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三角形内角

发布时间:2013-12-04 10:26:55  

E

A
2 1 3

F

B

C

E

A 2 1 3

F

B

C

过A作EF∥BC, ∴∠B=∠2 (两直线平行,内错角相等) (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠3 ∵∠2+∠3+∠BAC=180°
(平角的定义) ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)

作BC的延长线CD,过C作CE∥BA,
于是∠A=∠1(两直线平行,内错角相等) A A ∠B=∠2 (两直线平行,同位角相等) 。 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义) ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
1 。2
×

? ?



E
×

(等量代换) ?
B

C

思路总结
为了说明三个角的和为1800,转化 为一个平角或同旁内角互补,这种转 化思想是数学中的常用方法.

三角形内角和定理: 三角形的内角和等于1800.

(1)在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43 °
则∠ C= 102 ° . (2)在△ABC中, ∠A :∠B:∠C=2:3:4 则∠A = 40 ° ∠ B= 60 ° ∠ C= 80 ° . (1)一个三角形中最多有 (2)一个三角形中最多有

1 个直角?为什么?
1 个钝角?为什么?

(3)一个三角形中至少有

2 个锐角?为什么?

(4)任意 一个三角形中,最大的一个角的度数至少 为 60° .

例题 如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛
在A岛的北偏东80 °方向,C岛在B岛的北偏西40 °方向。从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少 度? 解: ∠CAB=∠BAD-∠CAD=800-500=300


还有其 它方法 吗?

D

A

.

由AD∥BE,可得 E ∠BAD+∠ABE=1800 所以∠ABE=1800-∠BAD C =1800-800=1000 ∠ABC=∠ABE-∠EBC =1000-400=600 B 在ΔABC中, 东∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB =1800-600-300=900 答:从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是900 。



.

.

北 D
50°

C
1

E
40° 2

你能想出一个更 简捷的方法来求 ∠C的度数吗?

B F

A

解: 过点C画CF∥AD
∵ CF∥AD, 又AD ∥BE ∴ CF∥ BE

∴ ∠1=∠DAC=50 °,

∴∠2=∠CBE =40 ° ∴ ∠ACB=∠1﹢∠2 =50 °﹢ 40 ° =90 °

1. 如图,从A处观测C处时仰角 ∠CAD=30°,从B处观测C 处时仰角∠CBD=45°。 从C处观测A、B两处时视角 A ∠ACB是多少?
解:在△ACD中

C

B

D

∠CAD =30 ° ∠D =90 °

∴ ∠ACD =180 ° -30 ° -90 °=6 0 °
在△BCD中 ∠CBD = 45 ° ∠D =90 °

∴ ∠BCD = 180 °-90°-45 °=45 °
∴ ∠ACB = ∠ACD -∠BCD = 6 0 °-45 °

=15°

2. 如图,一种滑翔伞是左 右对称的四边形ABCD,其 B 中∠A=150°,∠B=∠D =40°。求∠C的度数。

40 ° 150° 1 2 40 °

A

D

解:在△ABC中 ∠B+∠1+∠BAC=180° 在△ACD中 ∠D+∠2+∠DAC=180° ∴∠B+∠D+∠1+∠2+∠BAC+∠CAD=360 ° 即 ∠B+∠D+ ∠BCD +∠BAD= 360 ° 40 °+40 °+ ∠BCD +150 ° = 360 ° ∴ ∠BCD = 360 °-40 °-40 °- 150 ° =130 °

C

B

40 ° 150° 40 °

A

C

另解: 由题意得 在△ABC中

∠BAC=∠DAC=75°

∠BCA =180 °- ∠BAC - ∠B =180 °- 75 ° - 40°= 65 °
∴ ∠ACD = ∠ BCD = 65 ° ∴ ∠BCD = ∠ACD + ∠ BCD =130 °

1、如图,某同学

把一块三角形的玻 璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去 配一块形状完全一样的玻璃,那么最 省事的办法是 ( C )


② ①

(A)带①去 (C)带③去

(B)带②去 (D)带①和②去

3、在△ABC中,如果 1 1 ∠A= ∠B= ∠ C, 2 3 那么△ABC是什么三角形?

例2 已知:在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A, BD是AC边上的高, 求∠DBC的度数.
分析:∠DBC在△BDC中,∠BDC=900,为求∠DBC的 度数,只要求出∠C的度数即可.

解:设∠A= x ,则∠C=∠ABC=2x. ∴x+ 2x+ 2x=180(三角形内角和定理). A 0. 解方程,得x=36 ∴ ∠C=2×360=720. 在△BDC中, B ∵∠BDC=900(已知), ∴∠DBC=1800-900-720(三角形内角 和定理). ∴∠DBC=180.

D

C

一 、选择题 (1) 在△ABC中,∠A:∠B:∠C =1:2:3,则∠B =( B ) A. 300 B. 600 C. 900 D. 1200

(2) 在△ABC中,∠A =500, ∠B =800,则∠C =( B )

A. 400

B. 500

C. 100

D. 1100

(3)在△ABC中,∠A =800, ∠B =∠C,则∠B =( A ) A. 500 二、填空 (1)∠A:∠B:∠C=3:4:5,则∠B = 600 600 750 B. 400 C. 100 D. 450

(2)∠C =900,∠A =300,则∠B =
(3)∠B =800,∠A =3∠C,则∠A =

3. 在△ABC中,已知∠A-∠C=250,∠B∠A=100,求∠B的度数.
解:在△ABC中, ∠A+∠B+∠C=1800(三角形內角和定理) 联立∠A-∠C=250,∠B-∠A=100可得, ∠A=650,∠B=750,∠C=400 答:∠B的度数是750.

分析:根据三角形内角和定理可知: ∠A+∠B+∠C=1800,然后结合已知条件便可以求出.


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