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人教版九年级数学直线和圆的位置关系课件[1]

发布时间:2013-12-02 13:24:17  

周至县第七中学 朱慧娟

一、复习提问
1、点和圆的位置关系有几种?
(1)d<r (2)d=r (3)d>r 点在圆内 点在圆上 点 在圆外

2、“大漠孤烟直,长河落日圆” 是唐朝诗人王 维的诗句,它描述了黄昏日落时分塞外特有的景 象。如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一 条直线,那你能根据直线与圆的公共点的个数想象 一下,直线和圆的位置关系有几种?

你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?

a(地平线)
(3) (2) (1)

观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关 系是怎样的?

l l l l O

l l
l l l l l l l

直线和圆的位置关系
O

O
l

O

l

l

(1)直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交; 这时直线叫做圆的割线.

(2)直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切; 这时直线叫做圆的切线. 唯一的公共点叫做切点.
(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.

1、直线与圆相离、相切、相交的定义。

切点

切线

交点

交点

割线

相离

相切

相交

直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数 来定义的,即直线与圆没有公共点、只有一个公共点、 有两个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交。

思考:一条直线和一个圆,如果有公共点能不能多于 两个呢?

快速判断下列各图中直线与圆的位置关系
l l

.O
l

.O

1

.O2

.O

L

.

1.直线外一点到这条直线 垂线段的长度叫点到直线 的距离。
.A
D

2、连结直线外一点与直线所 垂线段 有点的线段中,最短的是______?

a

2、用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系,来 揭示圆和直线的位置关系。
r o d l r o d l

r o d

l

(1)直线l 和⊙O相离 (2)直线l 和⊙O相切 (3)直线l 和⊙O相交

d>r d=r d<r

总结:
判定直线 与圆的位置关系的方法有____种: 两
直线 与圆的公共点 (1)根据定义,由________________

的个数来判断; 圆心到直线的距离d与半径r (2)根据性质,由_________________ 的关系来判断。

在实际应用中,常采用第二种方法判定。

O
O O

r

d ┐

d
l


d
l



l

直线与圆的位置关系判定方法: 直线和圆的位置关系 公共点个数 圆心到直线距离 d 与半径 r 关系 公共点名称 直线名称 相交 2 d<r 交点 割线 相切 1 d=r 切点 切线 相离 0 d>r 无 无

三、练习与例题
1、已知圆的直径为13cm,设直线和圆心的距离为d : 2 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有____个公共点. 1 相切 2)若d=6.5cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. 相离 0 3)若d= 8 cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. 2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离,

则 d > 5cm 2)若AB和⊙O相切, 则 ;

d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm . 相交 3.直线和圆有2个交点,则直线和圆_________; 相切 直线和圆有1个交点,则直线和圆_________; 相离 直线和圆有没有交点,则直线和圆_________;

例1:在Rt△ABC中∠C= 90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心, r为半径的圆与AB有怎样的关系?为什么? (1) r=2cm (2) r=2.4cm (3) r=3cm
B
B B D

D

D C A

C

A

C

A



在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 3 cm , BC = 4 cm , 以 C 为圆心,r 为半径的圆与 AB 有怎样的关系?为什么? (1)r = 2 cm ; (2) r = 2.4 cm ; (3) r = 3 cm . A 解: C 作 CD⊥AB 于 D,在 Rt △ABC 中, 过

AB ? AC 2 ? BC 2 ? 32 ? 42 ? 5
根据三角形面积公式有 CD · = AC · AB BC D

?

AC ? BC 3 ? 4 CD ? ? ? 2.4(cm) AB 5
即圆心 C 到 AB 的距离 d = 2.4 cm.

C

B

(1) 当 r = 2 cm 时, d > r ,因此⊙C 和 AB 相离. 有 (2) 当 r = 2.4 cm 时, 有 d = r ,因此⊙C 和 AB 相切. (3) 当 r = 3 cm 时, 有 d < r ,因此⊙C 和 AB 相交.

练习
P102 1.

思考:
在⊙O中,经过半径OA的 外端点A作直线L⊥OA, 则圆心O到直线L的距离 是多少?______,直线L和 OA ⊙O有什么位置关系? 相切 _________.

.

O

L A 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线.

几何应用: ∵OA⊥L ∴L是⊙O的切线

圆O与直线l相切,则过点A的直径A B与切线l有 怎样的位置关系? 垂直
B

O

l
A

例1

直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线.

证明: 连接OC
∵OA=OB, CA=CB

∴△OAB是等腰三角形,OC 是底边AB上的中线
∴OC⊥AB ∴AB是⊙O的切线

将上页思考中的问题 反过来,如果L是⊙O 的切线,切点为A,那么 半径OA与直线L是不 是一定垂直呢?
一定垂直

.

O

切线的性质定理: A 圆的切线垂直于过切点的半径 练习 P103. 1. 2

L

切线长定理
A

如图:过⊙O外一点P 有两条直线PA、PB与 ⊙O相切. 在经过圆外一点的圆的切 线上,这点和切点间的线 段的长,叫做切线长.

O

P

B

切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的 切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角. 平分切点所成的两弧;垂直平分切点所成的弦.

例1

已知,如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点. 直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E,交 AB 于 C. (1)写出图中所有的垂直关系; (2)写出图中所有的全等三角形.

(3)如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.

解: (1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB , △ACP≌△BCP. E (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在 Rt△OAP 中,由勾股定理,得 PA 2 + OA 2 = OP 2
即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm 所以,半径 OA 的长为 3 cm. O

A D C P

B

思考

如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块

圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?

I

D

内切圆和内心的定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫 做三角形的内心.

例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm, 求AF、BD、CE的长. 解: 设AF=x(cm),则AE=x(cm) ∴CD=CE=AC-AE=13-x BD=BF=AB-AF=9-x 由 BD+CD=BC可得 (13-x)+(9-x)=14 解得 x=4 CE=9(cm).

∴ AF=4(cm), BD=5(cm),

练习 P106. 1. 2

记忆:
设a、b、c分别为?ABC中?A、?B、?C的对边,面积为S, s 1 则内切圆半径()r ? ,其中p ? (a ? b ? c); 1 p 2 1 (2)?C ? 90 ?,则r ? (a ? b ? c) 2

1 1. Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,b=4,则内切圆的半径是_______.

1.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D为 圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC是⊙D的切线.

F

2.AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是⊙O的切线,AB交 过C点的直径于点D,OA⊥CD,试判断△BCD的形状,并 说明你的理由.

3.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E 作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并 说明理由.

基础题:
正方形 1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是______. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 22cm 则此三角形的周长是_______. 3.⊙O边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,E、F切⊙O 2cm 于P点,交AB、BC于E、F,则△BEF的周长是_____.

G E

F H

4.已知:三角形ABC内接于⊙O,过点A作直线EF. (1)图甲,AB为直径,要使得EF是⊙O切线,还需添加的条件 ∠CAE=∠B (只需写出三种情况)①___________②_____________ AB⊥FE ∠BAC+∠CAE=90° ③______________. (2)图乙, AB为非直径的弦,∠CAE=∠B.求证:EF是⊙O的 切线.

H

5.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的 直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方 法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴 墙面量得MA的长,即可求出墙的直径,请你利用图乙,说 明她这样做的道理.

1、已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,以腰DC 的中点 E 为圆心的圆与 AB 相切,梯形的上底 AD 与底 BC 是方程 x 2-10x + 16 = 0 的两根,求 ⊙E 的半径 r .

F

想一想:圆的外切四边形的两组对边有什么关系?说 明你的结论的正确性.
D N C O M A L B

P


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