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2.4.3二次函数图像和性质复习课件

发布时间:2013-12-04 09:28:51  

二次函数复习

1.二次函数的定义:

形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的函数叫做二次函数
自变量x的取值范围是:任意实数

注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
须根据题意确定自变量的取值范围.

2.二次函数的表达式:
(1 )二次函数的一般形式:函数y=ax2+bx+c(a≠0)
注意:它的特殊形式:

当b=0,c=0时: y=ax2 当b=0时: y=ax2+c 当c=0时: y=ax2+bx

(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0) (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)

二次函数的图象及性质
抛物线
开口方向 顶点坐标 (0,0)
y轴

y ? ax

2

y ? ax2 ? c y ? a( x ? h) 2 y ? a( x ? h)2 ? k y ? ax2 ? bx ? c
当a>0时开口向上,当a<0时开口向下

(0,c)
y轴

(h,0)

(h,k)

b 4ac ? b 2 (? , ) 2a 4a

对称轴
a>0 最 值 a<0 a>0 a<0

直线 x ? h 直线 x ? h

直线

x ? ?

b 2a

x ? 0时,x ? 0时, y最小 ? 0 y最小 ? c

x ? 0时 y最大 ? 0

x ? 0时 y最大 ? c

b 4ac ? b 2 x ? ? 时,y最小 ? 2a 4a x ? h时 x ? h时 b 4ac ? b 2 y ?0 y ? k x ? ? 2a 时,y ? 4a
最小

x ? h时x ? h时 y ? 0 y最小 ? k

最大

最大

最大

在对称轴左侧,y随x的增大而减小 在对称轴右侧,y随x的增大而增大 在对称轴左侧,y随x的增大而增大

y

增 减 性

y x x

在对称轴右侧,y随x的增大而减小

1、下列函数中,是二次函数的是 ① ② 2 2

①②③⑦

.

y ? x ? 4x ? 1

y ? 2x



1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 4 2

4 ⑤ y ? mx 2 ? nx ? p ⑥ y ? ?3 x y? x ⑧ 2 2 ⑦ y ? ( x ? 1) ? x y ? ?3( x ? 2)( x ? 1)


=2 2.当m_______时,函数y=(m+1)χ m
二次函数?

2

? m2χ+1 -



3、抛物线y=-x2+2x - 3的开口向 , 对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y最__值 = ,与x轴交点 ,与y轴交点 。
2

4、抛物线 y ? 2( x ? m) ? n的顶点是(-2,3), 则m= ,n= ;当x 时,y随x的增大而增大。

5、已知二次函数 y ? x ? 6 x ? m 的最小值 为1,则m= 。
2

判断正负性

例1、如图,二次函数y=ax2+bx+c
则a 0, b a+b+c b2-4ac 0, c 0, 0 0,
-1 1 1 -1

a-b+c 0,

练习:判断下列抛物线中a,b,c的符号 y y y

0

x

0

x

0

x

练习:抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第一象 限,且与x轴交于点A,且与y轴交于点C, 点C在线段OB上。点A、B的坐标为(1,0), (0,1)。试确定下列代数式的符号?
(1)a,(2)b,(3)c, y B(0,1) (4)a+b+c
C

(5)a-b+c (6)a+b+1

A(1,0)

x

典型例题
例3.二次函数的图象经过A(1,0) B(3,0) C(2,-1)三点,

(1)求这个函数的解析式.
解:(1)设这个函数的解析式为 y=ax2+bx+c, 依题意得:

?0 ? a ? b ? c ? ?0 ? 9a ? 3b ? c ?? 1 ? 4a ? 2b ? c ?

解这个方程组得

?a ? 1 ? ?b ? ?4 ?c ? 3 ?

∴这个函数的解析式是

:y=x2-4x+3

练习:根据下列已知条件, 求二次函数的解析式: (1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5)
(2)抛物线顶点为M(-1,2)且过点N(2,1)

(3)抛物线过原点,且过点(3,-27)
(4)已知二次函数的图象经过点(1,0),

(3,0),(0,6)求二次函数的解析式。
(5)抛物线y=ax2+bx+c经过(0,0)与(12,0), 最高点的纵坐标是3,求这条抛物线的解析式

(1)在抛物线y= -x2+2x+3上是否存在点P(点
C除外),使△ABP面积等于△ABC面积?
解:假设存在满足条件的点P, y C 3 P 3 Q Ax

则作PQ⊥x轴∵ S△ABp = S△ABC, ∴ AB×PQ/2= AB×OC/2, -1 ∴ PQ=CO=3, ∴ |y|=3, B 0 ∴ 3= -x2+2x+3, ∴x1=0,x2=2 。 ∴p(2,3)

或-3= -x2+2x+3, x2_2x-6=0
12

x=1±√7,∴p(1+√7,-3),p(1-√7 ,-3)


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