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27.2.2相似三角形应用举例

发布时间:2013-12-03 16:27:18  

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课前复习

1、判断两三角形相似有哪些方法?
1.定义: 2.预备定理(平行线):

3.判定定理一(边边边):
4.判定定理二(边角边):

5.判定定理三(角角):

2、相似三角形有什么性质?

利用三角形的相似,可以解决一 些不能直接测量的物体的程度的 问题,下面请看几个例子.

例1 据史料记者,古希腊数学家、天文学家泰勒斯 曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子顶部立一 根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测 量金字塔的高度.

如图,如果木杆EF长2m,它的影长 FD为3m,测得OA为201m, 求金字塔的高度BO.
B E

O

A(F)

D

B E 2m O 201m 3m D

A(F)

解:太阳光是平行线, 因此∠BAO= ∠EDF
又 ∠AOB= ∠DFE=90° ∴△ABO∽△DEF BO OA = EF FD OA·EF 201×2 BO = = = 134 FD 3

因此金字塔的高为134m.

例2 如图为估算河度,在河对岸选定一个目标点P,在 近岸点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直, 接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T, 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.测得QS =45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.
P

Q S

R

b T a

解:∵ ∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P,

PQ QR ∴ △PQR∽△PST. ? ? PS ST PQ QR PQ 60 ? ? , ? PQ ? QS ST PQ ? 45 90 P
∴PQ×90=(PQ+45)×60
解得:PQ=90. 因此河宽大约为90m
Q S R b T a

例3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8cm和CD= 12m,两树的根部的距离BD=5m.一个身高1.6m的人沿着正对 这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进,当他与左边较低的树 的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点C? 分析:如图,说观察者眼睛的位置为点F,画出观察者的水平视 线FG,它交AB、CD于点H、K.视线FA、FG的夹角∠CFK是 观察点C时的仰角.由于树的遮挡,区域1 和11都在观察者看不 到的区域(盲区)之内.
视线

仰角
A
H

C

水平线
K

解:如图,假设观察者从左向右走到点E时,他的眼睛的位 置点F与两棵树顶端点A、C恰在一条直线上. 由题意可知,AB⊥l,CD⊥l ∴ AB∥CD,△AFH∽△CFK

FH AH ∴当他与左边的树的距离小于8m时, ? ? FK CK 由于这棵树的遮挡,右边树的顶端点C 8 ? 1.6 6.4 即 FH 在观察者的盲区之内,就不能看见右 ? ? FH ? 5 12 ? 1.6 10.4 边较高的树的顶端点C
解得 FH=8

练习
1.在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为 3m,同时测得一栋高楼的影长为90m,这栋高楼的 A 高度是多少?
解:

△ABC ∽ △A'B'C' AC BC ? A 'C ' B 'C ' 1.8 3 ? A ' C ' 90

1.8m B 3m C A'

求得 A'C'=54m 答:这栋高楼的高度是54m.
B' 90m

?
C'

2. 如图,测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求 河宽AB. 解:∵ AB∥CE
∴△ABD∽△ECD

BD AB ? ? DC EC

A

120 AB ? ? 60

50
AB=100m. 答:河宽AB为100m.
B D C E

课堂小结:
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面 1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)

2 测距(不能直接测量的两点间的距离)
二 、测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同 一时刻物高与影长的比例”的原理解决

三 、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三 角形求解

巩固
1.如图,利用标杆BE测量建筑物的高 度,如果标杆BE长1.2m,测得AB=1.6 m,BC=8.4m,楼高CD是多少?

2 .如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长 16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升 高 m。
16m 0.5m B

8 ?


C



1mO

A

D

3.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点 C,使AC⊥AB,在AC上找到一点D,在BC上找到一 点E,使DE⊥AC,测出AD=35m,DC=35m,DE =30m, 那么你能算出池塘的宽AB吗?

A

B

D

E

C

4. △ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120毫米, 高AD=80毫米,要把它加工成正方形零件,使正方 形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上, 这个正方形零件的边长是多少?
解:设正方形PQMN是符合要求的 △ABC的高AD与PN相交于点E。设 正方形PQMN的边长为 x 毫米。 P 因为PN∥BC,所以△APN∽ △ABC AE PN 所以
= A E

N

因此

AD 80–x 80

B

BC x = 120

Q

D M

C

,得 x=48(毫米)。

5.如图,要在底边BC=160cm,高AD=120cm,的 △ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH,使点H在 AB上,点G在AC上,点E、F在BC上,AD交HG AM ? HG 于点M,此时 AD BC 。 (1)设矩形EFGH的长HG=y,宽HE=x,确定y与x 的函数关系式; (2)当x为何值时,矩形EFGH的面积S最大; (3)以面积最大的矩形 EFGH为侧面,围成一个圆柱 形的铁桶,怎样围时,才能使 铁桶的体积最大?请说明理由 (注:围铁桶侧面时,接缝无 重叠,底面另用材料配备)。

6.为了测量路灯(OS)的高度,把一根长 1.5米的竹竿(AB)竖直立在水平地面上, 测得竹竿的影子(BC)长为1米,然后拿竹 竿向远离路灯方向走了4米(BB‘),再把 竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长 (B‘C‘)为1.8米,求路灯离地面的高度. S
h A
A'

O

B C

B'

C'

7、如图,有一路灯杆AB(底部B不能直接 到达),在灯光下,小明在点D处测得自己 的影长DF=3m,沿BD方向到达点F处再测 得自己得影长FG=4m,如果小明得身高为 1.6m,求路灯杆AB的高度。
A

C

E

B

G
D F

8. 如图:小明想测量一颗大树AB的高度,发现树的
影子恰好落在土坡的坡面CD和地面CB上,测得 CD=4m,BC=10m,CD与地面成30度角,且测得1米竹杆的影 子长为2米,那么树的高度是多少?

A

D

B
C


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