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八年级上册数学完全平方公式(公开课)课件

发布时间:2013-12-03 12:25:17  

从分数到分式

回顾 & 思考 ?

回顾与思考 公式的结构特征: 左边是 两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 右边是 两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项:

(a+b)(a?b)= a2 ? b2;

? 弄清在什么情况下才能使用平方差公式:
?

对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和符 号相反的“项”; 仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后, 才能使用平方差公式。

在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做 到不弄错符号、当第一(二)数是乘积且被平方时 要注意添括 号, 是运用平方差公式进行多项式乘法的关键。

做一做
其边长增加 b 米。 形成四块 完全平方公 实验田,以种植不同的新品种 式 b (如图1—6). 用不同的形式表示实验田 的总面积, 并进行比较. 因需要将 一块边长为a米的正方形实验田,

探索: 你发现了什么?

a a
图1—6

直 总面积= (a+b) 2; 接 法一 求 间 接 总面积= a2+ ab+ ab+ b2. 法二 求

b

公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.

动脑筋
想一想

的证明

? (a+b)2=a2+2ab+b2 ; 完全平方公式 2= a2 ?2ab+b2. ? (a?b)

(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?

(2) 小颖写出了如下的算式: (a?b)2= [a+(?b)]2 她是怎么想的? 你能继续做下去吗?
推证 ?

(a+b)2 =(a+b) (a+b)=a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2;
(a?b)2= [a+(?b)]2 = a 2 + 2 a (?b) + (?b) 2 = a2 ? 2ab + b2.

利用两数和的 完全平方公式 ? 推证公式 ?

议一议

几何解释:
b

a
a b b

= a2
a?b

+ ab

+ ab

+ b2

a?b (a?b)2 b(a?b)

a

(a+b)2=a2+2ab+b2 (a?b)2 = a2?2ab+b2
(a?b)2 = a2 ?ab ?b(a?b) = a2?2ab+b2 .

b

ab
a

初 识 完全平方公式
2 + 2ab+b2 (a+b)2 = a2+2ab+b2 . a+b 2 (a ?b 2 = a2 ? 2ab+b2 . ?2ab+b 2 a ?b)

结构特征: 左边是 二项式 (两数和 (差)) 的平方; 右边是 两数的平方和 加上(减去) 这两数乘积的两倍.

2-(a2+b2)= a2+2ab+b2-a2-b2 (a+b)

=2ab

比一比 赛一赛
回答下列问题: (1) (a+2y)2是哪两个数的和的平方? (a+2y)2 =( a ) 2+2( a )( 2y )+( 2y ) 2 (2) (2x?5y)2是哪两个数的差的平方? (2x -5y)2 =( 2x ) 2 -2(2x)( 5y )+( 5y ) 2 (2x?5y)2可以看成哪两个数的和的平方? (2x?5y)2可以看成2x与 ?5y的和的平方.

学一学 ?

例1 利用完全平方公式计算: (1) (4m+n)2 ; (2) (y-0.5x)2 ; (3) (-a?b)2 ;

(a+b)2 = a2+2ab+b2 . (a ?b)2 = a2 ?2ab+b2 .
(4) (b-a)2

2 解:(1) (4m+n)22= a2+2ab+b2×4m×n + n2 =16m2+8mn+n2 4m n 这与(a+b) = (4m) + 2

(a ?b)2 = a2 ?2ab+b2 有何 关系 (2) (y-0.5x)2= y2-2×y×0.5x+(0.5x)2 =y2-xy+0.25x2

(3) (-a?b)2= (-a)2-2(-a)b+b2 =a2+2ab+b2

(4) (b-a)2= b2-2 ?b ?a+a2 =b2-2ab+a2

(-a?b)2=(a+b)2 (b?a)2=(a-b)2

随堂练习 随堂练习

1、计算:
(1) (x +6)2 ; (3) (-2x+5)2 ; (2) (y -5)2;
3 2 2 (4) ( x - y) 4 3

学一学
(1) 1022;

例题解析 例2 运用

完全平方公式计算:
(2) 992
变形

?

解: (1)

1022

(100+2)2 =1002+2×100×2+22 = =10000+400+4 =10404

(2) 992= (100-1)2=1002-2×100×1+12
=10000-200+1=9801 利用完全平方公式计算: 1、先选择公式; 2、准确代入公式; 3、化简.



错 练 习

指出下列各式中的错误,并加以改正: (1) (2a?1)2=2a2?2a+1; (2) (2a+1)2=4a2 +1; (3) (?a?1)2=?a2?2a?1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a?1)2= (2a)2?2?2a?1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2= (2a)2+2?2a?1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (?a?1)2=(?a)2?2?(?a )?1+12;

圣诞老人的礼物在下列四个金蛋中,你只 要正确回答他的问题,你就能得到他的礼物.

一 号 题

二 号 题

三 号 题

四 号 题

1号题:
下列等式是否成立? 说明理由. (1)(?4a+1)2=(1?4a)2;
成立

(2) (?4a?1)2=(4a+1)2;
成立

(3) (4a?1)(1?4a)=(4a?1)(4a?1)=(4a?1)2;
不成立.

(4) (4a?1)(?1?4a)=(4a?1)(4a+1).
不成立.

2号题:
填空题:
2 2 2=_____________. (1)(-3x+4y)

9x -24xy+16y

2 2 2=____________. (2)(-2a-b)

4a +4ab+b

2 2-4xy+________=(x-2y)2. ( 3) x

4y

(-2ab) (4)a2+b2=(a+b)2+_________.

1 a2+______+9b2=( 1 a+3b)2 3ab ( 5) 2 4

3号题:
选择题 (1)如果x2+mx+4是一个完全平方公式, 那么m的值是( ) c

A.4

B.-4

C.±4

D.±8

(2)将正方形的边长由acm增加6cm,则 正方形的面积增加了( c ) A.36cm2 B.12acm2

C.(36+12a)cm2 D.以上都不对

4号题:
思考题:

1 已知: x ? ? 3 x 1 2 1 和 2 求: x ? (x? ) 2 x x

的值

本节课你的收获是什么?
注意完全平方公式和平方差公式不同:
完全平方公式的结果 是三项, 2 2 2 结果不同: 即 (a ?b) =a ?2ab+b ; 平方差公式的结果 是两项, 即 (a+b)(a?b)=a2?b2. 在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不 丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2;第一(二)数是乘积被平方 时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键

形式不同.

有时需要进行变形,使变形后的式子符合应用完全平方公式 的条件,即为“两数和(或差)的平方”,然后应用公式计算.


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