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二次函数的图象及性质1

发布时间:2013-12-02 11:27:49  

二次函数y=ax2的图象和性质
y

x

引入: 1.正方体的边长为a,则它的表面积s与 2 边长为a的函数关系式为 s ? 6a
2.矩形的周长是60cm,则它的面积y(cm ) 与一边长x的函数关系式为 y=x(30-x) 。
2

3.某厂一月份的产值为50万元,以后 每月相对上个月的增长率为x,则三月 2 份的产值 y= 50(1 ? x) 万元

观察下列式子的特点:

(1)

s ? 6a

2
2

(2)

y ? ? x ? 30x
2

(3)

y ? 50x ? 100x ? 50
2

一般地,如果 y ? ax ? bx ? c (a,b,c是常数, a≠0),那么,y叫做x的二次函数.
1.练习:课课练第125页第1题.

2.当m取何值时,函数

y ? (m ? 2) x ? 4x ? 5
2

为一次函数?为二次函数?
3.函数

y ? (m ?1) x

m2 ?2m?1

? (m ? 3) x ? m

当m取何值时,它是二次函数?

x

y=x2 y= - x2 ...

... ...

-2 -1.5 4 2.25 -4 -2.25

-1 -0.5 1

0

0.5 0.25 -0.25

1 1 -1

1.5 2.25

2

...

0.25 0 -1 -0.25 0

4 -2.25 -4

... ...

函数图象画法

y ? x2

描点法

注意:列表时自变量 取值要均匀和对称。

列表 描点
画出下列函数的图象。

连线

1 2 (1) y ? x 2 (2) y ? 2 x 2 (3) y ? ? x 2 2

用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要 2 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 y ? ? x 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 用光滑曲线连 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺

x
1 y? 22 y=x x 2

... ...

-4 -3 8 4.5

-2 -1 2

0 0 0 0 0 0

1 0.5 0.5 0.5 1
? 2 3

2 2 1 2 1.5 1.5

3 4.5 1.5 4.5 2
? 8 3

4 8

...

0.5

... ...
...

x
y=2x2

... ...

-2 -1.5

-1 -0.5

2
8 3 -6

8

4.5

2

0.5
-1
? 2 3

x
22 2 y?? y=2x x 3

... -3 ... -6

-2 -1.5
? 8 3

... ...

1.5

1 y ? x2 2

y ? 2x2

列表参考

2 y ? ? x2

y ? x2

1 y ? x2 2

y ? 2x2

y ? ?x2

2 y ? ? x2 3

二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线,我们把它叫做抛物线。

这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于y轴 对称,y轴就是它的 对称,y轴就是它的 对称,y轴就是它的 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。

y ? x2
1、观察右图, 并完成填空。 2、练习2 3、想一想 4、例题
二次函数y=ax2的性质 1、顶点坐标与对称轴 2、位置与开口方向 3、增减性与极值

y ? ?x2

y=x2 抛物线 y=-x2 (0,0) (0,0) 顶点坐标 在同一坐标系内,抛物线y=x2与抛物线 在同一坐标系内,抛物线y=x2与抛物线 y轴 y轴 对称轴 2的位置有什么关系? 如果在同一坐标系内 y= -x2的位置有什么关系? 如果在同一坐标系内 y= -x 画函数y=ax2与y= -ax2的图象,怎样画才简便

? 画函数y=ax2与y= -ax2的图象,怎样画才简便? 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方(除顶点外) 位置 答:抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对 开口方向称,又关于原点对称。只要画出y=ax2与y= -ax2中的 向上 向下 增减性 一条抛物线,另一条可利用关于x轴对称或关于原点 动画演示 对称来画。 极值 当x=0时,最小值为0。 当x=0时,最大值为0。

y?x

2

当a>0时,在对称轴的 左侧,y随着x的增大而 减小。 当a>0时,在对称轴的 右侧,y随着x的增大而 增大。 当a<0时,在对称轴的 左侧,y随着x的增大而 增大。 当x=-2时,y=4 当x=1时,y=1 当x=-1时,y=1 当x=2时,y=4

当x=-2时,y=-4 当x=1时,y=-1 当x=-1时,y=-1 当x=2时,y=-4

y ? ?x

当a<0时,在对称轴的 2 右侧,y随着x的增大而 减小。

y ? x2

二次函数y=ax2的性质

y ? ?x

2

1、抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴。

2、当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且 向上无限伸展; 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且 向下无限伸展。

3、当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小; 在对称轴右侧,y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小。 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大; 在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大。

y ? 2x2

2、根据左边已画好的函数图象填空: (1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 (0,0), 对称轴是 y轴 ,在 对称轴的右 侧,
2 2 y?? x 3

y随着x的增大而增大;在 对称轴的左 侧, y随着x的增大而减小,当x= 0 时, 函数y的值最小,最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外)。

(2)抛物线

2 y ? ? x 2在x轴的 3

下 方(除顶点外),在对称轴的

左侧,y随着x的 增大而增大 ;在对称轴的右侧,y随着x的 增大而减小 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 当x 0 ,

?

0时,y<0.

1、已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8)。 (1)求此抛物线的函数解析式; (2)判断点B(-1,- 4)是否在此抛物线上。 (3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。 解(1)把(-2,-8)代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2. (2)因为 ? 4 ? ?2(?1) 2 ,所以点B(-1 ,-4) 不在此抛物线上。 (3)由-6=-2x2 ,得x2=3, x?? 3 所以纵坐标为-6的点有两个,它们分别是

( 3,?6)与(? 3,?6)

? 3

3

(? 3,6) y=-2x2

( 3,6)


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