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八年级数学全等三角形全章课件(超好超全)[1]

发布时间:2013-09-20 13:07:56  

八年级数学上

11.1全等三角形

? 能够完全重合的两个图形叫做全等形。

AA

A A A

A

A

A

A

BB

B B B

B

B C B CB C C C

C

C

C

C

全等三角形 ? 像上面能够完全重合的三角形叫____ 记做:⊿ABC≌⊿A’B’C’ 读做:⊿ABC全等于 ⊿A’B’C’
?互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边

叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。

根据上图指出对应顶点、对应边和对应角。

1、观察上图中的全等三角形应表示为:__ ⊿ABC ≌ 。
⊿DEF 注意:记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点 的字母写在对应的位置上。

2、根椐全等三角形的定义试想它们的对应边、对应 角有什么关系? 请完成下面填空: ∵ △ ABC ≌ △ DEF(已知) ∴AB = DE,BC = EF,AC = DF ∠A = ∠D,∠B ∠E,∠C = ∠F。



3、由此可得全等三角形的性质:

? 全等三角形的对应边相等 ? 全等三角形的对应角相等

思考一:
若你手上有一张长方形纸片,如何是长方 形变成两个最大的全等三角形,而总面积 又没有 变化?

思考二:拓展与延伸
下图是一个等边三角形,你能把它分成两个 全等三角形吗?你能把它分成三个全等三角 形吗?四个呢?

例 如图已知△ AOC ≌ △BOD 求证:AC∥BD

2 如图△ABC≌△CDA,AB=CD, 用等式写出两个三角形其它的对 应边和对应角。

A

D

B

C

3 如图:已知△ABD≌△ACE,且 AB=AC,用等式写出两个三角形 的其它对应边和对应角。 A
E B D

公共角为对应角

C

4 如图△ABC≌△EDC,∠A=∠E, 用等式写出两个三角形其它的对应 角和对应边。 A B C D 对顶角为对应角 E

5 如图:△ABC≌△ABD,且 AC=AD,用等式写出这两个三 角形的其它对应边和对应角。
C

A

B

公共边为对应边

D

三、请指出下列全等三角形的对应边和对应角 1、 △ ABE ≌ △ ACF 对应角是: ∠A和∠A、 ∠ABE和 ∠ACF、 ∠AEB和∠AFC;对应边 是AB和AC、AE和AF、BE和CF。 2、 △ BCE ≌ △ CBF 3、 △ BOF ≌ △ COE 对应角是: ∠BOF和∠COE、 ∠BFO 和∠CEO、 ∠ FOB 和∠EOC。对应边是:OF和 OE、OB和OC、BF和CE。 对应角是: ∠BCE和 ∠CBF、 ∠BEC和∠CFB、 ∠CBE和 ∠BCF。对应边是:CB和BC、 CE和BF、CF和BE。

3、如图△ ABD ≌ △CDB,若AB=4, AD=5,BD=6,则BC= ,CD= 。

4、如图△ABD≌ △EBC,AB=3cm,BC=5cm,

求DE的长

课堂小结
1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

2、全等三角形的对应边相等、对应角相等
3、全等三角形用符号“≌”表示,且一般对应顶点 写在对应位置上

4 、找全等三角形对应边和对应角的方法:

达标测试
1、能够 时,互相 通常把表示 的两个图形叫做全等形。两个三角形重合 的顶点叫做对应顶点

。记两个全等三角形时, 顶点的字母写在 的位置上。

A
2、如图△ABC≌ △ADE若 ∠D= ∠B, ∠C= ∠AED, 则∠DAE= ; ∠DAB= 。

D

B

E

C

全等三角形的运用举例

例 1 已 知 如 图 △ ABC≌△DFE , ∠A=96o ,∠B=25o ,DF=10cm。
求 ∠E的度数及AB的长。 A D

B

C E

F

例2 已知如图 CD⊥AB于D,BE⊥AC于 E,△ABE≌△ACD,∠C=20o ,AB=10, AD=4,G为AB延长线上的一点。 求 ∠EBG的度数及CE的长。 C E F A
D B G

例3如图:已知△ABC≌△ADE,BC的延 长线交DA于F,交DE于G,∠ACB=105o , ∠CAD=10o ,∠D=25o 。 求 ∠EAC,∠DFB,∠DGB的度数。 D

G

F C
E A B

全等三角形知识回顾
1. 能够完全重合的两个图形叫做 全等形。 对应顶点 其中:互相重合的顶点叫做___ 对应边 互相重合的边叫做____ 对应角 互相重合的角叫做___ 2. 能够完全重合的两个三角形 叫做全等三角形。 全等于 ” 3.“全等”用符号“≌”来表示,读作“ 4.全等三角形的 对应边 和 对应角 相等

1.与图1所示图形全等的图形 是

图1

A

B

C

D

2.将图2所示绕A点顺时针转90°所得到的图形是
B

A
C

图2

A

B

C

D

随堂练习 百 “练” 成 钢
3. △ABC≌△FED

⑴写出图中所有相等的线段,相等的角;
不要漏掉BD=EC

⑵图中线段、角除相等外,还有什么关系吗? A
AB∥FE AC∥FD

D

B E F

C

4.如图,矩形ABCD沿AM折叠,使D点落在BC上的N点
处,如果AD=4cm,DM=3cm, ∠DAM=39°,则 3 4 AN=___cm, NM=___cm, ∠NAB=_ __.
A

4cm

D

3cm
M

B

N

C

11.2全等三角形的判定①

学习

目标
1.掌握三角形全等的“边边边”定理. 2.了解三角形的稳定性. 3.经历探索三角形全等条件的过程,体会利 用操作、? 纳获得数学结论的过程. 归

预习

探路

1.你能用尺规作两个三角形全等吗? 2.什么是”边边边”定理.你能说说它的作用 吗?

创设情境

1、 什么叫全等三角形? 能够重合的两个三角形叫 全等三角形。 2、 全等三角形有什么性质? A

D

B

C

E

F

①AB=DE ② BC=EF ③ CA=FD ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F

A

D

B

①AB=DE

② BC=EF

C

E

③ CA=FD

F

④ ∠A= ∠D

⑤ ∠B=∠E

⑥ ∠C= ∠F

思考:
1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△ DEF吗? 2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证 △ABC ≌△ DEF吗?

1.只给一个条件
1.只给一条边时; 3㎝ 2.只给一个角时;
45? 45?

3㎝

结论:只有一条边或一个角对应相等的 两个三角形不一定全等.

2.如果满足两个条件,你能说出 有哪几种可能的情况?
①两边; ②一边一角; ③两角。

①如果三角形的两边分别为4cm,6cm 时

4cm

4cm

6cm

6cm

结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.

②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:

30? 4cm

30? 4cm

结论:一条边一个角对应相等的两个
三角形不一定全等.

③如果三角形的两个内角分别是30°,45°时

30?

45?

30?

45?

结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
根据三角形的内角和为180度,则第三角一定确定, 所以当三内角对应相等时,两个三角形不一定全等

一个条件 ①一角; ②一边;

两个条件 ①两角; ②两边; ③一边一角。

结论:只给出一个或两个条件时, 都不能保证所画的三角形一定全等。

探索三角形全等的条件
3.如果满足三个条件,你能说出有 哪几种可能的情况?
①三角; ②三边; ③两边一角;

④两角一边。

⑴三个角
已知两个三角形的三个内角分别为30°, 60° ,90° 它们一定全等吗?

这说明有三个角对应相等的两个三角形 不一定全等

⑵三条边 已知两个三角形的三条边都分别为3cm、 4cm、6cm 。它们一定全等吗? 3cm
6cm 4cm 6cm 3cm 4cm 6cm 3cm 4cm

先任意画出一个△ABC,再画出一个△A’B’C’ ,使

A’B’= AB ,B’C’ =BC, A’ C’ =AC.把画好△A’B’C’的剪 下,放到△ABC上,他们全等吗? 画法:
1.画线段 B’C’ =BC; 2.分别以 B’ , C’为圆心,BA,BC为半径画弧,两 弧交于点A’; 3. 连接线段 A’B’ , A’C’ .

上述结论反映了什么规律?

边边边公理
三边对应相等的两个三角形全等。 简写为“边边边”或“SSS” 注: 这个定理说明,只要三角形的 三边的长度确定了,这个三角形的形 状和大小就完全确定了,这也是三角 形具有稳定性的原理。

A

D

如 何 用 符 号 语 言 来 表 达 呢

B

C

E

F

在△ABC与△DEF中 AB=DE

AC=DF
BC=EF ∴△ABC≌△DEF(SSS)

叫判 做断 证两 明个 三三 角角 形形 全全 等等 。的 推 理 过 程 ,

?

理性提升

全等三角形的判定定理1: 三边对应相等的两个三角形全等, 简写为“边边边”或“SSS”。 A
在△ABC和△ DEF中 AB=DE B D C

BC=EF
CA=FD ∴ △ABC ≌△ DEF(SSS) E

F

判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形 全等。

思考:你能用“边边边”解释三角形具有稳 定性吗?

理性提升

例11. 如下图,△ABC是一个刚架,AB=AC,
AD是连接A与BC中点D的支架。 求证:△ ABD≌ △ ACD

方法构想

要证明△ ABD≌ △ ACD,首先看 这两个三角形的三条边是否对应相等。

理性提升

例11. 如下图,△ABC是一个刚架,AB=AC,
AD是连接A与BC中点D的支架。 求证:△ ABD≌ △ ACD

证明:∵D是BC的中点

∴BD=CD 在△ABD与△ACD中 AB=AC(已知) BD=CD(已证) AD=AD(公共边) ∴△ABD≌△ACD(SSS)

例2:如图,AB=AC,AE=AD,BD=CE, 求证:△AEB ≌ △ ADC。
A

B 方法构想

E

D

C

两个三角形中已经的两组边对应 相等,只需要再

证第三条边对应相 等就行了.

例2:如图,AB=AC,AE=AD,BD=CE, 求证:△AEB ≌ △ ADC。 证明:∵BD=CE ∴ BD-ED=CE-ED,
B E

A

D

C

即BE=CD。 在△AEB和△ADC中, AB=AC
AE=AD

BE=CD
∴ △AEB ≌ △ ADC (sss)

我们利用前面的结论,还可以得到作一个角等于已知 角的方法。

例3:已知∠AOB 求作:∠A′O′B′=∠AOB
D O B A O′ D′ B′ A′

C C′ 作法:1、以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交 OA,OB于点C、D; 2、画一条射线O′A′,以点O′为圆心,OC 长为半径画弧,交O′A′于点C′; 3、以点C′为圆心,CD长为半径画弧,与第2 步中所画的弧交于点D′; 4、过点D′画射线O′B′,则 ∠A′O′B′=∠AOB

小结归纳

1

全等三角形证明的基本步骤:
①分析已有条件,准备所缺条件:
证全等时要用的间接条件要先证好; ②三角形全等书写三步骤: ? 写出在哪两个三角形中 ? 摆出三个条件用大括号括起来

? 写出全等结论

2、如图,AB=CD,AC=BD, 随堂练习 △ABC和△DCB是否全等?试 说明理由。 1、已知:如图,AB=AD,BC=CD, 解:△ABC与△DCB全等, 求证:△ABC≌ △ADC 理由如下:

证明:在△ABC与△ADC中 A AB=AD
BC=DC AC=AC ∴ △ABC≌ △ADC C B D

在△ABC与△DCB中 AB=CD

BC=CB
AC=BD ∴ △ABC≌ △DCB

A

D

B

C

中考链接

1

已知如图:AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F 在一条直线上,AD=FB 求证:△ABC ≌△ FDE,

当堂测试

如图,已知AB=CD,AD=CB,E、F分别是AB,CD 的中点,且DE=BF. 求证:①△ADE≌△CBF,②∠A=∠C D F C 证明:∵点E,F分别是AB,CD的中点 1 1 ∴AE= AB, CF = CD 2 2 ∵AB=CD ∴AE=CF A B E
在△ADE与△CBF中 AE=CF AD=CB

∴△ADE≌△CBF ∴∠A=∠C

DE=BF

小结归纳

2

1. 三边对应相等的两个三角形全等 (边边边或SSS);

2.证明全等三角形书写格式:①准备条件; ②三角形全等书写的三步骤。
3、证明是由题设(已知)出发,经过一步步 的推理,最后推出结论正确的过程。

全等三角形判定②

创设情景
因铺设电线的需要,要测量A、B两点的距 离。(如图),因无法直接量出A、B两点的距 离,现有一足够的米尺,且池塘右面是开阔平 地,你能想办法测出A、B两点之间的距离吗?。
B

A

知识回顾

三边对应相等的两个三角形全等(可以简写 为“边边边”或“SSS”)。

用 数学语言表述: 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF(SSS)
B

A

C
D

E

F

探究1:画三角形,寻找全等的条件
画一个三角形,使它得的三角分别为400、600、800

对于三个角对应相等的两个三角形全等吗?
三个角对应相等的两个三角形不一定全等 你还能从身边找到这样的反例吗? A 如图, △ABC和△ADE中,如 果 DE∥AB,则∠A=∠A, ∠

B=∠ADE,∠C= ∠ AED, 但△ABC和△ADE不重合,所 以不全等。

D
B

E C

探究2
做一做:画△ABC,使AB=3cm,AC=4cm, ∠A=45° 。
画法: 1. 画∠MAN= 45° 2. 在射线AM上截取AB= 3cm 3. 在射线AN上截取AC=4cm 4.连接BC ∴△ABC就是所求的三角形 把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角 形进行比较,它们能互相重合吗?

三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 全等。简写成“边角边”或“SAS” 用符号语言表达为: 在△ABC与△DEF中 AB=DE
A

? ∠B=∠E ? ?BC=EF

B

C
D

∴△ABC≌△DEF(SAS)

E

F

概念运用: 1.在下列推理中填写需要补充的条件,使结论 成立:如图,在△AOB和△DOC中,

? = ∠DOC (对顶角相等) ∠AOB ___ ___ ? ?BO=CO(已知)
∴△ABC≌△DEF( SAS )

AO=DO(已知)

2.在下列推理中填写需要补充的条件,使结论 成立:如图,在△AEC和△ADB中,

? = ∠A (公共角) ∠A ? AC AB ____=____(已知) ?
∴△AEC≌△ADB( SAS )

AE AD ____=____(已知)

3.在下列推理中填写需要补充的条件,使结论 成立:如图 在△ABD和△DCB中,

? = ___ (已知) ∠CBD ∠ADB ___ ? DB BD=____( 公共边) ?
∴△ABD≌△CDB( SAS )

AD=CB(已知)

总结体会:

学以致用 1.已知:如图, AB=CB ,∠ ABD= ∠ CBD △ ABD 和△ CBD 全等吗? 证明:在△ ABD 和△ CBD 中 分析: △ ABD ≌△ CBD (SAS) BA=BC(已知) 边: AB=CB(已知)
B

A

D

∠ABD=∠CBD(已知) 角: ∠ABD= ∠CBD(已知) BD=BD(公共边) 边: ? BD=BD (公共边) ∴ △ ABD ≌△ CBD(SAS)

C

追问:例1的已知条件不改变, 问AD=CD吗?BD平分∠ADC吗?

例题 推广

已知:如图, AB=CB ,∠ ABD= ∠ CBD 。
问AD=CD, DB平分∠ ADC 吗?
A
B D C

变式: 已知:AD=CD, BD 平分∠ ADC 。 问∠A=∠ C 吗?
A B D C

2.已知:如图, AO=BO ,DO=CO
求证:AD∥CB

归纳:判定两条线段相等或二个角相等可以通 过从它们所在的两个三角形全等而得到。

练习:

1.如图,AC=BD,∠CAB= ∠DBA,你能判断 BC=AD吗?说明理由。 D C

A

B

2.已知:四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD
求证:AD=BC
A

D

B

C

综合提高
如右图, 已知:AB=AD,CB=CD. 求证:AC⊥BD. B 分析:欲证AC⊥BD,只需证∠AOB= ∠AOD, 证明: 在?ABC 和?ADC中,
这就要证明 ?ABO ≌=?ADO,它已经具备了 AB = AD (已知), CB CD(已知), 两个条件: AB=AD,OA=AO,所以只需证 AC = AC (公共边) ∠BAO= ∠DAO,为了证明这一点,还需证明 ∴ ?ABC ≌ ?ADC(SSS), ?ABC ≌ ?ADC. (全等三角形的对应角相等) ∴ ∠BAO = ∠DAO

A

O

D

C

在?ABO 和?ADO中, AB = AD (已知),∠BAO = ∠DAO (已证), AO= AO (公共边) ∴ ?ABO ≌ ?ADO(SAS), ∴ ∠AOB = ∠AOD (全等三角形

的对应角相等) 又∵∠AOB + ∠AOD =180°(邻补角定义) ∴ ∠AOB = ∠AOD= 90°. ∴AC⊥BD(垂直定义).

问题探究
因铺设电线的需要,要测量A、B两点的距 离。(如图),因无法直接量出A、B两点的距 离,现有一足够的米尺,且池塘右面是开阔平 地,你能想办法测出A、B两点之间的距离吗?。
B

A

问题探究
小明的设计方案:先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点 C,连结AC并延长至D点,使AC=DC,连结BC并延长至E点, 使BC=EC,连结DE,用米尺测出DE的长,这个长度就等于 A,B两点的距离。请你说明理由。

A

E

C B D

探究2

以2.5cm,3.5cm为三角形的两边,长度 为2.5cm的边所对的角为40° ,情况又怎 样?动手画一画,你发现了什么?
C F

A 40°

B

D

40°
E

结论:两边及其一边所对的角相等,两
个三角形不一定全等

知识回顾:

三角形全等判定方法1

三边对应相等的两个三角形全等(可以简写

为“边边边”或“SSS”)。
用符号语言表达为: 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD
B

A

C

D

∴ △ABC ≌△ DEF(SSS) E

F

知识回顾:

三角形全等判定方法2

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全

等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为:
A D

在△ABC与△DEF中 AC=DF
∠C=∠F BC=EF ∴△ABC≌△DEF(SAS)
B

C F E

知识梳理:
A
B SSA不能 判定全等

A

C A

B

D

C

B

D

1.若AB=AC,则添加一个什么条件可得 A △ABD≌ △ACD?
△ABD≌ △ACD
D B S S A S AD=AD ∠BAD= ∠CAD AB=AC BD=CD

C

2.如图,要证△ACB≌ △ADB ,至少选 用哪些条件?
△ACB≌ △ADB

C
A A S S S B AB=AB ∠CAB= ∠ DAB AC=AD BC=BD D



回首往事: 1.什么样的图形是全等三角形? 2.判断三角形全等至少要有几个条件?
答:至少要有三个条件 边边边公理: 有三边对应相等的两个三角形全等。 边角边公理: 有两边和它们夹角对应相等的两个 三角形全等。

问题:
如果已知一个三角形的两角及一边,那 么有几种可能的情况呢? 答:角边角(ASA) 角角边(AAS)
A

A

B

C

B

C

探究5
先任意画出一个△ABC,再画一个 △A/B/C/,使A/B/=AB, ∠A/ =∠A, ∠B/ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相等)。把画好的 △A/B/C/剪下,放到△ABC上,它们全等吗?
C

A

B

已知:任意 △ ABC,画一个△ A/B/C/, 使A/B/=AB, ∠A/ =∠A, ∠B/ =∠B : 画法:1、画A/B/=AB; 2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A , ∠EB/A/ =∠B, A/ D,B/E交于点C/。 △A/B/C/就是所要画的三角形。
C E C’ D

A

B

通过实验你发现了什么规律?

A’

B’

探究反映的规律是:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全 等 (可以简写成“角边角”或“ASA”)。 用数学符号表示:
在△ABE和△A’CD中

∠A=∠A’ (已知 ) AB=A’C(已知 ) ∠B=∠C(已知 ) ∴ △ABE≌△A’CD(ASA) B

A

A'

E

D C

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全 等 (可以简写成“角边角”或“ASA”)。 如图,应填什么就有 △AOC≌ △BOD:
B

∠A=∠B,(已知)
AO=BO ,

C
1 2

∠1=∠2, (已知)
∴△AOC≌△BOD (ASA)
A

O

D

例题讲解
例1.已知:点D在AB上,点E在AC上,BE和CD相交 于点O,AB=AC,∠B=∠C。 求证:(1)AD=AE; (2)BD=CE。 A 证明 :在△ADC和△AEB中

∠A=∠A(公共角) AC=AB(已知) ∠C=∠B(已知)

D O

E

∴△ACD≌△ABE(ASA) B ∴AD=AE(全等三角形的对应边相等) 又∵AB=AC(已知) ∴BD=CE

C

1.如图,O是AB的中点,∠A= ∠B, △AOC与 △BOD全等吗?为什么?
C
两角和夹边 对应相等

A

O

B D

解:在 DAOC 和DBOD


(已知)

?A ? ?B

AO ? BO (中点的定义) ?AOC ? ?BOD (对顶角相等)

\ DAOC ? DBOD

( ASA )

2. 如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB=DE,

AB∥DE,∠A=∠D.
求证:BE=CF.
A D

B

E

C

F

小明踢球时不慎把一块 三角形玻璃打碎为两块,他是 否可以只带其中的一块碎片 到商店去,就能配一块于原来 一样的三角形玻璃呢?
(2) (1)

如果可以,带哪块去合适 呢?为什么?

A
(2) (1)

D

(2)

C 利用“角边角”可知,带第(2)块去, E 可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。 B

探究6

如下图,在△ABC和△DEF中,∠A =∠D, ∠ B=∠E, BC=EF, △ABC与△DEF全等吗?能利用 角边角条件证明你的结论吗?
A

B D

C

E

F

在△ABC和△DEF中, ∠A +∠B +∠C=1800, ∠D +∠E +∠F =1800, ∵ ∠A =∠D, ∠B=∠E, ∴ ∠C=∠F, ∴ ∠B=∠E, BC=EF, ∠C=∠F, ∴ △ABC ≌△DEF (ASA)

探究反映的规律是:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角 形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)。
A A'

用数学符号表示: 在△ABE和△A’CD中 AE=A’D(已知 ) ∠A=∠A’ (已知 ) ∠B=∠C(已知 )
E B

D C

∴ △ABE≌△A’CD(AAS)

例: 如图,O是AB的中点,∠C= ∠D, △AOC 与△BOD全等吗?为什么?
C
两角和对边 对应相等

A

O

B D

解:在

DAOC 和DBOD



∠C= ∠D (已知) AO ? BO (中点的定义) ?AOC ? ?BOD (对顶角相等) \ DAOC ? DBOD (AAS)

到目前为止,我们一共探索出判定三 角形全等的四种规律,它们分别是:

1、边边边 2、边角边 3、角边角 4、角角边

(SSS) (SAS) (ASA) (AAS)

练一练:
1、如图∠ACB=∠DFE,BC=EF,根据SAS,ASA或AAS, 那么应补充一个直接条件 AC=DF或∠B=∠E或∠A=∠D --------------------------, (写出一个即可),才能使△ABC≌△DEF.
A
F B E D
1 2

A

C
D
B

E

C

2、如图,BE=CD,∠1=∠2,则AB=AC吗?为什么?
AB=AC相等

知识应用
1. 如图,要测量河两岸相对的两

点A,B的距离,可以 在AB的垂线BF上取两点C,D,使BC=CD,再定出 BF的垂线DE,使A, C,E在一条直线上, 这时测得DE的长就是AB的长。为什么? 证明: A 在△ABC和△EDC中, ∠B=∠EDC=900 BC=DC, D B 1C F ∠1=∠2, 2 ∴ △ABC ≌△DEF (ASA) ∴ AB=ED. E

知识应用
2.如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2. 求证: AB=AD. 证明: ∵ AB⊥BC, AD⊥DC, ∴ ∠B=∠D=900,
在△ABC和△ADC中, ∠B=∠D, ∠1=∠2, AC=AC, ∴ △ABC ≌△ADC (AAS) ∴ AB=AD.

练 习
已知: 如图∠B=∠DEF, BC=EF, 求证:ΔABC≌ ΔDEF (1)若要以“SAS”为依据,还缺条件AB=DE ______; 1、边边边 (SSS) ∠ACB= ∠DEF ; (2)若要以“ASA”为依据,还缺条件 AB=DE、AC=DF ; (3)若要以“SSS” 为依据,还缺条件 2、边角边 (SAS) ∠A= ∠D (4)若要以“AAS” 为依据,还缺条件______;

3、角边角 4、角角边 三步走:

(ASA) (AAS)

A

D

①要证什么; ②已有什么; ③还缺什么。

=
E C

=

B

F

练 习
(1) 图中的两个三角形全等吗? 请说明理由. 全等 因为两角和其中一角的对边对应相等的两 个三角形全等.

解:在DABC和DDBC中
?ABC ? ?DBC (已知)

A

110
B

?A ? ?D

(已知)

35 35 110
D

C

BC ? BC (公共边)

\ DABC? DDBC ( AAS )

(2)已知DABC中,BE ? AD于E,CF ? AD于F, 且BE ? CF,那么BD与DC相等吗? 证明: BE ? AD,CF ? AD ?
A

\?BED ? ?CFD ? 90 (垂直的定义) ?在DBDE和DCDF中
?

F D E C

?BED ? ?CFD (已证)

B

?BDE ? ?CDF 对顶角相等) (
BE ? CF (已知)
\DBDE ? DCDF AAS) (

\ BD ? CD 全等三角形对应边相等) (

练 习
(3) 如图,AC、BD交于点O,AC=BD,AB=CD. 求证: (1)?C ? ?B ( 2)OA ? OD
证明: (1)连接AD, 在△ADC和△DAB中 D AD=DA(公共边) AC=DB(已知) DC=AB(已知) ∴△ADC≌△DAB (SSS) ∴∠C=∠B(全等三角形的对应角相等) A C

2
1

O B

(2) 在△ AOB 和△ DOC中 ∴△DOC≌△AOB (AAS) ∠ B =∠ C (已证) ∠1=∠2 (对顶角相等) ∴OA=OD (全等三角形的对应边相等) DC=AB(已知)

综合应用 -----全等三角形判定 1.如图,点E在AB上,∠1=∠2,∠3=∠4,
那么CB等于DB吗?为什么?
C 3 A 1 2 4 D E B

2.如图,AB∥DC,AD∥BC, 说出△ABD≌ △CDB的理由。
A B





3. 如图,AB=DE,AF=CD,EF=BC, ∠A=∠D, 试说明:BF∥CE
F
A

E
D

B

C

4. 如图,在△AFD和△BEC中,点A、E、F、C在 同一直线上,有下列四个论断: ①AD=CB,②AE=CF,③∠B=∠D,④ ∠A= ∠C.请用其中三个作为条件,余下一个作为结论, 编一道数学问题,并写出解答过程。
A E B

D
F C

5. 如图,在△ABC和△BAD中,BC = AD,请你 再补充一个条件,使△ABC≌△BAD.你补充的 条件是 .
C
D

A

B

E 6. 已知:

如图, △AEF 与△ABC中, ∠E =∠B, EF=BC.请你添加一个条件, 使△AEF ≌ △ABC. B

A

F

C

对于添加条件使两三角形全等的问题,当已有两个 条件(包括隐含条件)时,如何思考?

7.在△ABC中, ∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过 点C, AD⊥MN于点D, BE ⊥MN于点E, (1)当直线MN旋转到如图(1)所示的位置时,猜想 线段AD、BE、DE的数量关系,并证明你的猜想。
N E C D M A B

图(1)

7.在△ABC中, ∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经 过点C, AD⊥MN于点D, BE ⊥MN于点E, (2)当直线MN旋转到图(2)的位置时,猜想线段 AD,BE,DE的数量关系,并证明你的猜想
N C D

图(2)
B M

A E

7.在△ABC中, ∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经 过点C, AD⊥MN于点D, BE ⊥MN于点E, (3)当直线MN旋转到图(3)的位置时,猜想线段 AD,BE,DE的数量关系,并证明你的猜想
N C

图(3)

E A D B

M

(2010江苏南通)如图,已知:点B、F、C、E在一条直 线上,FB=CE,AC=DF. 能否由上面的已知条件证明AB∥ED?如果能,请给出证 明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件, 添加到已知条件中,使AB∥ED成立,并给出证明. 供选择的三个条件(请从其中选择一个): ①AB=ED;②BC=EF;③∠ACB=∠DFE.
A C

B F

E

D

§11.2.4 三角形全等的判定(HL)

复习旧知 引入新知

1:如图:△ABC≌△DEF,指出它们的对应角、 对应边。
A D

B

E

C

F

AB——DE AC——DF BC——EF ∠A——∠D ∠B——∠DEF ∠ACB——∠F

2:我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些? (SSS)、(SAS)、(ASA)、(AAS)

创设情景 引入课题 如图,舞台背景的形状是两个直角三角形,工 作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但 两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测 量.你能帮他想个办法吗?
A B1

C1

C

B

A1

A

B
1

C
1

C

B

A
1

方法1:用直尺量出斜边AB, A1B1的长度,再用量角 器量出其中一个锐角(如∠A与∠A1 )的大小,若 AA 它们对应相等,据根( )可以证明两直角三角形是 全等的。 S 方法2:用直尺量出不被遮住的直角边AC, A1C1的长度, 再用量角器量出其中一个锐角(如∠A与∠A1 )的大 小,若它们对应相等,据根( AS )可以证明两直角三 角形是全等的。 A

如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务?
A

B
1

C
1

C

B

A1

那么他只能测直角边 和斜边了,只满足斜 边和一条直角边对应 相等的两个直角三角 形能全等吗?

画一画:

动手实践 探索规律

任意画一个Rt△ACB ,使∠C﹦90°,再画一个 Rt△A′C′B′使∠C﹦∠C′,B′C′﹦BC,A′B′﹦AB (1):你能试着画出来吗?与小组交流一下。 (2):把画好的Rt△A′C′B′放到Rt△ACB上, 它们全等吗?你能发现什么规律? 作法: 1、画∠MC′N=9



2、在射线C′M上取B′C′=BC
3、以B 为圆心,AB为半径画弧,交射线C N于点A 4、连接A′B′,△A′C′B′就是所作三角形。
′ ′ ′

总结规律 运用新知

直角三角形全等的判定方法: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 简写成“斜边、直角边”或“HL”. 例4:如图,AC⊥BC, BD⊥AD, AC﹦BD,求证:BC﹦AD 证明: ∵ AC⊥BC, BD⊥AD
∴∠C与∠D都是直角. 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中,
AB=BA, A D C

B

AC=BD .

Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD

巩固练习 如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证:BF=DE
A B

F
E

C

D

变式训练1

如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证:BD平分EF
B

A

F
E

C

G

D

变式训练2

如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF

想想:BD平分EF吗?
B

E A F G

C

D

联系实际 综合应用 如图,有两个长度相同的滑梯, 左边滑梯的高度AC与右边滑梯 水平方向的长度DF相等,两个滑 梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大 小有什么关系?

议一议

∠ABC+∠DFE=90°

解:在Rt△ABC和Rt△DEF中
BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°

综合应用
1.如图所示,已知点C为线段AB上一点,△ACM、△BCN是等边三 角形. (1)求证:AN=BM;

(2)若等边三角形CBN绕顶点C顺时针旋转后(旋转角α <180°) ,此时AN与BM是否还相等?若相等,给出证明;若不相等,说明 理由.

(3)若把原题中“△ACM和△BCN是两个等边三角形”换成两 个正方形(如图所示),AN与BM的关系如何?请说明理由.

感悟与反思:
1、平行——角相等; 2、对顶角——角相等; 3、公共角——角相等; 4、角平分线——角相等;

5、垂直——角相等;
6、中点——边相等; 7、公共边——边相等; 8、旋转——角相等,边相等。
126

一、填空题(每题2分,共32分) 完全重合 1.能够 的两个图形叫做全等图形. 2.判定两个三角形全等除用定义外,还有几种方法,它们分别可以简写 SSS 成_______;_______;_______;_______;_________. SAS ASA AAS HL 3.已知,如图,AD=AC,BD=BC,O为AB上一点,那么,图中共有三 对全 等三角形. 4.如图,△ABC≌△ADE,则,AB= AD ,∠E=∠ C .若 ∠BAE=120°,∠BAD=40°,则∠BAC= 80° . 5.△ABC≌△DEF,且△ABC的周长为12,若AB=3,EF=4,则 AC= . 5 6.如图,AE=BF,AD∥BC,AD=BC,则有ΔADF≌△BCE ,且DF= CE . 7.如图,在ΔABC与ΔDEF中,如果AB=DE,BE=CF,只要加上 ∠ B =∠ DEF ,或 AB ∥DE ,就可证明ΔABC≌ΔDEF. 8.△ABC≌△BAD,A和B,C和D是对应顶点,如果AB=8cm,BD=?cm, 6 AD=5cm,则BC=___cm. 5 A D A
C

E

A

D F

A

O

B

E B

D
第3题图

B
第4题图

C D

C

B

图6 6题图

C E 7题图 图7

F

9.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,且CD=4cm,则点D到AB? 4cm 的距离是________. 10.如图已知AC=BD,∠1=∠2,那么△ABC≌△BAD ,判定根据是_ ___. SAS 11.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,要使△ABD≌△ACD,若根据“HL”判定, 还需加条件___ = _ __. AB AC 12.如图,已知AC=BD, ∠A=∠D ,请添一个直接条件,CF = BE , 使△AFC≌△DEB. 13.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去 配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带____去配,这样做的 ③ 数学依据是 两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等 . 14.把两根钢条AA′、BB′的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽 的工具(卡钳), 如图,若测得AB=5厘米,则槽宽为 0.05 米. 15.△ABC中,∠B=60°,∠C=80°,O是三条角平分线的交点,则 ∠OAC=______,∠BOC=________. 20度 110度 16.将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠,其中BC、CD为折痕, D 则∠BCD的度数为90度.
A

D

C
A B C

E

A

B

D

1 A

2 B
B D C
F







B
A B

C

二、填空题(共68分)
D A O

17.如下左图,AB与CD交于点O,OA=OC,OD=OB,∠AOD= ∠COB ,? 根据 SAS 可得到△AOD≌△COB,从而可以得到AD= BC .
A

?

C B

19题图
B D C

18.如上右图,已知△ABC中,AB=AC,AD平 D C 分∠BAC,请补充完整过程说明△ABD≌△ACD的理由. ∵AD平分∠BAC E ∴∠ BAD =∠ CAD (角平分线的定义) 在△ABD和△ACD中 ? ? AB=AC (已知) ? ∵ ?∠BAD=∠CAD (已证) ∴△ABD≌△ACD( SAS ) ? ? ? AD=AD (公共边) 19.如图,A、B两建筑物位于河的两岸,要测得它们之间的距离,可以 从B点出发沿河岸画一条射线BF,在BF上截取BC=CD,过D作DE∥AB,使 E、C、A在同一直线上,则DE的长就是A、B之间的距离,请你说明道 理.

20.已知:如图,点D、E在BC上,且BD=CE,AD=AE,∠1=∠2. 求证:AB=AC.
A

B

D

1

2

E

C

?
21.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4, 求证: ∠5=∠6.
D A 1 2 5 E 6 B 3 4 C

22.已知:如图,A、C、F、D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,BC =EF, A 求证:△ABC≌△DEF.
C B F E

D

23.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:△ABC≌△DEF.

?

24.已知:如图,AB=AC,BD?AC,CE?AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交 C 于点F,求证:BE=CD. D
F

B

E

A

25.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, △ABC面积是28,AB=20cm,AC=8cm,求DE的长. A

E F B C

D

26.已知:BE⊥CD,BE=DE,BC=DA, 求证:① △BEC≌△DAE; ②DF⊥BC.
C

B F A

E

D

?
27.已知:如图,△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2,求证:A

B=AC+CD.
A 1 2 B C

D

28.已知:∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶P在射线 OM上滑动,两直角边分别与OA、OB交于C、D.PC和PD有怎样的数量关系, 证明你的结论.
A

C P

M

O

D

B

?

A 一、填空题(每题3分,共30分) 1.在△ABC中,∠B=∠C,与△ABC全等的三角形有一个角是 C 2题图 100°,那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是( A ) O B D A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C 2.如图,在CD上求一点P,使它到OA,OB的距离相等,则P点是( D ) A.线段CD的中点 B.OA与OB的中垂线的交点 C.OA与CD的中垂线的交点 D.CD与∠AOB的平分线的交点 3.如图所示,△ABD≌△CDB,下面四个结论中,不正确的是( C ) D 提示 C A.△ABD和△CDB的面积相等 B.△ABD和△CDB的周长相等 C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D.AD∥BC,且AD=B 3题图 4.如图,已知AB=DC,AD=BC,E,F在DB上两点且BF=DE, A B A D 若∠AEB=120°,∠ADB=30°,则∠BCF= ( D ) F E 4题图 A.150° B.40° C.80° D.90° B C 5.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等,那么这两个三角 形的第三条边所对的角的关系是( A ) D C E A.相等 B.不相等 C.互余或相等 D.互补或相等 6、如图,AB⊥BC,BE⊥AC,∠1=∠2,AD=AB,则( D) F 1 2 A B A.∠1=∠EFD B.BE=EC C.BF=DF=CD D.FD∥BC

6题图

7.如图BE⊥AC于点D,且AD=CD,BD=ED,若∠ABC=54°,则∠E=(B)

A.25°

B.27°

C.30°

D.45

8.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,过B作BE⊥AD于E,过E作EF∥AC交AB 于F,则( B )

A.AF=2BF B.AF=BF

C.AF>BF

D.AF<BF

9.如图所示,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学 知识画出一个与书上完全一样的三角形,那么这两个三角形完全一样的依 据是( D ) A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA

10.将一张长方形纸片按如图4所示的方式折叠,BC、BD为折痕,则 ∠CBD的度数为( C ) A.60°
A D
B

B.75°
A

C.90°

D.95°

E
F D C

B

C

7题图

8题图

E

9题图

10题图

二、填空题(每小题3分,共24分 11. 如图,∠BAC=∠ABD ,请你添加一个条件: ,使 OC=OD (只添一个即可). ∠C=∠D或∠ABC=∠BAD或AC=BD或∠OAD=∠OBC 12.如图,在△ABC中,AB=AC,BE、CF是中线,则由 △AFC≌△AEB. SAS 可得

13.如图,AB=CD,AD=BC,O为BD中点,过O点作直线与DA、BC延长线交 于E、F,若∠ADB=60°,EO=10,则∠DBC= 60° ,FO= 10 .
14.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=32,且 BD∶CD=9∶7,则D到AB边的距离为___. 14 15.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等,那么这两个 互补或相等 三角形的第三边所对的角的关系是__________. 5 16.如图,AB∥CD,AD∥BC,OE=OF,图中全等三角形共有______对.
C D


F
O
A B

A

D
E C

C O B

F B

A E

11题图

12题图

13题图

16题图

17.在数学活动课上,小明提出这样一个问题:∠B=∠C=90°,E是BC的 中点,DE平分∠ADC,∠CED=35°,如图,则∠EAB是多少度?大家一起 热烈地讨论交流,小英第一个得出正确答案,是______. 35° 18.如图,AD,A′D′分别是锐角三角形ABC和锐角三角形A′B′C′中BC

?

B′C′边上的高,且AB=A′B′,AD=A′D′.若使△ABC≌△A′B′C′ 答案不惟一 ,请你补充条件________.(填写一个你认为适当的条件即可)
D C

A

A′

E

C′
A

B
B

D

C

B′

D′

三、解答题(第19-25每题8分,第26题10分,共60分)

19.已知:△DEF≌△MNP,且EF=NP,∠F=∠P,∠D=48°,∠E=52°, MN=12cm,求:∠P的度数及DE的长.
解:∵△DEF≌△MNP,∴DE=MN,∠D=∠M,∠E=∠N,∠F= ∠P,∴∠M=48°,∠N=52°,∴∠P=180°-48°-52°=80°, DE=MN=12cm

20. 如图,∠DCE=90o,CD=CE,AD⊥AC,BE⊥AC,垂足分别为A、B,试 说明AD+AB=BE.

?

21.如图,工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等,但他手边没有量 角器,只有一个刻度尺.他是这样操作的:①分别在BA和CA上取BE=CG; ②在BC上取BD=CF;③量出DE的长a米,FG的长b米.如果a=b,则说明∠B 和∠C是相等的.他的这种做法合理吗?为什么? A
E B G C

D

F

22.要将如图中的∠MON平分,小梅设计了如下方案:在射线OM,ON上分别 取OA=OB,过A作DA⊥OM于A,交ON于D,过B作EB⊥ON于B交OM于E,AD.EB 交于点C,过O,C作射线OC即为MON的平分线,试说明这样做的理由.

23.图①所示,A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过E,F分别作DE⊥AC

,BF⊥AC,若AB=CD,可以得到BD平分EF,为什么?若将△DEC的边EC沿 AC方向移动,变为②时,其余条件不变,上述结论是否成立?请说明理由.

?

∵DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,∴∠DEF=∠BFE= 90°.∵AE=CF,∴AE+EF=CF+FE,即AF=CE.在 Rt△ABF与Rt△CDE中,AB=CD,AF=CE, A ∴Rt△ABF≌Rt△CDE,∴BF=DE.在 Rt△DEG≌Rt△BFG中,∠DGE=∠BGF,DE=BF, ∴Rt△DEG≌Rt△BFG,∴EG=FG,即BD平分EF.若将 △DEC的边EC沿AC方向移动到图2时,其余条件不变,上 述结论仍旧成立,理由同上.提示:寻找AF与CE的关系是解 决本题的关键

B E G F D C A

B GE C

F



D



24.如图,△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行 线BG于G点,DE⊥DF,交AB于点E,连结EG、EF. (1)求证:BG=CF. (2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并说明理由.
(1)∵AC∥BG,∴∠GBD=∠C,在△GBD与△FCD中,∠GBD= ∠C,BD=CD,∠BDG=∠CDF,∴△GBD≌△FCD,∴BG=CF. (2)BE+CF>EF,又∵△GBD≌△FCD(已证) ,∴GD=FD,在 △GDE与△FDE中,GD=F

D,∠GDE=∠FDE=90°,DE=DE, ∴△GDE≌△FDE(SAS) ,∴EG=EF,∵BE+BG>GE,∴BE+CF> EF.

25.(1)如图1,△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形 ABDE和正方形ACFG,连结EG,试判断△ABC与△AEG面积之间 的关系,并说明理由. S =S
△ABC △AEG

?

(2)园林小路,曲径通幽,如图2所示,小路由白色的正 方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的 面积之和是a平方米,内圈的所有三角形的面积之和是b平方 米,这条小路一共占地多少平方米?
E G A D E G

A
D N F F 图2 B 图1 C

M

B

C

解:由(1)知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形 的面积之和,∴这条小路的面积为(a+2b)平方米

提示:∵△ABD≌△CDB,∴AB=CD, BD=DB,AD=CB,∠ADB=∠CBD, ∴△ABD和△CDB的周长和面积都分别相 等.∵∠ADB=∠CBD,∴AD∥BC.

D

C

A

B

解析:在Rt△ADB与Rt△EDC中,AD=CD,BD=ED, ∠ADB=∠EDC=90°,∴△ADB≌△CDE,∴∠ABD=∠E. 在Rt△BDC与Rt△EDC中,BD=DE,∠BDC=∠EDC=90°, CD=CD,∴Rt△BDC≌Rt△EDC,∴∠DBC=∠E.∴∠ABD =∠DBC=1/2∠ABC,∴∠E=∠DBC=1/2×54°=27°. 提示:本题主要通过两次三角形全等找出∠ABD=∠DBC=∠E.
A D E

B

C

角平分线的性质

复习提问
1、角平分线的概念

一条射线 把一个角分成两个相等的角, 这条射线叫做这个角的平分线。

A

o

1 2

C B

复习提问 2、点到直线距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度, 叫做点到直线的距离。
P
我的长度

A

O

B

角的平分线的作法
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A 放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条 射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗? 证明: 在△ACD和△ACB中 A AD=AB(已知) DC=BC(已知) CA=CA(公共边) B D ∴ △ACD≌ △ACB(SSS) EC ∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的 对应边相等) ∴AC平分∠DAB(角平分线的定义) 你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?

尺规作角的平分线
观察领悟作法,探索思考证明方法: 画法:
1.以O为圆心,适当 长为半径作弧,交OA于M, 交OB于N. 2.分别以M,N为 圆心.大于 1/2 MN的长 为半径作弧.两弧在∠A OB的内部交于C. 3.作射线OC.

A M C







射线OC即为所求.

想一想: 为什么OC是角平分线呢? 已知:OM=ON,MC=NC。 求证:OC平分∠AOB。 证明:在△OMC和△ONC中,
OM=ON, MC=NC, OC=OC, ∴ △OMC≌ △ONC(SSS) ∴∠MOC=∠NOC B 即:OC平分∠AOB

A M







角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足

分别是D,E。 求证:PD=PE 证明:∵ PD⊥OA,PE⊥OB(已知)
∴∠PDO=∠PEO=90(垂直的定义) 在△PDO和△PEO中 ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP O ∴ △ PDO≌ △ PEO(AAS) ∴ PD=PE(全等三角形的对应边相等)
D A

C

P
E B

角平分线的性质
定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为: ∵ ∠1= ∠2
推理的理由有三个, 必须写完全,不能 少了任何一个。

A D P

PD ⊥OA ,PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边 O 1 2

的距离相等)

E

B

角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 定理应用所具备的条件:
(1)角的平分线; (2)点在该平分线上; (3)垂直距离。 O E D

A

P

C

B

定理的作用: 证明线段相等。

∵ 如图,AD平分∠BAC(已知) ∴ BD = CD ,( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。

(×)
A

B D C

∵ 如图, DC⊥AC,DB⊥AB (已知)



BD = CD ,( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
A B C

(×)

D

∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC,DB⊥AB (已知) ∴ DB = DC ,( 在角的平分线上的点到这个 )
角的两边的距离相等。
B


A

D

不必再证全等

C

如图, ∵ OC是∠AOB的平分线,
PD⊥OA,PE⊥OB 又 ________________ ∴PD=PE
A

(

D
角的平分线上的点到 角的两边的距离相等

C

)
B

P

O

E

在△OAB中,OE是它的角平分线,且EA=EB, EC、ED分别垂直OA,OB,垂足为C,D. 求证:AC=BD. O

C A E

D B

在△ABC中, ∠ C=90 ° ,AD为∠BAC 的平分线,DE⊥AB,BC=7,DE=3.
求BD的长。
A

E

C

D

B

如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的 平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF; 求证:CF=EB

A

F C

E

D

B

这节课我们学习了哪些知识?
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法;

2、角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言: ∵ OC是∠AOB的平分线, O 又 PD⊥OA,PE⊥OB ∴ PD=PE (角的平分线上的点 到角的两边距离相等).
D P E B A C

知识应用
1、在Rt△ABC中,BD是角平分线,DE⊥AB,垂足 为E,DE与DC相等吗?为什么? 2 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上 ,PD ⊥OA,PE⊥OB, 垂 足 分 别 是 D 、 E,PD=4cm, 则 , PE=__________cm.
E
A D E B C O A D C

P
B

练习
A

1 . 如图,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足 分别是E,F, DE =DF, ∠EDB= 60°,则 ∠EBF= 60 度,

E

C D

BE= BF



B F C

2 如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB, ∠1=∠2,且AC=6cm,那么线段BE是△ABC 的 角的平分线 ,AE+DE= 6cm 。

3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少?
C

你会吗?

D

A

E

B

例 已知:如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。 求证:点P到三边AB、BC、CA的

距离相等. 证明:过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA, 垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上 ∴PD=PE A (在角平分线上的点到角的两边的距离相等) 同理 PE=PF. D M ∴ PD=PE=PF. N P F 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
B C E

怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点?

如图,△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C 的外角的平分线CE相交于点P.
求证:点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离 相等.

C 更上一层楼! F

H

D P E





G

如图,由 PD ? OA 于点 D , PE ? OB 于点 E,PD= PE , 可以得到什么结论 ?

到一个角的两边的距离相等 的点, 在这个角的平分线上。
已知:如图, PD ? OA ,
PE ? OB ,垂足分别是

D

A

O E

P

A、B,PD=PE , 求证:点P在?AOB 的角平分线上。 B

角平分线 到角的两边的距离相等的点 在角 的判定 的平分线上。
已知:如图,PD ? OA, ? OB , PE 垂足分别是 D、E,PD=PE, 求证:点P在 ?AOB的角平分线上。

D

A

证明:作射线OP



PD ? OA

\

PE ? OB

O E

P

?PDO ? ?PEO ? 90?
OP = OP (公共边) PD = PE ( 已 知 )

在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中,

B

\ RtDPDO≌ RtDPEO ( HL) \ ?AOP ? ?BOP (全等三角形的对应角相等) \ 点P在 ?AOB 角的平分线上

角平分线的判定的应用书写格式:
D

A



PD ? OA
PE ? OB

O

P

PD= PE

\OP 是 ?AOB的平分线(到一个角的

E

B 两边的距离相等的点, 在这个角的平分线上)

角平分线的性质:在角的平分线上的点到这
个角的两边的距离相等。

∵ \

D

A C

OP 是 ?AOB 的平分线
PD ? OA
PE ? OB

PD = PE

O E

P

用途:证线段相等

角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的
点, 在这个角的平分线上。

B

∵ \

PD ? OA

PE ? OB

PD = PE OP 是 ?AOB 的平分线

用途:判定一条射线是角平分线

A

练一练
1 2

填空:

E
D B

(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________

C

在角平分线上的点到角的两边的距离相等 (___________________________________________)
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∠1= ∠2 ∴__________

(_到一个角的两边的距离相等的点,在这个角平分线上。 ______________________________________________)

例1.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E、F,且BE=CF。A 求证:AD是△ABC的角平分线。

E B D

F C

课堂练习
1.已知:如图,BE⊥AC于E, CF⊥AB于F,BE、 CF相交于D, BD=CD 。 求证: AD平分∠BAC 。 B

F

A
E

D

C

拓展与延伸 2.已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF, 求证:点F在∠A的平分线上.
M D C F A

E B

N

3、已知PA=PB, ∠1+ ∠2=1800, 求证:OP平分∠AOB E
A
1 P

2 O F B

例题2.如图,△ABC的角平分线BM

、CN相交 于点P。求证:点P也在∠A的平分线上。
? 证明:过点P作PD 、PE、PF分别垂 直于AB、BC、CA,垂足为D、E、F ? ∵BM是△ABC的角平分线,点P在 BM上(已知) D ? ∴PD=PE N ? (在角平分线上的点到角的两边的距离相等) ? 同理 PE=PF. ? ∴ PD=PE=PF. P ? 即点P到边 B E ? AB、BC、CA的距离相等
证明:过点P作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC 于F

A F M

C

随堂练习
1.已知:如图,△ABC的∠B的外角的平分线BD和 ∠C的外角平分线CE相交于点P。 A 求证:点P在∠BAC的平分线上。
B C

E P

D

2.如图,三条公路相交,现在要修建一加油站,使加 油站到三条公路的距离相等,问加油站该选在什么 位置上?

例1 已知:在等腰Rt△ABC中,AC = BC, ∠C=90°,AD平分∠ BAC,DE⊥AB于点E。 求证:BD+DE =AC A

E

C

D

B

变式

已知AB =15cm, 求△DBE的周长

1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物 中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择 的地址有( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处

2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点 F,CF=BF, M 求证:点F在∠A的平分线上.
D

C

F A E B N

课堂小结

1、画一个已知角的角平分线; 及画一条已知直线的垂线;

2、角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 3、角平分线的判定结论: 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。

判定:到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为:

∵ QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE ∴点Q在∠AOB的平分线上. 性质:角的平分线上的点到角的两边的距离 相等. 用数学语言表示为: ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD=QE

知识点
1.全等三角形的性质:

对应边、对应角、对应线段相等,周长、面积也相等。 2.全等三角形的判定: ①一般三角形全等的判定: SAS、ASA、AAS、SSS ②直角三角形全等的判定: SAS、ASA、AAS、SSS、HL

知识点
3.三角形全等的证题思路:
?找夹角 ? SAS ? ① 已知两边?找另一边 ? SSS ?找直角 ? HL ?

边为角的对边 ? 找任一角 ? AAS ? ? ?找夹角的另一边 ? SAS ② 已知一边一角 ? ?边为角的邻边?找边的对角 ? AAS ? ?
?找夹边 ? ASA ③已知两角? ? 找任一边 ? AAS
? ?找夹角的另一角? ASA

二.角的平分线: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平 分线上 (已知) ∴ QD=QE(角的平分线上的点到角的两
边的距离相等)

1.角平分线的性质:

2.角平分线的判定:

到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上。 ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE(已知). ∴点Q在∠AOB的平分线上.(到角的两边的距
离相等的点在角

的平分线上)

2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明:过点P作PD⊥AB于D, PE⊥BC于E,PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点P在 BM上, PD⊥AB于D,PE⊥BC于E
B A ND P M F C

E ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距

离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等

3.如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相

证明: 过点F作FG⊥AE于G, FH⊥AD于H,FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上, FG⊥AE, FM⊥BC ∴FG=FM(角平分线上的点到这个角
的 两边距离相等). 又∵点F在∠CBD的平分线上,

交于点F,求证:点F在∠DAE的平分线上.

G M

H

FH⊥AD, FM⊥BC ∴FM=FH (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). ∴FG=FH(等量代换) ∴点F在∠DAE的平分线上

例题选析
例1:如图,D在AB上,E在AC上,且∠B =∠C, 那么补充下列一具条件后,仍无法判定 △ABE≌△ACD的是( B )

A.AD=AE
C.BE=CD

B. ∠AEB=∠ADC
D.AB=AC

例2:已知:如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E, BE、CD相交于O点,∠1=∠2,图中全等的三角形共有( D )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

例3. 已知: AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.

求证:BC=AD.

D A

C B

例4:下面条件中, 不能证出Rt△ABC≌Rt△A' B'C'的是[ C ] (A.)AC=A'C' , BC=B'C' (B.)AB=A'B' , AC=A'C' (C.) AB=B'C' , AC=A'C' (D.)∠B=∠B' , AB=A'B'

例5:如图,在△ABC 中,AD⊥ BC,

CE⊥ AB,垂足分别为D、E,AD、CE交
于点H,请你添加一个适当的条

件: BE=EH

,使△AEH≌△CEB。

例6:求证:三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。 1 AD 已知:如图,AD是△ABC 的中线,求证: ? 2 ( AB ? AC ) 证明: 延长AD到E,使DE=AD,连结BE A ∵ AD是△ABC 的中线 ∴ BD=CD 又 ∵ DE=AD ?ADC ? ?EDB ∴ △ADC ≌ △EDB ∴ AC = EB 在△ABE中,AE < AB+BE=AB+AC 即 2AD < AB+AC 1 ∴ AD ? ( AB ? AC ) 2

B

D

C

E

课堂练习
1.已知BD=CD,∠ABD=∠ACD,DE、DF分别垂直 于AB及AC交延长线于E、F. 求证:DE=DF
证明:∵∠ABD=∠ACD(已知) ∴∠EBD=∠FCD( 等角的补角相等) 又∵DE⊥AE,DF⊥AF(已知) ∴∠E=∠F=900(垂直的定义 ) 在△DEB和△DFC中 ∵ ?E ? ?F (已证) ?

? ? ?EBD=?FCD(已证) ? BD=CD(已知) ? ∴△DEB≌△DFC(AAS) ∴DE=DF( 全等三角形的对应边相等)

2.点A、F、E、C在同一直线上,AF=CE,BE = DF,BE∥DF。 求证:AB∥CD。
? 证明: \ AF ? CE AE ? CF

又?

BE ∥ DF

\ ?1 ? ?2

又? BE ? DF
\ DAEB ≌ DCFD \ ?A ? ?C \ AB ∥CD

3、如图:在△ABC中,∠C =900,AD 平分∠ BAC,DE⊥AB交AB于E, BC=30,BD:CD=3:2,则 DE= 12 。 c
D

A

E

B

4.已知,△ABC和△ECD都是等边三角

形,且点B,C, D在一条直线上。求证:BE=AD E
证明: ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60°
B C D A

∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE 即∠BCE=∠DCA 在△ACD和△BCE中 AC=BC ∠BCE=∠DCA DC=EC ∴ △ACD≌△BCE (SAS) ∴ BE=AD

变式:以上条件不变,将△ABC 绕点C旋转一定角度(大于零度 而小于六十度),以上的结论 海成立吗?

5.如图,已知E在AB上,∠1=∠2, ∠3=∠4,那么AC等 于AD吗?为什么?
C 3 A E 4 D 1 2 B

解:AC=AD

理由:在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4

EB=EB
∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD

6.如图,已知,AB∥DE,AB=DE,AF=DC。请问图中有 那几对全等三角形?请任选一对给予证明。
E F C B

答:
D

△ABC≌△DEF

证明: ∵ AB∥DE
∴ ∠A=∠D ∵ AF=DC ∴ AF+FC=DC+FC ∴ AC=DF 在△ABC和△DEF中 AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ △ABC≌△DEF (SAS)

A

7.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA, CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由。
C E D 要证明两条线段的和与一条线段 相等时常用的两种方法: A B 1、可在长线段上截取与两条线段 中一条相等的一段,然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。 (割)

2、把一个三角形移到另一位置, 使两线段补成一条线段,再证明 它与长线段相等。(补)

练习
7、如图,已知,EG∥AF,请你从下面三个条件中,再选 出两个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个正确 的命题。(只写出一种情况)①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知: EG∥AF

求证:

A

E B G D

C
F

拓展题
8.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.
求证:BC∥EF
F E D

A B C

9.如图:在四边形ABCD中,点E在边CD上,连接AE、BE并延 长AE交BC的延长线于点F,给出下列5个关系式:: ①AD∥BC,②,DE=EC③∠1=∠2,④∠3=∠4,⑤AD+BC=AB。 将其中三个关系式作为已知,另外两个作为结论,构成正确 的命题。请用序号写出两个正确的命题:(书写形式:如 果??那么??)(1) ; (2) ;
A 2 1 D

E 3 B 4 (第18题) C F

10.如图,在R△ABC中,∠ACB=450,∠BAC=900,AB=AC, 点D是AB的中点,AF⊥CD于H交BC于F,BE∥AC交AF的 延长线于E, 求证:BC垂直且平分DE.

11.已知:如图:在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB 两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截 取CG=AB,连结AD、AG。 求证:△ADG为等腰直角三角形。
A G F D H C E

B

12.已知:如图21,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E, DF⊥AC于F,DB=DC, 求证:EB=FC

总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题: (1)要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角” 与 “对角”的不同含义; (2)表示两个三角形全等时,表示对应顶点

的字母 要写在对应的位置上; (30要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中 一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; (4)时刻注意图形中的隐含条件,如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”


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