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全等三角形、角平分线

发布时间:2013-09-20 13:07:56  

初一数学 春季小练习(11)

补充:全等三角形专题讲解

在判别两个直角三角形全等时,除了可以应用常规4种判别方法外,还可以应用“斜边、直角边”,即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“HL”).也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法,它仅适用于判别两个直角三角形全等.

三角形全等是证明线段相等,角相等最基本、最常用的方法,这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征,还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来.那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢?

(1)条件充足时直接应用

在证明与线段或角相等的有关问题时,常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等,而从近年的中考题来看,这类试题难度不大,需结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等.

例1 已知:如图1,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,BD、CE交于点O,且AO平分∠BAC.那么图中全等的三角形有___对. A

ED O

BC

(2)条件不足,会增加条件用判别方法

此类问题实际是指条件开放题,即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,需要补充使三角形全等的条件.解这类问题的基本思路是:执果索因,逆向思维,逐步分析,探索结论成立的条件,从而得出答案.

例2 如图2,已知AB=AD,∠1=∠2,要使△ABC≌△ADE,还需添加的条件是(只

A需填一个)_____.

12 B

ED

C(3)条件比较隐蔽时,可通过添加辅助线用判别方法

在证明两个三角形全等时,当边或角的关系不明显时,可通过添加辅助线作为桥梁,沟通边或角的关系,使条件由隐变显,从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等.

例3 已知:如图3,AB=AC,∠1=∠2.

求证:AO平分∠BAC.

(4)条件中没有现成的全等三角形时,会通过构造全等三角形的方法

. 例4 已知:如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90o,AC=BC,D为BC的中点,CE⊥AD于E,交AB于F,连接DF.

1

求证:∠ADC=∠BDF.

专题二 角的平分线

从一个角的顶点出发,把一个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线.角的平分线有着重要的作用,它不仅把角分成相等的两部分,而且角的平分线上的点到角两边的距离相等,到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上,再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴.因此当题目中有角的平分线时,可根据角的平分线性质证明线段或角相等,或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路.

(1)利用角的平分线的性质证明线段或角相等 O例6 如图20,∠1=∠2,AE⊥OB于E, 12

BD⊥OA于D,交点为C. ED

34C

BA

例7 已知:如图21,△ABC中,BD=CD,∠1=∠2.

求证:AD平分∠BAC.

(2)利用角的平分线构造全等三角形

①过角平分线上一点作两边的垂线段

例8 如图22,AB∥CD,E为AD上一点,且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD. 求证:AE=ED.

例9 如图23,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B.

求证:AB=AC+CD.

2

③延长角平分线的垂线段,使角平分线成为垂直平分线

例10 如图24,在△ABC中,AD平分∠BAC,CE⊥AD于E.

求证:∠ACE=∠B+∠ECD.

(3)利用角的平分线构造等腰三角形

如图25,在△ABC中,AD平分∠BAC,过点D作

DE∥AB,DE交AC于点E.易证△AED是等腰三角形.

因此,我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线,

构造等腰三角形.

C

DE

A

B

例11 如图26,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,DE⊥BD于D,交BC于点E. 求证:CD=1BE. 2

图26

1如图,点D、E三等分△ABC的BC边.

求证:AB+AC>AD+AE

2如图,已知△ABC。 (1)请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外),连结AD、AE,写 出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形; 3

(2)请你根据使(1)成立的相应条件,证明AB+AC>AD+AE。

1、如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等,那么这两个三角形的第三边所对的角( )

A、相等 B、不相等 C、互余 D、互补或相等

2、如图,将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起,使AA'、BB'可以绕着点O自由转动,就做成了一个测量工件,则A' B'的长等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OAB的理由是( )

(A)边角边 (B)角边角(C)边边边 (D)角角边

3、已知△ABC与△DEF全等,∠A=∠D=90°,∠B=37°,则∠E的度数是( )

A、37° B、53°

C、37°或63° D、37°或53°

4、用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下,则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )

A、(S.S.S.) B、(S.A.S.)

C、(A.S.A.) D、(A.A.S.)

5、)如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )

A、CB=CD B、∠BAC=∠DAC C、∠BCA=∠DCA D、∠B=∠D=90° 4

6、如图,给出下列四组条件:

①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;

③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.

其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有( )

A、1组 B、2组

C、3组 D、4组

7、尺规作图作∠AOB的平分线方法如下:以O为圆心,任意长为半径画弧交OA,OB C,D,再分别以点C,D为圆心,以大于错误!未找到引用源。CD长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP由作法得△OCP≌△ODP的根据是( )

A、SAS B、ASA

C、AAS D、SSS

8、如图所示,正方形ABCD中,点E是CD边上一点,连接AE,交对角线BD于点F,连接CF,则图中全等三角形共有( )

A、1对 B、2对

C、3对 D、4对

9、如图,已知△ABC的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( )

A、甲乙 B、甲丙

C、乙丙 D、乙

10、如图,O为平行四边形ABCD对角线AC与BD的交点,FE经过O点,且与边AD,BC分别交于点E,F,若BF=DE,则图中全等的三角形最多有( )

5

A、2对 B、3对

C、5对 D、6对

11、下列命题:①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等;②有两条边和

第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等;③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等.其中正确的是( )

A、①② B、②③

C、①③ D、①②③

12、一个三角形的三边为2、5、x,另一个三角形的三边为y、2、6,若这两个三角形全等,则x+y= .

13、如11、如图,点C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.求证:△ACD≌△CBE.

14、如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°.△EDF绕着边AB的中点D旋转,DE,DF分别交线段AC于点M,K.

(1)观察:①如图2、图3,当∠CDF=0°或60°时,AM+CK MK(填“>”,“<”或“=”); ②如图4,当∠CDF=30°时,AM+CK MK(只填“>”或“<”);

(2)猜想:如图1,当0°<∠CDF<60°时,AM+CK MK,证明你所得到的结论;

15、(1)如图1,图2,图3,在△ABC中,分别以AB,AC为边,向△ABC外作正三角形,正四边形,正五边形,BE,CD相交于点O.

6

①如图1,求证:△ABE≌△ADC;

②探究:如图1,∠BOC=120°;

如图2,∠BOC=90°;

如图3,∠BOC=60°;

(2)如图4,已知:AB,AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边;AC,AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边,BE,CD的延长相交于点O. ①猜想:如图4,∠BOC=360÷n(用含n的式子表示);

②根据图4证明你的猜想.

16,如图:已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,给出以下五个结论:

① AE=CF ②∠APE=∠CPF ③△EPF是等腰直角三角形 ④EF=AP 0

⑤,当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合), 上述结论中始终正确的序号有______________。

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