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直线和圆的位置关系切线长

发布时间:2013-12-04 14:31:57  

复习旧知
位置关系
1、点和圆的位置关系:点在圆外、点在圆上、 点在圆内; 2、直线和圆的位置关系:相交、相切、相离; 3、线和线的位置关系:平行、相交、垂直。

切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线.

O

切线的性质定理:

A

l

圆的切线垂直过切点的半 径.

——切线长定理

如图,已知⊙O外一点P,你能用尺规过点P 作⊙O的切线吗? A 1.连结OP
o

2.以OP为直径作⊙O′, 与⊙O交于A、B两点。 即直线PA、PB为⊙O的切线

·
B

· o′

P

切线长是 通过作图你能发现什么呢? 一条线段 1.过圆外一点作圆的切线可以作两条 2.点A和点B关于直线OP对称 经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线 段的长,叫做这点到圆的切线长。

如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点。如果连结OA、 OB、OP,图中的PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系? ∵ PA、PB是⊙O的切线, A、B为切点 o ∴OA⊥PA,OB⊥PB 又∵OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA=PB,∠APO=∠BPO

A

·
B

P

切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,切线长相等, 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

A

∴PA=PB,∠APO=∠BPO

如图,若连接AB,则OP与AB有什么关系?
∵ PA、PB是⊙O的切线, A、B为切点 ∴PA=PB,∠APO=∠BPO ∴OP⊥AB,且OP平分AB

从圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一 点的连线垂直平分切点所成的弦;平分切 点所成的弧。

o

∵ PA、PB是⊙O的切线, A、B为切点

·
B

C D

P

⌒ ⌒ AD与BD 相等吗?

例1 已知,如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为 切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E,交 AB 于 C. (1)写出图中所有的垂直关系; (2)写出图中所有的全等三角形. (3)如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
(1) 解: OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB O C A D P (2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB E △ACP≌△BCP. (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)在 Rt△OAP 中,由勾股定理,得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm

B

所以,半径 OA 的长为 3 cm.

如图,P为⊙O 外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B两 点,OP交 ⊙O于C,若PA=6,PC=2 3 ,求⊙O的 半径OA及两切线PA、PB的夹角。 A 解:连接OA,则OA⊥AP
在Rt△AOP中,设OA=x

则OP= x+2 3 ∴OA2+PA2=OP2 即 x2+62=(x+2 3)2 解得x=2 3 ,即OA=OC=2 3
∴OP=4 3 在Rt△AOP中,OP=2OA ∴∠APO=30° ∵PA、PB是⊙O的切线

O

·
B

C

P ·

∴∠APB=2∠APO=60° ∴⊙O的半径为2 3 ,两 切线的夹角为60°

例2 如图,已知:在△ABC中,∠B=90°,O是 AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆交AB 于点E,切AC与点D。求证:DE∥OC 证明:连接BD. ∵∠ABC=

90°,OB为⊙O的半 径 ∴CB是⊙O的切线 ∵AC是⊙O的切线,D是切点 ∴CD=CB,∠1=∠2 ∴OC⊥BD ∵BE是⊙O的直径 ∴∠BDE=90°,即DE⊥B DDE∥OC ∴
A E C
1

D

2
B

· O

作业:
课本P102 第5题 第12题


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