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函数综合复习

发布时间:2013-12-02 11:27:49  

一、知识概述

二、例题分析

1. 求自变量的取值范围:

x?2 (1) y ? x ?3
x?2? 0 x ?3 ? 0 x ? 2且x ? 3

3? 3? x (2) y ? x?2

3? x ? 0 x?2 ? 0
2? x?3

(3)如图,等腰△ABC的 周长为 l ,腰长为 x ,底 边长为 y ,则 y与 x 的函 数关系式及自变量 x 的取 值范围 l l ( ?x? ) y ? l ? 2x 4 2 _______________________.
l 2 x ? y,? 2 x ? l ? 2 x,? x ? 4

l y ? 0,? l ? 2 x ? 0,? x ? 2

2.有关函数概念的问题

1.已知函数 y ? 3 ? (m ? 2) x 是一 次函数,则 m ? ____ ,图像经过 第_____象限.
?m ? 3 ? 1 ?m ? ?2 解得 ? 解:由题意: ? ?m ? 2 ? 0 ?m ? 2
2

m2 ?3

?m ? ?2

解析式为 y ? ?4 x ? 3

这时图像过一、 二、四象限.

2.函数 y

?? x

m
m 2 ? m ?3

是正比例函

数,且图像通过第二、四象限, 则m=_____.
?m ? m ? 3 ? ?1 解:由题意: ?? m ? 0 ? ?m ? ?2或m ? 1?m ? 1. 解得 ? ?m ? 0
2

3.如果函数 y ? kx 的图像 是双曲线,且在第二、四象限内, 那么 k 的值是多少?
? 2 k ? k ? 2 ? ?1 解:由题意: ? ?k ? 0
2

2 k 2 ? k ?2

解得

1 ? ?k ? ?1或k ? 2 ? ?k ? 0 ?

?k ? ?1

3.确定函数解析式的问题

2.已知一抛物线与 轴的交点是A(-1,0)、 B(m,0),且经过第四象限的点C(1,n),而 m+n=-1,mn=-12,求此抛物线的解析式.
解:由题意,可设m、n是方程 x ? x ? 12 ? 0 的两个根, 解这个方程,得 x1 ? ?4, x2 ? 3
2

x

∵C(1,n)在第四象限, ∴n<0, ∴n=-4 从而m=3. ∵抛物线经过A(-1,0)、B(3,0)、C(1,-4) 故可设抛物线的解析式为 y ? a( x ? 1)(x ? 3)
将C(1,-4)代入,得 a ? 1 y ? ( x ? 1)(x ? 3) ? x 2 ? 2 x ? 3. ∴抛物线的解析式为

二次函数的三种常见的表达式:

y 1.一般式: ? ax

? bx ? c 2 y 2.顶点式: ? a( x ? h) ? k
2

其中抛物线的顶点坐标为 ( h, k )

3.两根式:y ? a( x ? x1 )(x ? x2 )
其中 x1、x2是相应的一元二次方程

ax ? bx ? c ? 0 的两个根
2

5.有关函数应用的问题

1.如图,在直角坐标系 xOy中,一次函数 交于点B. (1)若以原点为圆心的圆与直线AB相切于点C, 求切点C的坐标; (2)在 轴上是否存在点P,使△PAB为等腰三 角形?若存在,请直接写出点P的坐标; y 若不存在,请说明理由.
3 y? x?2 的图像与 3

x轴交于点A、与 y 轴

x

B A -4 -3 -2 -1 O

x

3 解:在一次函数 y ? x ? 2中 3

y
C K -2 -1

令x ? 0, 则y ? 2, 令y ? 0, 则x ? ?2 3
A

B

? A(?2 3,0), B(0,2)
-4

?OA ? 2 3, OB ? 2 在Rt?AOB中,AB ? OA2 ? OB2 ? 4
OA ? OB ? OC ? ? 3 AB

-3

O

x

过O作OC⊥AB于C,过C作CK⊥x轴于K.
OB 3 ? 在Rt△AOB中,tan∠BAO= OA 3

∴ ∠BAO=30o ∴ ∠AOC=60o , .

y

3 C B ? OK ? OC ? cos60 ? 2 A K

3 o CK ? OC ? sin 60 ? -4 -3 -2 -1 O 2
o

x

3 3 ? C点的坐标为 (? , ). 2 2

y

B

P3 (2 3,0)

x

P (?4 ? 2 3,0) 1

A

P4

O

P2 (?2 3 ? 4,0)

以AB为腰的等腰△ ABP , 则 P (?4 ? 2 3,0) 1 1 以AB为腰的等腰△ ABP , 则 P2 (?2 3 ? 4,0) 2
以AB为腰的等腰△ ABP , 则 P3 (2 3,0) 3 2 3 o , 以AB为底的等腰△ ABP ,OP4 ? 2 ? cot 60 ? 4 3 2 则 P4 (? 3 ,0)

3

k 2.已知反比例函数 y ? (k ? 0) x 和一次函数 y ? ? x ? 8 .

(1)若一次函数和反比例函数的图像交 于点(4,m),求m和 k ; (2) k 满足什么条件时,这两个函数图 像有两个不同的交点; (3)设(2)中的两个交点A、B,试判断 ∠AOB是锐角还是钝角.

k 2.已知反比例函数 y ? (k ? 0) x

和一次函数 y ? ? x ? 8 . (1)若一次函数和反比例函数的图像交于点 (4,m),求m 和 k ; 解:(1)由题意:一次函数的图像与反比例函数 的图像交于点(4,m),

?m ? ?4 ? 8 ? ?? k ?m ? 4 ?

?m ? 4 解得? ?k ? 16

k 2.已知反比例函数 y ? (k ? 0) x 和一次函数 y ? ? x ? 8 . (2) k 满足什么条件时,这两个函数图像有
两个不同的交点; 解:若两个函数的图像相交,则交点的坐标满 k 足 ? 消去 y,整理得 y? ? x ? 2 ? y ? ?x ? 8 x ? 8x ? k ? 0 ?

由? ? 0,即(?8)2 ? 4k ? 0,
又k ? 0,

得k ? 16

? k ? 16且k ? 0.

(3)设(2)中的两个交点A、B,试判断∠AOB 是锐角还是钝角.
k 当0 ? k ? 16时,y ? 的图像位于第一、三象 限, x

与直线y ? ? x ? 8的两个交点必在第一象 限

∴∠AOB<90o ,故∠AOB为锐角. k 当k ? 0时,y ? 的图像位于第二、四象 限, x 与直线y ? ? x ? 8的两个交点分别在第二 、四象限 ∴∠AOB>90o ,故∠AOB为钝角.

(3)∵抛物线开口向上,∴ a

? 0,
y

?OC ? ? 3a ? 3a
∵∠ACB≥90o , ①当∠ACB=90o 时, A 有Rt△BOC∽Rt△COA, ?OC 2 ? OA? OB ? 3 ?1 ? 3 3 ; ?OC ? 3 即3a ? 3,? a ? 3 ②当∠ACB>90o 时, 3 则OC ? 3,即3a ? 3, a ? . 3 3 所以0 ? a ? . 3

O
C

x B


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