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5.3水箱变高了

发布时间:2013-12-03 11:23:53  

某居民楼顶有一个底面直径和高 均为4m的圆柱形储水箱。现该楼进 行维修改造,为减少楼顶原有储水 箱的占地面积,需要将它的底面直 径由4m减少为3.2m,那么在容积不 变的前提下,水箱的高度将由原来 的4m增高为多少米? 1、水箱在改造前后有何变化? 2、你发现有什么等量关系?

3、你能用数学表达式表示出来吗?

旧水箱

新水箱
3.2 2

底面半径(m)
高(m) 容积m3

4 2

4
?4? ? ?? ? ?4 ?2?
2

x 2 ? 3.2 ? ? ?? ? ?x ? 2 ?

根据等量关系:改造前的体积=改造后的体积, 2 2 列出方程 3.2

解得:x= 6.25 因此,高变成了 6.25 米。

? ? ?4? ? ?? ? ?? ? ?4 = ? ?x ?2? ? 2 ?

想一想
1、在将较高的玻璃杯中水倒入较矮玻璃杯的过程中,不变 的是 水的体积 .
2、将一块橡皮泥由一个瘦高的圆柱捏成一个矮胖的圆柱, 其中变的是 底面半径和高 ,不变的是 橡皮泥的体积 . 3、将一根12cm长的细绳围成一个长3cm的正方形,再改成 一个长4cm、宽2cm的长方形,不变的是 细绳的长度 。

学一学

?

例:用一根长为10米的铁线围成一个长方形. (1)使得该长方形的长比宽多1.4 米,此时长方 形的长、宽各是多少米呢?面积是多少? (2)使得该长方形的长比宽多0.8米,此时长方形 的长、宽各为多少米?它所围成的长方形(1)所 围成的长方形相比,面积有什么变化? (3)使得该长方形的长和宽相等,即围成一个 正方形,此时正方形的边长是多少米?围成的 面积与(2)所围成的面积相比,又有什么变化?

例:用一根长为10米的铁线围成一个长方形. (1)使得该长方形的长比宽多1.4 米,此时长方 形的长、宽各是多少米呢?面积是多少? 等量关系:(长+宽)× 2=周长 解:(1)设长方形的宽为X米, (X+1.4)米, 则它的长为

X

由题意得: (X+1.4 +X) ×2 =10 X+1.4 解得:X=1.8 长是:1.8+1.4=3.2(米)面积: 3.2 × 1.8=5.76(米2)

答:长方形的长为3.2米,宽为1.8米,面积是5.76米2.

(2)使得该长方形的长比宽多0.8米,此时长方形 的长、宽各为多少米?它所围成的长方形(1)所 围成的长方形相比,面积有什么变化?
解:设长方形的宽为x米,则它的 X 长为(x+0.8)米。由题意得: (X+0.8 +X) ×2 =10 解得:x=2.1
2 长为:2.1+0.8=2.9(米) 面积:2.9 ×2.1=6.09(米 )

X+0.8

面积增加:6.09-5.76=3.3(米2)

(3)使得该长方形的长和宽相等,即围成一个正方 形,此时正方形的边长是多少米?围成的面积与(2) 所围成的面积相比,又有什么变化? 解:设正方形的边长为x米。

由题意得:

4 x =10

解得:x=2.5

X

边长为: 2.5米 面积:2.5 × 2.5 =6. 25 (米2) 面积增加:6.25-6

.09=1.6(米2 )

同样长的铁线围成怎样的四边形面 积最大呢?

面积:1.8 × 3.2=5.76

例 (1)

例(2) 面积: 2.9 ×2.1=6.09

长方形的周长一定时, 当且仅当长宽相等时 面积最大。
例(3)

面积: 2.5 × 2.5 =6. 25

你自己来尝试!
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物,小颖 将梯形下底的钉子去掉,并将这条彩绳钉成一个长方形, 那么,小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米? 分析:等量关系是 变形前后周长相等 解:设长方形的长是 x 厘米,由题意得:

2( x ? 10) ? 10 ? 4 ? 6 ? 2
解得

x ? 16

10 6

因此,小颖所钉长方形的长是16厘米,宽是10厘米。 10 10 10 6



1、列方程的关键是正确找出等量关系。

2、线段长度一定时,不管围成怎样 的图形,周长不变
3、长方形周长不变时,当且仅当长与宽 相等时,面积最大。

考考你
小明的爸爸想用18米长的篱笆在墙边围成一个 鸡棚(其中墙足够长),使长比宽多6米,问小明要 帮他爸爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢?怎样围 能使鸡棚面积最大?
解:设小明帮他爸爸围成的鸡棚宽是x米,则长为(x+6)米。 根据题意得: X+X+X+6=18 x=4 长方形的长为:4+6=10 答:小明帮他爸爸围成的鸡棚的宽是4米,长为10米。

这样做对吗?

想一想
内直径为20cm的圆柱形水桶中的水全部倒入一个长 、宽、高分别为30cm、20cm、80cm的长方体铁盒中,正 好倒满,求圆柱形水桶的高.(π取3.14,最后结果保留两 位小数)

解:设圆柱形水桶高为xcm,根据题意,得 20 2 ? ( ) ? x ? 30 ? 20 ? 80 2 480 x? ? 152.87 解得 ? 答:圆柱形水桶高约152.87cm.

开拓思维
把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体 铁块,浸入半径为4cm的圆柱形玻璃杯中(盛有水),水 面将增高多少?(不外溢)(精确到0.1cm) 相等关系:水面增高体积=长方体体积

解:设水面增高 x 厘米,由题意得:

5? 3? 3 ? ? ? 4 ? x
2

解得

45 x? ? 0.9 16?

因此,水面增高约为0.9厘米。

——讨 论 题——
在一个底面直径为3cm,高为22cm 的量筒内装满水,再将筒内的水到入底 面直径为7cm,高为9cm的烧杯内,能否 完全装下?若装不下,筒内水还剩多高? 若能装下,求杯内水面的高度。

答 案
? 3? 解: 筒 ? ? ? ? ? ? 22 ? 49.5? (cm3 ) V ? 2? 2 ?7? V杯 ? ? ? ? ? ? 9 ? 110 .25? (cm3 ) ? 2?
2

V筒 ? V杯

所以,能装下。
2

设杯内水面的高度为 x 厘米。

?7? ? ? ? ? ? x ? 49.5? ? 2? x ? 4.04

杯内水面的高度为 4.04 厘米。

若将烧杯中装满水倒入量筒中,能否装下? 若装不下,杯内还剩水多高? 3 V筒 ? 49 .5? (cm ) 解:因为 V

杯 ? 110 .25? (cm3 ) V筒 ? V杯
所以,不能装下。 设杯内还剩水高为 x 厘米。

?7? ? ? ? ? ? x ? (110 .25 ? 49.5)? ? 2?

2

x ? 4.96

因此,杯内还剩水高为 4.96 厘米。


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