中点.求证:OACB是菱形.

【例2】已知:如图,MN是⊙O的直径,P是MN上一点,弦AC,BD过P点,且∠1=∠2.求证:PA=PB.

【变式】已知:如图,P是⊙O与⊙O'的一个交点,M是OO'的中点,过P点的直线又分别交两圆于A,A'两点,Q是AA'的中点.求证:MQ=MP.

【例3】已知:如图,⊙O的半径为10,圆心角∠AOB=90°,弦MN∥AB,且MN被点E,F三等分.求证:O点到MN的距离的平方等于半径长.

考点三 、圆周角和圆心角的关系

【例1】如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.

AB

【变式】如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC的长

.

【例2】如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值

.

【变式】如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.

(1)P是弧CAD上一点(不与C、D重合),试判断∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.

(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.

【例3】在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球部到A点时,乙随后冲到B点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素

)

【变式】钳工车间用圆钢做方形螺母,现要做边长为a的方形螺母, 问下料时至少要用直径多大的圆钢?

一、填空题:

1.⊙O的直径为10cm,⊙O所在的平面内有一点P,当PO_______时,点P在⊙O上;当PO_____时,点P在⊙O内;当PO______时,点P在⊙O外.

2.已知⊙O的周长为8?cm,若PO=2cm,则点P在____;若PO=4cm,则点P在____;若PO=6cm,则点P在_____.

3.平面上有两点A、B,若线段AB的长为3cm,则以A为圆心,经过点B的圆的面积为_______.

4.点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,4),则点B在以A为圆心, 6 为半径的圆的_______.

5.在半径为5cm的⊙O上有一点P,则OP的长为

________.

二、选择题:

6.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( )

A.50° B.100° C.130° D.200°

7.如图8,A、B、C、D四点在同一圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )

A.2对 B.3对 C.4对 D.5对

8.如图9,D是弧AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

9.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B等于( )

A.100° B.80° C.50° D.40°

10.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )

A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°

11.如图11,A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( )

A.40° B.50° C.70° D.110°

三、计算题

11.如图,CO是圆的半径,AB是弦,且

AB⊥CO于E,CE=1cm,AB=10cm,求半径CO的长.

12.已知:P为⊙O内一点,PO=4cm,过P点的最长弦为10cm.求:过P点的最短的弦长.

13.已知:如图,⊙O中弦AB,CD互相垂直于E,AE=5cm,BE=13cm.求:CD到圆心O的距离.

14.已知:如图,CD是⊙O的直径,AB是弦且CD⊥AB于M,CM=3cm,DM=1cm.求:弦AB的长.

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1.已知:如图,两个以O为圆心的同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D.求证:AC=BD.

2.已知:如图,⊙O中,M,N分别是两条不平行的弦AB和CD的中点,且AB=CD.求证:∠AMN=∠CNM.

3.已知:如图,CD是⊙O的弦,CE=FD,半径OA,OB分别过E,F点.求证:△OEF是等腰三角形.

答案:

考点一

11.如图所示,所组成的图形是阴影部分(不包括阴影的边界).

13.由已知得PO=4,PA=5,PB=5,故OA=1,OB=9,从而A点坐标为A(-1,10),B点坐标为(9,0);连结PC、PD,则PC=PD=5,又PO⊥CD,PO=4,故

=3.从而C点坐标为(0,3) ,D点坐标为(0,-3).

14.存在,以O为圆心,OA为半径的圆.

16.∵PO<2.5,故点P在⊙O内部;

∵Q点在以P为圆心,1为半径的⊙P上,∴1≤OQ≤3.当Q在Q1点或Q2点处,OQ=2.5,此时Q在⊙O上;当点Q在弧线Q1mQ2上(不包括端点Q1,Q2),则OQ>2.5,这时点Q 在⊙O外;当点Q在弧线Q1nQ2上(不包括端点Q1,Q2),则OQ<2.5,这时点Q在⊙O内.

考点二

18.提示:连接OC.只需证明OC与AB互相垂直且平分.

19.提示:作OM⊥AC于M,ON⊥BD于N,证明△OMP≌△ONP,则知OM=ON,从而AC=BD,进一步证明PA=PB.

20.提示:作OH⊥AA'于 H,作 O'K⊥AA'于 K,则 H,K各平分

AP,A'P,所以

作MN⊥AA'于N,则NH=NK,所以 NQ=NP,显然就有MQ=MP.

21.提示:过O作EC,FD的公垂线,垂足各为M,N,过O作AB的垂线,垂足为P,设法证出EM=FN及MC=ND.

22.提示:作OC⊥MN于C,设OC=x,则MC=3x.在Rt△OMC中,MC2+OC2=OM2,即(3x)2+x2=102,所以OC2=x2=10=半径.

考点三、

13.连接OC、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD是等边三角形,从而CD= 4cm.

14.连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD.

∵AD是直径,∴∠ACD=90°, ∴AC+CD=AD,即2AC=36,AC.

15.连接BD,则∴AB是直径,∴∠ADB=90°.

∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴

在Rt△PBD中,cos∠BPD=

设PD=3x,PB=4x,

??,

22222

PDCD. ?PBABPDCD3=, ?PBAB4

BD. ?PD16.(1)相等.理由如下:连接OD,∵AB⊥CD,AB是直径, ∴tan∠BPD=

??BD?,∴∠COB= ∠DOB. ∴BC

∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD.

(2)∠CP′D+∠COB=180°.

理由如下:连接P′P,

则∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.

∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.

∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB,

从而∠CP′D+∠COB=180°.

17.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则∠A<MCN=∠B,即∠B>∠A, 从而B处对MN的张角较大,在B处射门射中的机会大些.

a.

过手答案

11.提示:过O点作OM⊥AB于M.

12.提示:连接OM,ON,则OM⊥AB,ON⊥CD.所以∠OMA=∠ONC=90°.又AB=CD,所以OM=ON.由此得∠OMN=∠ONM.所以∠AMN=∠CNM.

13.提示:作OM⊥CD于M.

巩固答案

1.=5cm <5cm >5cm

2.⊙O内 ⊙O外 ⊙O外

23.9? cm

4.内部 5.5cm

7.A 8.C 9.B 10.C 11.B 12.C

3.13 cm.

4.6cm.提示:过 P与 OP垂直的弦最短.

5.4cm.提示:过O作OM⊥CD于M,ON⊥AB于N,则 MONE是矩形,且OM=NE=4,即 CD到圆心的距离是4 cm.

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