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培优(九年级)第1讲——追问求根公式

发布时间:2013-12-02 11:27:51  

第一讲 追问求根公式

知识纵横

形如ax2?bx?c?0(a?0)的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式x1,2?b?b2?4ac?内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的全部代数运算;它回答了一元二2a

次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想,有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题,直接求解可能给解题带来许多不便,往往不是去解这个二次方程,而是对方程进行适当的变形来代换,从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

例题求解

x?1?0的解为 。 【例1】(1)方程2010x?2011

(2011年广东中考题)

2(2)设a、b是整数,方程x?ax?b?0的一根是4?2,则a?b的值是。 2

(四川省竞赛题)

2【例2】已知a?3a?1?0,那么4a?9a?2?29?( )。 21?a

A 、3 B 、5 C、35 D 、65

(“五羊杯”邀请赛试题)

【例3】设方程x2?2x??4?0,求满足该方程的所有根之和。

(重庆市竞赛题)

1

【例4】如图,已知点A(1,4)是直线与双曲线的交点,△ AOB的面积为15,求直线AB的解析式。 2

(十堰市中考题)

22【例5】已知三个不同的实数a、b、c满足a?b?c?3,方程x?ax?1?0和x?bx?c?0有一个

22相同的实根,方程x?x?a?0和x?cx?b?0也有一个相同的实根.求a、b、c的值.

(2011年全国初中数学竞赛题)

学力训练

基础夯实

1、若x?0是方程(m?2)x2?3x?m2?2m?8?0的解,则m?。

(荆州市中考题)

2、方程x?9x?18?0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为

(青岛市中考题)

3、关于x的方程a(x?m)?b?0的解是x1??2,x2?1(a、m、b均为常数,22a?0),则方程a(x?m?2)2?b?0的解是 。

(2011年兰州市中考题)

2

x2?2x?34、若使分式的值为0,则x的取值为( )。 2x?1

A 、1或-1 B 、-3或1 C 、-3 D 、-3或-1

(芜湖市中考题)

5、若关于x的一元二次方程(m?1)x2?5x?m2?3m?2?0的常数项为0,则m的值为( )

A 、 1 B 、 2 C 、 1或2 D 、 0

(山东省中考题)

6、(2005?浙江)根据下列表格的对应值:

判断方程ax+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)一个解的范围是( )

A、3?x?3.23 B、3.23?x?3.24 C、3.24?x?3.25 D 、3.25?x?3.26

(浙江省中考题) 2

2x2?x?x?1x?2?27、 先化简,再求值:?,其中x满足x?x?1?0。 ???2x?1?x?2x?1?x

(2011年重庆市中考题)

8、 已知x1、x2为方程x?3x?1?0的两实根,求代数式x1?8x2?20的值。

(芜湖市中考题)

9、 是否存在某个实数m,使得方程x?3x?1?0和x?2x?m?0有且只有一个公共的实根?如果存

在,求这个实数m及两方程的公共实根;如果不存在,请说明理由。

3 2223

能力拓展

10、 x?2002x?1?0的较小根?2001x?1?0的较大根为r,方程2001设方程2002x?2003222

为s,则r?s的值为 。

11、 已知a、b是方程x?4x?m?0的两个根,b、c是方程x?8x?5m?0的两个根,则m?

(山东省竞赛题)

12、 设方程(x?a)(x?b)?x?0的两根为c、d,则方程(x?c)(x?d)?x?0的两根为 。 22 (2011年四川省竞赛题)

13、 已知a、b是方程2x2?3x?2?0的两个实数根,则ab的值为( )。 a?b

A 、-1 B 、 1 C 、?22 D 、 33

(太原市竞赛题)

14、 已知三个关于x的一元二次方程ax?bx?c?0,bx?cx?a?0,cx?ax?b?0恰有一个公222

a2b2c2

??共实数根,则的值为( ) bccaab

A 、 0 B 、1 C 、 2 D 、3

4

(全国初中数学竞赛题)

15、 已知方程x?3x?1?0的两根也是方程x?ax?bx?c?0的根,求a?b?2c的值。

(全国初中数学联赛题)

17、已知:如图,△ABC是边长3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答下列问题:

(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?

(2)设四边形APQC的面积为y(cm),求y与t的关系式;是否存在某一时刻t,

使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二?如果存在,求出相应的t值;不存

在,说明理由;

(3)设PQ的长为x(cm),试确定y与x之间的关系式.

(青岛市中考题)

2242

1a3?118、设a是方程x?x??0的根,求5的值 4a?a4?a3?a22

(太原市竞赛题)

5

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