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北师大版九下《二次函数--的图象》(第2课时)

发布时间:2013-12-04 14:31:55  

第四节 二次函数y=ax2+bx+c的图象(二)

店头中学

赵小亚

函数表达式

开口 方向

增减性

对称轴
y轴(直线x ? 0)
y轴(直线x ? 0)

顶点坐标

y ? ax2
y ? ax2 ? c
y ? a? x ? h ?
2 2

y ? a?x ? h? ? k

a>0,在对称轴 左侧,y都随x a>0, 的增大而减小, 开口 在对称轴右 向上; 侧,y都随 x的 增大而增大.; a<0, a<0,在对称轴 开口 左侧,y都随x 向下. 的增大而增大, 在对称轴右 侧,y都随 x的 增大而减小 .

(0,0)

(0, c)
(h,0)

直线x ? h

直线x ? h

( h, k )

北京时间2007年6月1日 0:08,中国在西昌卫星发 射中心用“长征三号甲” 运载火箭成功发射“鑫诺 三号”通信卫星,这是中 国“长征”系列运载火箭 的第100次飞行。中国“长 征”系列运载火箭已完成 100次航天发射,其发射记 录由两位数步入三位数, 中国也成为继美、俄、欧 之后世界上第四个主力品 牌火箭执行航天发射达到 百次的国家。

当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高 度 h (m) 与时间 t (s) 的关系可以 用公式 h = - 5 t 2 + 150 t +10 表示,经过多长时间,火箭到达它的最高 点?最高点的高度是多少?

今天我们继续学习: 二次函数 y=ax2+bx+c的图象(二)

试一试:分析函数 y=3x2- 6x+5 的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线 y=3x2 是可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.怎样直接 作出函数y=3x2-6x+5的图象? 能否转化为上一节课所学知识? 顶点式

解:
提取二次项系数 配方 整理 化简:去掉中括号

y ? 3x 2 ? 6 x ? 5 5? ? 2 ? 3? x ? 2 x ? ? 3? ? 5? ? 2 ? 3? x ? 2 x? 1 ? 1 ? ? 3? ? 2? ? 2 ? 3??x ? 1? ? ? 3? ? 2 ? 3?x ?1? ? 2.

试一试:分析函数 y=3x2- 6x+5 的图象
解:

根据顶点式

y=3(x-1)2+2

∵a=3>0, ∴开口向上;对称轴是直线x=1;顶点 坐标为(1,2).因此,将抛物线y=3x2 的图象向右平移1个单位,再向上平 移2个单位就能得到该函数的图象。

试一试:分析函数 y=3x2- 6x+5 的图象

你还能发现它的图象与各坐标轴 的交点是什么吗?

练一练,马到功成!
你能用配方法确定下列二次函数图象的对称轴和 顶点坐标吗?

?1?y ? 2x

2

?12x ?13 ?2?y ? ?5x ? 80x ? 319
2

1? ? ?3?y ? 2? x ? ??x ? 2? 2? ?

?4?y ? 3?2x ? 1??2 ? x?

如果每次都采取“配方”,岂不是很麻烦?有更 好的办法吗?

例:求二次函数y=ax2 +bx+c的对称轴 和顶点坐标.

想一想,马到功成!

一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们可以 利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.

例:求二次函数 y=ax2 +bx+c 的对称轴和 y ? ax2 ? bx ? c 解: 顶点坐标.
提取二次项系数 配方:加上再减去一次项 系数绝对

值一半的平方 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号

想一想,马到功成!

c? ? 2 b ? a? x ? x ? ? a c? ?
? 2 b ? b ?2 ? b ?2 c ? ? a? x ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? 2a ? ? 2a ? a ? ? ? 2 ?? b ? 4ac ? b 2 ? ? a ?? x ? ? ? ? 2 2a ? 4a ? ?? ? ?

b ? 4ac ? b2 ? y ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?
2

二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线

顶点坐标公式
b 对称轴是直线 x ? ? . 2a

b ? 4ac ? b2 ? y ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?
2

? b 4ac ? b 2 ? ?. 顶点是? ? , ? 2a 4a ? ? ?

练一练,马到功成!
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴 和顶点坐标:

?1?y ? 2x

2

?12x ? 13 ?2?y ? ?5x ? 80x ? 319
2

1? ? ?3?y ? 2? x ? ??x ? 2? 2? ?

?4?y ? 3?2x ? 1??2 ? x?

函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的 直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 y=0.0225x2 +0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关 于y轴对称.
Y/m
10
桥面 -5 0 5

x/m

函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少? ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少? ⑶你是怎样计算的?与同伴交流.
Y/m

y ? 0.0225 2 ? 0.9 x ? 10 x

10
5

桥面

-5 0

x/m

⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少?
可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从 而获得钢缆的最低点到桥面的距离;
y ? 0.0225x 2 ? 0.9 x ? 10
4000? ? 2 ? 0.0225 x ? 40x ? ? ? 9 ? ? 4000? ? 2 2 2 ? 0.0225 x ? 40x ? 20 ? 20 ? ? ? 9 ? ? 400? ? 2 ? 0.0225??x ? 20? ? 9 ? ? ? 2 桥面 ? ? 0.0225 x ? 20? ? 1.
Y/m 10
-5 0 5

?这条抛物线的顶点坐标 ?? 20,1?. 是 由此可知桥面最低点到 桥面的距离是 . 1m

x/m

⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少?
两条钢缆最低点之间的 距离为? 20 ? 20 ? 40?m?.

你还有别的解法吗 ?
10
桥面 -5 0

Y/m

5

x/m

课内拓展延伸
想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
y ? 0.0225x 2 ? 0.9 x ? 10

y ? 0.0225x 2 ? 0.9 x ? 10.
Y/m
10

桥面

-5 0

5

x/m

1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶 点坐标.

?1?y ? 5?x ?1? ?2?y ? 2x
2

2

? 4x ?1 ?3?y ? 3x ? 6x ? 2
2

?4?y ? ?x ?1??x ? 2?

?5?y ? ?3?x ? 3??x ? 9?

2.当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m) 与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2 +150t+10 表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点?最 高点的高度是多少?

谈一谈:你的收获
二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线

顶点坐标公式
b 对称轴是直线 : x ? ? 2a

b ? 4a

c ? b2 ? y ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?
2

? b 4ac ? b 2 ? ? 顶点是? ? , ? 2a 4a ? ? ?

想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的 图象之间的关系是什么?

函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax2 的关系
1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而 减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在 对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大 而减小 . 2.不同点: (1)位置不同 (2)顶点不同 (3)对称轴不同 (4)最值不同 3.联系: y=a(x-h)2 +k(a≠0) 的图象可以看成将y=ax2 的图象经过 特定的平移后得到.

?

P60

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