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实数教案

发布时间:2013-12-03 13:24:33  

平方根

定义:一般地,如果一个正数x的平方为a,即x2?a,那么正数x叫做a的算术

另外:0的算术平方根是0

探究:怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形

就的到一个面积为2的大正方形。

设大正方形的边长为x,则x2?2

由算术平方根的意义,x?

即大正方形的边长为

应用迁移,巩固提高

例1 求下列各数的算术平方根

491⑴100 ⑵ ⑶0.0001 ⑷0 ⑸2 644

思考:-4有算术平方根吗?

备选例题:要使代数式x的取值范围是( ) A. x?2 B. x?2 C. x?2 D. x?2

拓展:已知2a?1的算术平方根是3,3a?b?1的算术平方根是4,c数部分,求a?2b?c的算术平方根

课堂跟踪反馈

1、 非负数a的算术平方根表示为___,225的算术平方根是____,0的算术平方根是____

2、

3、 ??____,?_____ _____, ?0.64的算术平方根____

4、 若x是49的算术平方根,则x=( )

A. 7 B. -7 C. 49 D.-49

5、

若?7,则x的算术平方根是( )

6、 若x?1??

y?3??0,求x,y,z的值。

想一想:到底什么是平方根,它和我们已经认识的算术平方根有何关系?

[⑴如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,用符号

表示为:若x2?a,则x?a的平方根的运算叫做开平方运算。]

练一练:求下列数的平方根

9⑴100 ⑵ ⑶0.25 ⑷?16 ⑸ 0 16

总结归纳:

1、 正数有两个平方根,它们互为相反数

2、 0的平方根是0 3、 负数没有平方根

讨论:平方根与算术平方根之间有什么关系?

总结:1、平方根与算术平方根之间的区别

⑴定义不同:如果x2?a,那么x叫做a的平方根。一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,是0本身;负数没有平方根。

如果x2?a,并且x?0,那么x叫做a的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个,非负数的算术平方根一定是非负数

⑵表示方法不同:正数a的平方根表示为

a⑶平方根等于本身的数是0;算术平方根等于本身的数是0或1

2、平方根与算术平方根之间的联系

⑴二者有着包含关系:平方根中包含算术平方根,算术平方根是平方根中的非负的那一个 2

⑵存在条件相同,非负数才有平方根和算术平方根

⑶0的平方根和0的算术平方根都是0

应用迁移,巩固提高

例1 说出下列各数的平方根

811⑴0.04 ⑵

⑷6 4121

例2 说出下列各数的平方根各是什么?

?2?⑴64 ⑵0 ⑶??0.4? ⑷??1? ⑸?16 ?3?22

例3 计算

?x?1? 1a3a?b?7?0,求:?b?a?的平方根 5

课堂跟踪反馈

1、判断下列说法是否正确

525 ⑴5是25的算术平方根 ( ) ⑵是的一个平方根 ( ) 636拓展

已知

⑶??4?的平方根是-4 ( ) ⑷ 0的平方根与算术平方根都是0 ( )

2

、⑴?

____,⑵?

____,⑶?____,⑷

2?____

3、若?7,则x?_____,x的平方根是_____

4

、9933 ) A. ? B. C. ? D. 4242

2

4?2? 5、给出下列各数:49, ???, 0, ?4, ??3, ???3?, ???5?,其中有平方根?3?的数共有( )

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

6、若一个数a的平方根等于它本身,数b的算术平方根也等于它本身,试求a?b的平方根。

7、求下列各数中的x值

⑴x2?25 (2)25x2?36?0

8、如果一个正数的两个平方根为a?1和2a?7,请你求出这个正数

立方根

一个正方体纸盒,提出问题,如果这个正方体的体积为216 cm2,那么它每条棱长是多少?

观察 由以上问题,有x3?216,即要求一个数,使它的立方等于216,通过分析,有63?216,那么6就是这个正方体的棱长

归纳 如果一个数的立方等于a,这个数叫做a的立方根(也叫做三次方根),即如果x3?a,那么x叫做a的立方根

探究 根据立方根的意义填空,看看正数、0、负数的立方根各有什么特点? 因为23?8,所以8的立方根是( 2 )

因为?0.5??0.125,所以0.125的立方根是( 0.5 )

因为?0??0,所以0的立方根是( 0 )

因为??2???8,所以8的立方根是( ?2 )

82?2? 因为?????,所以8的立方根是( ? ) ?3?3333

【总结归纳】

【探究说明】 一个数a

“三次根号a”,其中a叫被开方数,3

27

的立方根,?

3;?

27??3

【探究】因为?____,?

____,

因为?____,?

____

应用迁移,巩固提高

例1 求下列各数的立方根

273⑴ -8 ⑵ ⑶?125 ⑷81?9 ⑸?10?6 ⑹3 648

例2

计算

⑶ 例3解方程

⑴x3?0.125 ⑵3?x?4??1536?0

1的自变量x的取值范围是( ) 2x?4

A. x?1且x?2 B. x?2 C. x?1且x?2 D.全体实数 课堂跟踪反馈 3

备选例题 y?1、 当x

时,x

2、 的立方根是

根是

3、

-8的立方根与4、 一个自然数的算术平方根是a

,那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是

,立方根是

5、解下列方程

(1)64x3?125?0 (2)?x?1???216

6

、已知?

4,且y

3?

2?0,求x?y?z3的值

实数

3479?? ,11?1.2? ,5?0.5? 3?3. ?5.875 ,?0.810,???0.6 ,958119

归纳 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数

观察

通过前面的探讨和学习,我们知道,很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫无理数,??3.14159265?也是无理数

结论 有理数和无理数统称为实数

??整数?

有理数??有限小数或无限循环小数? 实数? ?分数???无理数?

无限不循环小数

像有理数一样,无理数也有正负之分。?是正无理数, ??是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分,所以实数也可以这样分类:

??正有理数正实数???正无理数?? 实数?0

?负有理数?负实数????负无理数?

我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢?

总结 1、事实上,每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,这就是说,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数

当从有理数扩充到实数以后,实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数

都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数

讨论 当数从有理数扩充到实数以后,有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗?

总结 数a的相反数是?a,这里a表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0

应用迁移,巩固提高

例1 把下列各数分别填入相应的集合里:

?227 ?3.141,,,?,?,1.414,?0.020202?, 378

正有理数{ }

负有理数{ }

正无理数{ }

负无理数{ }

课堂跟踪反馈

1、下列各数中,是无理数的是( )

A. ?1.732 B. 1.414

C. D. 3.14

2、已知四个命题,正确的有( )

⑴有理数与无理数之和是无理数 ⑵有理数与无理数之积是无理数

⑶无理数与无理数之积是无理数 ⑷无理数与无理数之积是无理数

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个

3、若实数a满足a

a??1,则( )

A. a?0 B. a?0 C. a?0 D. a?0

4、下列说法正确的有( )

⑴不存在绝对值最小的无理数

⑵不存在绝对值最小的实数

⑶不存在与本身的算术平方根相等的数

⑷比正实数小的数都是负实数

⑸非负实数中最小的数是0

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个

5

、⑴2的相反数是 ,绝对值是

?

3??2?

⑷若x?,则x?

6

、x??2

7、已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示:

化简 2c?a?c?b?a?b?a?c?b (答案:a?b?4c)

实数的运算法则:

加法交换律a?b?b?a 加法结合律a?(b?c)?(a?b)?c 乘法交换律a?b?b?a 乘法结合律a?(b?c)?(a?b)?c 乘法分配律a?(b?c)?a?b?a?c

1.计算

(1)(?)(8?) (2)(5?)?(1?)(?8) 2

2.化简

(1)

?3??4 (2)

?2??4?

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