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24[1].1.3 弧、弦、圆心角

发布时间:2013-12-02 12:24:43  

圆心角:我们把顶点在圆心的角

叫做圆心角.
A


∠AOB为圆心角 圆心角∠AOB所对
B

的弦为AB,所对的弧
⌒ 为AB。

1、判别下列各图中的角是不是圆心角,并
说明理由。









任意给圆心角,对应出现三个量:
A

圆心角





B

疑问:这三个量之间会有什么关系呢?

如图,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1 的位置,你能发现哪些等量关系?为什么? A1 B1 · O A

B

∵ ∠AOB=∠A1OB1

∴AB=A1B1 ,AB=A1B1 .

⌒ ⌒

如图,⊙O与⊙O1是等圆,∠AOB =∠A1OB1=600,请问上述结论还成立吗?为 什么?
B B1 A1

· O

A

· O1

∵ ∠AOB=∠A1OB1

∴AB=A1B1 ,AB=A1B1 .

⌒ ⌒

圆心角定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 弧相等,所对的弦相等.

B
∵ ∠AOB=∠A1OB1 ∴AB=A1B1 ,AB=A1B1 .
⌒ ⌒

α

Oα A1 B1

A

思考:
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,你 能得什么结论?

在同圆或等圆中,如果两条弦相等呢?

等对等定理
同圆或等圆中,两
个圆心角、两条圆心角

B
α

所对的弧、两条圆心角
所对的弦中如果有一组 量相等,它们所对应的 其余各组量也相等。


A1 B1

A

等对等定理整体理解:
(1) 圆心角
(2) 弧 (3) 弦 B
α

知 一 得 二



A B1

A1

1、如图3,AB、CD是⊙O的两条弦。 (1)如果AB=CD,那么 (2)如果弧AB=弧CD,那么 (3)如果∠AOB=∠COD,那么 (4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,
A

, , ,
E

。 。 。
B

OF⊥CD于F,OE与OF相等吗? 为什么?
C

O

D F

图3

例1 如图1,在⊙O中,

⌒ ⌒

AB=AC,∠ACB=60°,
⌒ ⌒ 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。 证明: ∵AB=AC ∴AB=AC,△ABC是等腰三角形 又 ∠ACB=60°

A

O

B

C

∴△ABC是等边三角形,AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC

2、如图4,AB是⊙O的直径,BC=CD=DE,
∠COD=35°,求∠AOE的度数。
E ⌒ ⌒ ⌒ 证明: ∵ BC=CD=DE

⌒ ⌒ ⌒

D
C

∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°

A

O

B

∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD-∠DOE

=750

3、如图6,AD=BC,那么比较AB与CD的大小
.
A





C

D

O

B

4、如图7所示,CD为⊙O的弦,在CD上取
CE=DF,连结OE、OF,并延长交⊙O于点A、

B.
(1)试判断△OEF的形状,并说明理由;

(2)求证:AC=BD
O
C A E F B D

⌒ ⌒

5、如图,等边△ABC的三个顶点A、B、C都在 ⊙O上,连接OA、OB、OC,延长AO分别交BC ⌒ 于点P,交BC于点D,连接BD、CD. (1)判断四边形BDCO的形状,并说明理由; (2)若⊙O的半径为r,求△ABC的边长 A

O
B P D C

B
1、三个元素:
圆心角、弦、弧
α

Oα A1 B1

A

2、三个相等关系:
(1) 圆心角相等 (2) 弧相等

(3) 弦相等

知 一 得 二


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