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数学:有理数--有理数的乘方课件(人教版七年级上)

发布时间:2013-09-20 11:26:04  

新课导入
国际象棋与麦粒的故事
相传,古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的 发明者——宰相西萨· 达依尔.于是,这位宰相 班· 跪在国王面前说:“陛下,请您在这张棋盘的第 一个小格内,赏给我一粒麦子;在第二个小格内 给两粒,第三格内给四粒,照这样下去,每一小 格都比前一小格加一倍.陛下啊,把这样摆满棋 盘

上所有64格的麦粒,都赏给您的仆人罢!”国王 慷慨地答应了宰相的要求,他下令将一袋麦子拿 到宝座前.计数麦粒的工作开始了.第一格内放 一粒,第二格两粒,第三格四粒……还没到第二 十格,袋子已经空了.一袋又一袋的麦子被扛到 国王面前来,但是,麦粒数一格接一格地增长得

那么迅速,很快就可以看出,即使拿来全印度的
小麦,国王也无法兑现他对宰相许下的诺言!这 位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢?

教学目标 知识与能力
在现实背景中,理解有理数乘方的
意义.能进行有理数的乘方运算,并会用

计算器进行乘方运算.掌握幂的符号法则.

教学目标 过程与方法
经历“做数学”和“用数学”的过 程,感受数学的奇妙性,领会重要的数 学建模思想、归纳思想,形成数感、符 号感,发展抽象思维.

教学目标
情感态度与价值观
认识数学与生活的密切联系,体验数学 活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性, 提高数学素养.通过参与数学学习活动,对 数学有好奇心和求知欲,形成主动学习态度, 培养科学探索精神.

教学重难点

重点
有理数乘方的意义.

难点
幂、底数、指数的概念及其表示,理 解有理数乘法运算与乘方间的联系,处理 好负数的乘方运算.

(1)边长为6的正方形的面积记为:
6×6 (2)棱长为6的正方体的体积可记为: 6×6×6

6

6 6

若正方形的边长为a,则面积是多少?

a· a 若正方体的棱长为a,则正方体的体积 为多少? a· a a·

a

a

· · · · · · 细 胞 分 裂 示 意 图 · · · · · ·

· · ·
· · ·

2 2×2

· · ·

· · ·

2×2×2

1个细胞30分钟后分裂成2个, 经过5小时,这种细胞由1个能分裂 成多少个?

2×2×··· ··×2×2 ··
10个2

6×6

记作62,读作6的平方(或二次方).

6×6×6 记作63,读作6的立方(或三次方). a· a a· a a·
记作a2,读作a的平方(或二次方). 记作a3,读作a的立方(或三次方).

2×2×… ×2×2 记作210,读作2的10次方.
10个

知识要点
一般地,n个相同因数a相乘,即:

a×a

… ×a ×

×a

n个
记作:an,读作a的n次方.

知识要点
求n个相同因数a的积的运算叫做乘方.
n= a×a 即:a

×… ×a ×a
n个

知识要点
底数
(任意有理数)

n a

指数 幂

an也读作a的n次

幂 .

a的平方 2 a? a 记作 a 读作 a的二次方 a的2次幂 a的立方 3 a ? a ? a 记作 a 读作 a的三次方 a的3次幂 a的四次方 4 a ? a ? a ? a 记作 a 读作 a的4次幂 a的n次方 a ? a ? ? ? a 记作 a n 读作 a的n次幂 n个

练一练
(1) 3 读做__________,其中底数是 3的4次幂 ___,指数是___,表示为___________,结果 3 3×3×3×3 4 81 为_____.
? 数是_____,指数是_____,表示为 3 4
? 3? ? 3? ? 3? ? ? ? ×? ? ? ×? ? ? ? 4? ? 4? ? 4?

4

3 ? 3 ? 读做____________,其中底 ? 的三次方 (2)? ? ? 4 ? 4? 3

3

27 ? _________________,结果为______. 64

a的底数,指数各是多少?
a的底数是a,指数是1.

一个数可以看作 这个数本身的一次方.

(1)7 有意义吗?
(2)1
2000

1

与1 有什么异同?

5

(3)02000有意义吗?

0的任何次幂等于零;
1的任何次幂等于1.

计算 :
(1)(-5) ; -125 (2)(-1) ; 1
1 ? 1? (3)? ? ? ; 4 ? 2?
2

3

4

(4)(-3) ; 243 (6)3 .
4

5

(5)4 ; 64

3

81

观察各题的结果,你能发现什么规律? 正数的任何次幂是正数;

负数的奇次幂是负数,负数的偶 次幂是正数.

观察下面两个式子有什么不同? 2 2 3 ?3? 2 2 ? ? 与 (-4) 与-4 5 ?5? (-4) 表示-4的平方, -42表示4的平方的相反数.
3 ?3? ? ? 表示 的平方 5 ?5? 32 表示 32 再除以5. 5 2
2

当底数是负数或 分数时,底数一定要 加上括号.

口算下列各题:
-1 (1)(-1) =_________, 8 1 (2)(-1) =_________,
5

(3)1 (4)0

2000 2005

1 = ____________,

=_____________, 0 4 10 000 (5)(-10) =_________, -125 (6)(-5) =__________.
3

运算名称 加法 减法

运算结果 和 差

乘法 除法 乘方

积 商 幂

例1:计算:

(1) ? ?5 ?

3 4

(2) ? ?6 ?
解:
3

(1) ? ?5 ? ? ? ?5 ? ? ? ?5 ? ? ? ?5 ? ? ?125; (2) ? ?4 ? ? ? ?4 ? ? ? ?4 ? ? ? ?4 ? ? ? ?4 ? ? 256.
4

4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 1024;
5

?1? ?1? 4 与5 哪一个大?那么? ? 与? ? 呢? ?4? ?3?
5 4

6

3

5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 625;
4

4 >5 .

5

4

1 1 1 1 1 1 1 ?1? ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 4 4 4 4 4096 ?4? ?1? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? . ? 3 ? 3 3 3 27
3

6

?1? ?1? ? ? <? ? . ?4? ?3?

6

3

一个大于1的正数作底数,指 数越大,乘方的结果越大; 而一个小于1的正数作底数, 指数越大,乘方的结果就越小 .

例2:用计算器计算 ? ?9 ? 和 ? ?7 ? .
6 5

解:用带符号键 (-) 的计算器.

( (-) 9 ∧ = 531 441.
显示:(-9)∧6 ( (-) 7 ∧ = -16807.

显示:(-7)∧5 6 所以 ? ?9 ? ? 531441, 5 ? ?7 ? ? 16807.

练一练
用计算器计算:

(?8) ;
6

262 144 279 936 20 736 9 924.36543

(-6) ; 12 ; 6.3 .
5 4

7

3+5 ×(-7)这个式子中,存在哪 几种计算?这道题按什么顺序计算? 存在+、×和乘方的运算.根据前面学 过的有理数的加减乘除混合运算法则,我们 应该“先乘除,后加减”来计算这个式 子.那么乘方的运算顺序我们又是怎么规定 的呢?

2

知识要点
有理数的混合运算应注意的运算顺序:
(1)先乘方,再乘除,最后加减; (2)同级运算,从左到右进行; (3)如有括号,先做括号内的运算,按

小括号、中括号、大括号依次进行.

?? 2? ? ?? 3?? ??? 4?
3

例3:计算:

2

? 2 ? ?? 3? ? ?? 2?
2

?

解:原式 ? ?8 ? ? ?3 ? ? ?16 ? 2 ? ? 9 ? ? ?2 ? ? ?8 ? ? ?3 ? ? 18 ? ? ?4.5 ? ? ?8 ? 54 ? 4.5 ? ?57.5

例3 计算:
? 4? ? 3? ?1? (1) ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; ? 5? ? 4? ? 2? (2) ? ?3 ?
3 3

?2? ? ? ?5 ? ? ?? 5 ? 2 ? ? 11? ? ? ?4 ? ? ? ? . ? ? ?3?
4

3

3 ? 4? ? 3? ?1? 解 :  ) ? 4 ? ? ? - ? ? ? ? ? ? ? ? (1 ? 5? ? 4? ?2? ? 4? ? 4? 1 ? ?4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5? ? 3? 8 4 4 1 ? ?4 ? ? ? 5 3 8 4 1 ? ?4 ? 15 8 47 ? ?4 . 120

解: 2) ? ?3 ? (

3

2 ?? 5 ? 24 ? ? 11? ? ? ?4 ? ? ? ? ? ? ?5 ? ? ? ? ? ? ?3?

3

? 1? 8 ? ?27 ? ? ?5 ? ? ?? 5 ? 16 ? ? 11? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 27 1 ? ? 1? 8 ? ? ?27 ? ? ?5 ? ? ?? ?11? ? ? ? ? ? ? ? 11 ? ? 4 ? 27 ? ? 1? 8 ? ?27 ? ? ?5 ? ? ? ?1? ? ? ? ? ? ? 4 ? 27 ? 5? 8 ? ?27 ? ? ? ? ? ? 4 ? 27 5 8 ? ?27 ? ? 4 27 59 ? ?28 . 108

例4:观察下面三行数:
-3,9,-27,81,-243,729,…;① 0,12,-24,84,-240,733,…;② 10,-17,55,-181,487,-1557,…;③

(1)第①行数按什么规律排列? (2)第② ③行数与第①行数分别有什 么关系? (3)取每行数的第9个数,计算这三个 数的和.

解:(1)第①行数是-3,(-3)2 ,(-3)3,
(-3) ,·. · · (2)对比①②两行中位置对应的数,将会发 现第②行数是第①行相应的数加3,即
4

-3+3,(-3) +3 ,(-3) +3,(-3) +3,·. · · 对比①③两行中位置对应的数,将会发 现第③行数是第①行对应的数的2倍再加1, 即 -3×2+1,(-3)2×2+1 ,(-3)3×2+1, (-3)4×2+1,·. · ·
2 3 4

(3

)每行数中的第20个数的和是:
(-3)9+[(-3)9+3] + [(-3)9×2+1]

=-19 683+(-19683+3) +(-19683) ×2+ 1

=-19 683-19 680-39 366+1 =-78 728.

课堂小结
指数

a

n

负数的奇次幂是负数, 负数的偶次幂是正数. 正 幂 数的任何次幂都是正数,0 的任何次幂都是0.

底数

有理数的混合运算应注意的运算顺序:
(1)先乘方,再乘除,最后加减; (2)同级运算,从左到右进行;

(3)如有括号,先做括号内的运算,按
小括号、中括号、大括号依次进行.

随堂练习
(1) ? ?2.5 ? ? ? ?2.5 ? ? ? ?2.5 ? ? ? ?2.5 ? ? ? ?2.5 ? , ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ( 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ( 3) a ? a ? ? ? a (1000). 4
5 ? 1? (1) ? ?2.5 ? ; ) ? ? ? ; ) a1000 . (2 (3 ? 3?

1.把下列各式写成乘方运算的形式,并 指出底数,指数各是多少?

(2)底数分别为: 2.5,- 1,a. 2 (3)指数分别为:5,4,1000.

2.如果一个数的偶次幂是正数,那么这 个数是( D ) A.正数 C.有理数 B.负数 D.非0数

3.如果有理数a满足a2<a,则a为( D ) A.绝对值小于1的数 B.大于1的数 C.小于-1的数 D.0和1之间的数

1 1 1 1 ? ? ?· · · . 4.计算: 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 999 ? 1000

1 1 1 1 解: ? ? ?· · · 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 999 ? 1000 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ·+ · · ? 1 2 2 3 3 4 999 1000 1 ? 1? 1000 999 ? . 1000

5.已知m=b1+b2+b3+b4+·+b1000, · · 当b=-1时,求m5的值.
解:当b=-1时,
m=b1+b2+b3+b4+·+b1000 · · =(-1) 1+ (-1) 2+ (-1) 3 + (-1)4 + ·+ (-1)1000 · ·

=-1+1-1+1 - ·-1+1 · · =0. 所以m5=05=0.


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