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人教版九年级数学(上)22.3实际问题与一元二次方程(1)

发布时间:2013-09-17 19:39:41  

人教版九年级(上)

第二十二章

一元二次方程

引入
学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明 年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. x 7.2万册 x 5(1+x)万册
去年 今年 明年

5万册 5(1+x)(1+x)万册 5(1+x)2万册 设这两年的年平均增长率为x, 由题意得: 5(1+x)2=7.2
关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系: A(1±x)2=B(其中A表示基数,x表表示增长(或降低) http://www.21cnjy.com/ 率,B表示新数)

例1:琼海市市政府考虑在两年后实现 市财政净收入翻一番,那么这两年中财政净 收入的平均年增长率应为多少? (精确到 0.1%)

尝试探索,合作交流,解决问题
1、翻一番,你是如何理解的? (翻一番,即为原净收入的2倍,若设原值为1,那 么两年后的值就是2) 2、“平均年增长率”你是如何理解的。 (“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百分 数是一个相同的值。即每年按同样的百分数增加,而增 长的绝对数是不相同的) 3、独立思考后,小组交流,讨论。 4、展示成果,相互补充。

http://www.21cnjy.com/

尝试探索,合作交流,解决问题
解:设平均年增长率应为x,依题意,得

(1 ? x) ? 2
2

解这个方程,得

1? x ? ? 2 x2 ? ? 2 ? 1 x1 ? 2 ? 1

x1 ? 0.414

x2 ? ?3.414

因为增长率不能为负数 所以增长率应为41.4%

拓展应用
在例1中,(1)翻一番是什么意思?设原 值为1,方程应该如何列?设原值为A,方程又 应该如何列? (2)若调整计划,两年后的财政净收入值为 原值的1.5倍、1.2倍、…,那么两年中的平均年 增长率相应地调整为多少?

又若第二年的增长率为第一年的2倍,那么第 一年的增长率为多少时可以实现市财政净收

入翻一番?

拓展应用
若调整计划,两年后的财政净收入值为 原值的1.5倍、1.2倍、…,那么两年中的平均年 增长率相应地调整为多少? 又若第二年的增长率为第一年的2倍,那么第 一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻 一番?

例2:某商品经两次降价,零售价降为 原来的一半,已知两次降价的百分率一样。 求每次降价的百分率。(精确到0.1%)
分析:“两次降价的百分率一样”,指的是 第一次和第二次降价的百分数是一个相同的值, 即两次按同样的百分数减少,而减少的绝对数 是不相同的,设每次降价的百分率为x,若原价 为a,则第一次降价后的零售价为a-ax=a(1-x), 又以这个价格为基础,再算第二次降价后的零 售价。

问题思考
思考:原价和现在的价格没有具体数 字,如何列方程?请同学们联系已有的知 识讨论、交流。

问题解答
解:设原价为1个单位,每次降价的百分率 为x.根据题意,得
1 (

1 ? x) ? 2
2

解这个方程,得

2? 2 x? 2

问题解答
不符合题意,因此符合本题要求的x为
2? 2 x? 2
2? 2 由于降价的百分率不可能大于1,所以 x ? 2

≈29.3 %

答:每次降价的百分率为29.3%.

1、党的十六大提出全面建设小康 社会,加快推进社会主义现代化建设, 力争国民生产总值到2020年比2000年 翻两番,在本世纪的头二十年(2001 年至2020年),要实现这一目标,以 十年为单位计算,设每个十年的国民 生产总值的平均增长率为x,那么x满 (1+x)2=4 足的方程为_____________

2、某经济开发区今年一月份工 业产值达50亿元,第一季度总产值 达175亿元,问二、三月份平均每 月的增长率为多少?设平均每月增 长 率 为 x, 根 据 题 意 得 方 程 : 50+50(1+x)+50(1+x) 2=175 ________________________

练习1:某药品经两次降价,零售价降为原来 的一半.已知两次降价的百分率一样,求每次 降价的百分率.(精确到0.1%) 解:设原价为1个单位, 每次降价的百分率为 x. 根据题意,得 ?1 ? x ?2 ? 1
解这个方程,得
2
2 2 x1 ? 1 ? , x2 ? 1 ? 2 2

2 但x ? 1 ? >1不合题意,舍去 2 2 ? x ? 1? ? 29.3%. 答:每次降价的百分率为29.3%. 2

练习2.某种药剂原售价为4元, 经过两次降 价, 现在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价 百分之几?
解 : 设每次平均降价的百分 数为x, 根据题意 得 ,

4(1 ? x) 2 ? 2.56.
解这个方程: (1 ? x) 2 ? 0.64, ? (1 ? x) ? ?0.8, ? x ? 1 ? 0.8,
? x1 ? 1 ? 0.8 ? 20%; x 2 ? 1 ? 0.8 ? 1(不合题意, 舍去).

答 : 每次平均平均降价的百 分数为20%.

练习3、某钢铁厂去年1月某种钢产量为5000吨, 3月上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百 分率是多少?
解:设平均每月增长的百分率为x,依题意,得

5000(1 ? x) ? 7200
2

解这个方程,得

(1 ? x) ? 1.44
2

因为

x2 ? ?2.2 x1 ? 0.2 x2 ? ?2.2 不合题意,所以只能取

1 ? x ? ?1.2

x1 ? 0.2 ? 20%

答:平均每月增长的百分率是

20%

小结

拓展

列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么?

2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,找出相等关系列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系. 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:

A(1±x)2=B(其中A表示基数,x表表示增长(或降低)率,B表示新数)

小结

拓展

关于量的变化率问题,不管是增加还是减 少,都是变化前的数据为基础,每次按相同的 百分数变化,若原始数据为a,设平均变化率为 x,经第一次变化后数

据为a(1±x);经第二次 变化后数据为a(1±x)2。在依题意列出方程并解 得x值后,还要依据0<x<1的条件,做符合题 意的解答。





P42 习题2、3、5。
P44复习题A组 5


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