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直角三角形相似的判定

发布时间:2013-12-04 10:26:57  

复习 知识回顾 ?
问题1 我们学过的三角形相似的判定定理有哪些? 答: 判定定理1:两角对应相等,两三角形相似。

判定定理2:两边对应成比例且夹角相等, 两三角形相似。
判定定理3:三边对应成比例,两三角形相似。

1、RtΔABC和RtΔA'B'C'中,∠C=∠C'=

90°.依据下列各组条件判定这两个三角 形是不是相似,并说明为什么:
(1) ∠A=25°,∠B'=65°; (2) AC=3,BC=4,A'C'=6,B'C'=8; (3) AB=10,AC=8,A'B'=15,B'C'=9.

(1) ∠A=25°,∠B'=65°;
A 25° B' 65° C 65° B A'

C'

答:∠B=∠B?

∠C=∠C?

ΔABC∽ΔA'B'C'

两角对应相等,两三角形相似

( 2 ) AC=3,BC=4,A'C'=6,B'C'=8;
A'
A 6 B

3 C 4

C'

8

B'

答: AC:A'C'=BC:B'C' ∠C=∠C ' ΔABC∽ΔA'B'C'
两边对应成比例且夹角相等,两三角 形相似

( 3 ) AB=10,AC=8,A'B'=15,B'C'=9.
A' A 10 8 C 6 B C' 9 B' 12 15

答: AC:A'C'=BC:B'C‘=AB:A'B'
三边对应成比例,两三角形相似

23.2 直角三角形相似的判定
A
c

A′
b


B

a

C

B′

C′

思考: 我们学过的全等三角形的判定和相似三角形的 判定之间有什么对应关系? 全等三角形的判定
SAS ASA AAS SSS HL

相似三角形的判定
判定定理1: 两角对应相等,两三角形相似。 判定定理2: 两边对应成比例夹角相等两三角形相似。 判定定理3: 三边对应成比例,两三角形相似。

猜想:斜边和一条直角边对应成比例, 两直角三角形相似

已知:如图,RtΔABC与RtΔA'B'C‘中,∠C=∠C'=90° 求证: RtΔABC ∽ RtΔA'B'C'
A
A'

AB AC ? A' B' A' C '

C

B C'

B'

证明: 设 则

AB A?B ?

?

AC A?C ?

? k,

A

AB =kA?B?, AC =kA?C ?.
BC ? AB ? AC
?C ? 2 A
BC B?C ?
2 2

?
AB ? ? AB

?

?B ? 2 k 2 A?C ? 2 kA
2

?

?B ? 2 ?k A
?

?
?

k ? B ?C ? =
?k

C
A'

B

?

AC A?C ?

?

RtΔABC ∽ RtΔA'B'C'

C'

B'

定理: 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三形相似。

简单地说:

斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似。

如图,已知∠ABC=∠CDB=90°,AC=b,BC=a, 当 BD与a,b之间满足怎样的关系时,ΔABC∽ΔCDB? 解:

?
?

?ABC ? ?CDB ? 90?, A
当 AC BC ? 时, ABC∽ΔCDB Δ BC BD

b a B

C

a 时, 即 ? ΔABC∽ΔCDB a BD
b

? BD ?
答: 当 BD ?
a
2

a

2

D

b 时,ΔABC∽ΔCDB

b

1.在ΔABC与 ΔBCD中,已知∠ABC=∠CDB=90°, AC=a,BC=b, 当BD与a,b之间满足怎样的关系 时,有两个三角形相似?
分析:
A b B D a C

如图(1):当AC与CB,BC与DB对应 b2 RtΔABC∽RtΔCDB,由上例知 BD ? a

图(1)

如图(2):

提示:对条件探索性问题,在解题时 应分类对每一种

情况进行讨论,切不 可凭主观想象,只解一种情况,而忽 略其他的解。

??ABC ? ?CDB ? 90?
AC AB ?当 ? 时, ΔABC∽ΔBDC, BC BD
b a ?
b
C

b ?a BD
2

2

A

ΔABC∽ΔBDC,

a
D 图(2)

B a b2 ? a 2 ? BD ? b 2 a a b 2 ? a 2 有两个三角形相似 答: BD ? 或 BD ? 当 b b

2.如图,在RtΔABC中,CD是斜边AB上的高,E是 BC上的一点,AE交CD于点F,AE?AD=AF?AC, 求证:(1) AE是∠CAB的平分线; (2) AB?AF=AC?AE。
分析: 要证明AE是∠CAB的平分线, 只要证明RtΔACE∽RtΔADF即 可 要证明AB?AF=AC?AE, 只要证明ΔACF∽ΔABE
A D C E F B

证明:
(1)

? CD是斜边AB上的高 ??ADF ? ?ACE ? 90? 又? AE ? AD ? AF ? AC AE AC ? ? AF AD



? ∠CAE=∠EAB

?
? ?

ΔACF∽ΔABE
AC AF ? AB AE

(2)

? ΔAEC∽ΔAFD ? ∠CAE=∠BAE ? AE是∠CAB的角平分线 ? ∠ACD+∠CAB=90°
∠B+∠CAB=90°

AB?AF=AC?AE
C E F B

?

A

∠ACD=∠B

D

思考:
如图,在RtΔABC中, ∠C=90°,CD是AB边上的高。 求证: (1)
CD2 ? AD ? BD;

(2)

BC 2 ? AB ? BD, AC 2 ? AB ? AD;
C

(3)能否根据(2)证明勾股定理?

A

D

B

小结:
1.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角形 的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相 似。
2.直角三角形相似的判定除了本节定理外,前面判定任意 三角形相似的方法对直角三角形同样适用。
3.关于探索性题目的处理。

作业:

?80 第10,11两题


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