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辽宁省瓦房店市第八初级中学九年级上数学《24.1.4 圆周角》课件

发布时间:2013-12-02 13:24:20  

回顾旧知
A O· B A 顶点在圆心的角叫圆心角. 如果角的顶点不在 圆心上,是什么角? A

A

B

C

B

C

B

C

圆周角
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角.

抢答
A E B

圆中有多少个圆周角? 顶点A: ∠BAC、 ∠BAE、 ∠CAE 顶点B: ∠ABD、 ∠ABE、 ∠DBE 顶点C: ∠ACD 顶点D: ∠BDC 顶点E: ∠AEB

O ·

C

D

抢答

下列圆中的是圆周角吗?

√ ×





×

×

×

×

×

观察
当球员在B、D、E处射门时,他所处的位置对球 门AC分别形成三个张角∠ABC、∠ADC、∠AEC. 这三个角有何特点?它们的大小有什么关系? A

E


O

B D

C

A E

C

B

D

知识要点
圆周角定理①
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的 圆周角相等.
A C B

·
D E

·

观察
甲站在圆心O 位置,乙站在位置C,他们的视 角(∠AOB 和∠ACB)有什么关系? 如果丙、丁分别站在位置D和E,他们的视角 ( ∠ADB 和∠AEB )和同学乙的视角相同吗? 这几个角之间有什么关系?
丙D
A

乙C

甲O

丁E

B

? ?AOB是AB所对的圆心角 ? ?ACB是AB所对的圆周角 ? ?ADB是AB所对的圆周角 ? ?AEB是AB所对的圆周角

回顾 举一反三
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的 圆心角 相等. 圆周角
结论是否成立?

类比圆心角推导圆周角的性质

根据这三种情况, 你能画出几种同弧(等弧)所对的圆周角和圆心角? 我们分别探究圆周角与 圆心角的关系?
A C


A C


A C B


O

O

O

B

B

探究

圆周角与圆心角的关系

将圆对折,使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A.

(1)折痕在圆周角的一条边上.
∵OA=OC, A O · B C ∴∠A=∠C. 又∠BOC=∠A+∠C ∴∠BOC=2∠A

1 即 ?A ? ?BOC 2

探究

圆周角与圆心角的关系

将圆对折,使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A.

(2)折痕在圆周角的内部.
作直径AD, 利用(1)的结果,有
1 ?BAD ? ?BOD 2

A O· C

B 1 ?DAC ? ?DOC D 2 1 ??BAD ? ?DAC ? (?BOD ? ?DOC ) 2 1

??BAC ? ?BOC 2

探究

圆周角与圆心角的关系

将圆对折,使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A.

(3)折痕在圆周角的外部.
作直径AD, 利用(1)的结果,有

A

??BAC ? ?BOC 2

1 ?BAD ? ?BOD 2 O · 1 ?DAC ? ?DOC 2 1 D B C ??DAC ? ?DAB ? (?DOC ? ?DOB ) 2 1

知识要点
圆周角定理②
圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.

圆周角定理的推论
C1 半圆(或直径)所对的 圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦 A 是直径.

C2 C3 O

·

B

例题
⊙O直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB 的平分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长.
解:∵AB是直径, ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°. 在Rt△ABC中,

C
2

6 BC ? AB ? AC ? 10 ? 6 ? 8 A ∵CD平分∠ACB, ? ? ? BD. AD ?
2 2 2

8 10 · O D B

∴AD=

BD. 又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,

2 2 ? AD ? BD ? AB ? ? 10 ? 5 2(cm) 2 2

例题
1 已知:△ABC 中,CO为AB边上的中线, 且CO= AB 2 求证: △ABC 为直角三角形. C 证明: 以AB为直径作⊙O,
1 CO= AB, ∵AO=BO, 2

A

∴AO=BO=CO.

O

·

B

∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
1 ∴∠ACB= 2 ×180°= 90°.

∴ △ABC 为直角三角形.

在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等, 一定 相等 它们所对弧___________. F C 因为,在同圆或 G 等圆中,如果圆周角 A 相等,那么它所对的 O 圆心角也相等,所以 E 它所对的弧也相等. B

·

课堂小结
1. 圆周角
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角. A

2. 圆周角定理
C B 在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆 周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半.

3. 圆周角定理的推论
半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径.

C2
C1 C3

A

O

·

B

随堂练习
A B

1. 已知:AC = BD, 求证:AB∥CD.





C

D

证明:连接AD.

∵AC = BD, ∴ ∠ ADC=∠BAD ∴AB∥CD.





2. 已知:⊙O中弦AB的等于半径, 求:弦AB所对的圆心角和圆周角的度数. C

答:圆心角为60度.
O

圆周角为 30 度,

或 150 度.
A D

B

3. AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延 长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什 么关系?为什么? 答:BD=CD 证明:连接AD ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90° 即AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD

4. 在直径为AB的半圆中,O为圆心,C、D为 半圆上的两点,∠COD=50°,则∠CAD=______. 25°

5. 在⊙O中,一条弧所对的圆心角和圆周 角分别为(2x+100)°和(5x-30)°,则x=_______ 20° .

6. AB、AC为⊙O的两条弦,延长CA到D, 使AD=AB,如果∠ADB=35°. 求∠BOC的度数.

∠BOC =140°

35°

70°

7. 点A、B、C、D在同一个圆上,四边形 ABCD的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪 些是相等的角? ∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7
D A
2 3 4 1 8 7

∠3 = ∠6

6 5

B

C

由同弧来找相等的圆周角.

9. 已知:∠A是圆O的圆周角,∠A=40°. 求:∠OBC的度数.

10. 已知:AB是⊙O的直径AB=10cm, AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D .

求: BC, AD ,BD 的长.

C

6
A O P

10

B

D

11. AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两 点,若∠ABD=40°,求∠BCD.
D

A

O 40°

B

C

12. 在⊙O中,∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求 ∠A.

13. 在⊙O中,∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求 ∠A.


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