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二次根式的加减2

发布时间:2013-12-02 12:24:40  

二次根式运算、化简的 结果符合什么要求?
(1)被开方数不含分母;
分母不含根号;

(2)被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.

现有一块长7.5dm、宽5dm的木板,能否采用 如图的方式,在这块木板上截出两个分别是 8dm2和18dm2的正方形木板?
8 ? 18 ? 2 2 ? 3 2 (化成最简二次根式)
? (2 ? 3) 2 (分配律)
?5 2
8 ? 18 ? 5 2 ? 7.5

7.5dm

18 dm
8dm

5dm

? 18 ? 3 2 ? 5

?

8 ? 18 dm

?

∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板.

象 2 2与3 2 这样的,我们把它们称为同类二次根式。

几个二次根式化成最简二次根式以 后,如果被开方数相同,这几个二 次根式就叫做同类二次根式. 判断同类二次根式的关键是什么? (1)化成最简二次根式,

(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)

例 题 解 析
例1: 下列各式中,哪些是同类二次根式?

12
2 3
1 2

48
4 3

18
3 2

50 5 2
1 1 3

32
2 2 4 2

45
3 5 2 3 3

注意:判断一组式子是否为同类二次根式,只需看化 为最简二次根式后的被开方数是否相同,与最简二次 根式前面的因式及符号无关.

(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两 列火车共运多少?2x +3x=5x吨 _______________ (2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两 (2x +3y)吨 列火车共运多少?_______________ 以下问题你能用同样的方法计算吗?

?1 ?3

2 ?4 2

?2?

5?

2

?3?

8 ? 18 ? 4 2

例1计算: (1)12 ? 75 (2) 80 ? 45 (3) 9a ? 25a
解:

比较二次根式的加减 与整式的加减,你能 得出什么结论? 二次根式的加减实质是 合并同类二次根式. 整式的加减的实质是合 并同类项.

?2?
?3?

?1?

12 ? 75 ? 2 3 ? 5 3 ? (2 ? 5) 3 ? 7 3
80 ? 45 ? 4 5 ? 3 5 ? (4 ? 3) 5 ? 5
9a ? 25a ? 3 a ? 5 a ? (3 ? 5) a ? 8 a

先化简,后合并

计算:

8 ? 18 ? 4 2
如何合并 同类二次 根式?

?2 2?3 2?4 2 ? ?2 ? 3 ? 4 ? 2 ?9 2

与合并同类项类似,把同类二次根式的系 数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部 都不变,
总结二次根式加减运算的步骤

二次根式加减法的步骤:
交流 归纳 (1)将每个二次根式化为最简二次根式; (2)找出其中的同类二次根式; (3)合并同类二次根式。

一化

二找

三合并

2.计算:

先化简,后合并
(1) ? 4 7
(2)2 5 ? 5

(1)2 7 ? 6 7
(2) 80 ? 20 ? 5

(3) 18 ? ( 98 ? 27 )
1 ( 4)( 24 ? 0.5 ) ? ( ? 6) 8

(3)10 2 ? ?3 3
1 (4)3 6 ? 2 4

注意:不是同类二次根式的二次根式 (如 与 2 )不能合并 3

练习

1.判断:下列计算是否正确?为什么?
F F

?1?

8 ? 3 ? 8 ? 3;

?2?
?3?3

4 ? 9 ? 4 ? 9;
2 ? 2 ?2 2

T

练习:计算
(1)3 2 ? 3 ? 2 2 ? 3 3

解:原式

? 3 2 ? 2 2) 3 ? 3 3) ( ? (
? 2 ?2 3
(2) 8 ? 18 ? 12

强调: 先化简,

解:原式 ? 4 ? 2 ? 9 ? 2 ? 4 ? 3 ? 2 2 ?3 2 ?2 3 ?5 2 ?2 3

再合并

例2计算: 1 (1)2 12 ? 6 ? 3 48 3 (2)( 12 ? 20) ? ( 3 ? 5) 2 x 1 (3) 9x ? 6 ? 2x 3 4 x

解:

1 ?1?.2 12 ? 6 ? 3 48 ? 4 3 ? 2 3 ? 12 3 ? 14 3 3

?2?.?

12 ? 20 ?

? ?

3? 5 ?2 3?2 5? 3? 5

?

?3 3? 5
2 x 1 ?3?. 9 x ? 6 ? 2 x ? 2 x ? 3 x ? 2 x ? 3 x 3 4 x

例3 要焊接一个如图所示的钢架,大约 需要多少米钢材(精确到0.1米)?
B

2m

A

D 4m 1m
2

C

解: 根据勾股定理得:
2 2

AB ? AD ? BD ? 4 ? 2

2

? 20 ? 2 5

BC ? BD 2 ?CD2 ? 22 ? 12 ? 5
所需钢材的长度为: AB ? BC ? AC ? BD ? 2 5 ? 5 ? 5 ? 2 答:大约需要13.7m的钢材.

? 3 5 ? 7 ? 13.7

练习3:
如图,两个圆的圆心相同,它们的面 积分别是8cm2和18cm2,求圆环的宽度 d(两圆半径之差).
解: R ? r ? S

?
?

?

s

?

?

18

8

?
2?

?

?

3 2?

2 2?

R-r

?

?

?

?

答:圆环的宽度 d为

2?

?

cm.

反 馈 练 习

练习1:

(1) 18 ? 8

? 2

(2) 75 ? 27 ? 8 3 1 ?6 3 (3) 48 ? 6 3

(4)下列计算正确的是( D ) A. 5 ? 2 ? 3 B.8 ? 3 2 ? 11 2 C.4 5 ? 5 ? 4
3 1 D. a ? a ?? a 2 2

练习2
1.计算:

?1?5
?2?

2?

8 ? 7 18

4 8? ? 2

?? 1?

2

1 ?3?2 12 ? 4 ? 3 48, 27
? ? 1? ? 1 ?5?? 0.5 ? 2 ? ? ? ? 75 ? ? ? 3? ? 8 ? ? ? ?

2 ?4? 3

x 1 9x ? 6 ? 2x 4 x

2.细心算一算 1 2 (1)( 8 ? 2 0.25) ? ( 1 ? 50 ? 72) 8 3 4 1 4 (2)( 80 ? 1 ) ? ( 3 ? 45) 5 5 5

b 3 3 (3)2a 3ab ? ( 27a ? 2ab a) 6 4
2

1.同类二次根式的定义? 2.二次根式加减运算的步骤?

3.如何合并同类二次根式? 合并同类二次根式与合并同类项类似.


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