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九年级数学下册_2.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象(第1课时)课件_北师大版(2)

发布时间:2013-12-04 14:32:02  

y=ax2+bx+c

店头中学

赵小亚

前置训练
与抛物线 y ? ?2 x ? 2 开 口方向相同,只是位置不同 的是( ) 2 2 A. y ? 2x B.y ? 2 x ? 11 2 2 C. y ? 2 x ? 1 D. y ? ?2 x ? 1
2

知识点1 二次函数函数 2 y ? a( x ? h) ? k 的图像的平移
想一想

y=ax2+bx +c的图象

?二次函数 y=3(x-1)2+2 的图象是什么形状?它与我们已 经作过的二次函数的图象有什么关系?

?在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象。

比较二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象。
?⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间 有什么关系?
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

3x2

27

12 27

3 12

0 3

3 0

12 3

27 12

48 27

3(x-1)2 48

?(2)在同一坐标系中作出二次函数 y=3x2和 y=3(x-1)2的图象.

做一做
y=3x2 (3)函数y=3(x-1)2 的 图 象 与 y=3x2 的 图 象 有什么关系?它是轴 对称图形吗?它的对 称轴和顶点坐标分别 是什么?

y=3(x-1)2

(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大 而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的 增大而减少?

(3)函数y=3(x-1)2 的图象 与y=3x2 的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?

y=3x2

二次函数y=3(x-1)2 图象是轴对称图形, 与y=3x2的图象形状 对称轴是平行于 相同,可以看作是抛 y轴的直线:x=1. 物线y=3x2整体沿x轴 顶点坐标 向右平移了1 个单位. 是点(1,0).

二次项系数 相同a>0, 开口都向上.

(4)x取哪些值时,函数 y=3(x-1)2的值随x值的增 大而增大?x取哪些值时, 函数y=3(x-1)2的值随x的 增大而减少?

y ? 3x

2

y ? 3?x ? 1?

2

二次函数y=3(x-1)2 有最小值.当x=1时, 在对称轴(直线x=1)右侧 与y=3x2的增减性类似. 最小值是0。 (即x>1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而增大,. ?想一想,在同一坐标系中作出二次函数

在对称轴(直线x=1)左侧 (即x<1时),函数y=3(x-1)2 顶点是最低点,函数 的值随x的增大而减少.

y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?

议一议
1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它 与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系?它是 轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 2. x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大? x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少?

?

知识点2

函数y=a(x-h)2(a≠0) 的图象和性质
?在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和 y=3(x+1)2的图象. ?完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值, 它们之间有什么关系? x x
y ? 3x 2
y ? 3?x ? 1? y ? 3?x ? 1?
2 2

-4

-3 27

-2 12 27

-1 3 12 0

0 0 3 3

1 3 0 12

2 12 3 27

3 27 12

4

27

27

12

3

?1. 函 数 y=3(x+1)2 的 图 象 y ? 3x 2 2 与y=3x2和y=3(x-1)2的图象 2 y ? 3?x ? 1? y ? 3?x ? 1? 有什么关系?它是轴对称图 形吗?它的

对称轴和顶点坐 标分别是什么? 二次函数y=3(x+1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 二次项系数相同 2整体沿x 图象是轴对称图形, 物线y=3x 对称轴是平行于 a>0,开口都向上. 轴向左平移了1 个 y轴的直线:x= -1. 顶点坐标 单位. 是点(-1,0). 2的图象的增减性会怎样? ?想一想,二次函数y=3(x+1)

2. x取哪些值时,函数 y=3(x+1)2的值随x值的增 大而增大?x取哪些值时, 函数y=3(x+1)2的值随x的 增大而减少?

y ? 3?x ? 1?

y ? 3x 2
2

y ? 3?x ? 1?

2

在对称轴(直线x=-1)左侧 在对称轴(直线x=-1) 顶点是最低点,函数 (即x<-1时),函数y=3(x+1)2 右侧(即x>-1时), 有最小值.当x=-1时, 的值随x的增大而减少. 最小值是0. 函数y=3(x+1)2的值 二次函数y=3(x+1)2 随x的增大而增大. 与y=3x2的增减性类似. ?猜一猜:函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2 和y=-3x2的图象的位置和形状. ?请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.

二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
y 2.抛物线y=-3(x-1)2 和y=-3(x+1)2在x轴的 下方(除顶点外),它的 2 2 y ? ?3?x ? 1? 开口向下,并且向下无 y ? ?3?x ? 1? 限伸展. 1.抛物线y=-3(x-1)2 3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴 的顶点是(1,0);对称 (直线x=1)的左侧(即当x<1时), y y ? ?3x 2 轴是直线x=1;抛物线 随着x的增大而增大;在对称轴 y=-3(x+1)2的顶点是 (直线x=1)右侧(即当x>1时), y随 x=-1 x=1 (-1,0);对称轴是直线 着x的增大而减小;当x=1时,函 x=-1. 数y的值最大(是0).抛物线y=4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是 3(x+1)2在对称轴(直线x=-1)的 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1 左侧(即当x<-1时), y随着x的增 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看 大而增大;在对称轴(直线x=-1) 作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移 右侧(即当x>-1时), y随着x的增 了1个单位. 大而减小;当x=-1时,函数y的值 最大(是0).

二次函数y=a(x-h)2的性质
1.顶点坐标与对称轴 2.位置与开口方向 3.增减性与最值
抛物线 顶点坐标 对称轴

y=a(x-h)2 (a>0)
(h,0) 直线x=h 在x轴的上方(除顶点外) 向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大.

y=a(x-h)2 (a<0)
(h,0) 直线x=h 在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大 而增大. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而减小.

位置
开口方向 增减性 最值 开口大小

当x=h时,最小值为0.
a 越大,开口越小.

当x=h时,最大值为0.
a 越小,开口越大.

?二次函数y=3(x-1)2+2的
图象和抛物线y=3x2 , y=3(x-1)2有什么关系?它 的开口方向、对称轴和 顶点坐标分别是什么?

y ? 3x 2

y ? 3?x ? 1? ? 2
2

y ? 3?x ? 1?

2

二次函数y=3(x-1)2+2 的图象可以看作是抛 x=1 物线y=3x2先沿着x轴向 开口向上,当 右平移1个单位,再沿直 对称轴仍是平行于y轴

的直 x=1时有最小 线x=1向上平移2个单 线x=1;增减性与y=3x2类似. 值,且最小值为2. 位后得到的. 顶点是(1,2).

二次函数y=a(x-h)2 +k与y=ax2 的关系
? 一般地,由y=ax2 的图象便可得到二次函数 y=a(x-h)2 +k的图象:y=a(x-h)2 +k(a≠0) 的图象 可以看成y=ax2 的图象先沿x轴整体左(右)平移 |h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平 移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当 k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的. ? 因此,二次函数y=a(x-h)2 +k的图象是一条抛物线, 它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有 关.

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴

2.位置与开口方向
3.增减性与最值

抛物线

y=a(x-h)2+k(a>0)
(h,k)
直线x=h
由h和k的符号确定

y=a(x-h)2+k(a<0)
(h,k) 直线x=h
由h和k的符号确定

顶点坐标
对称轴 位置 开口方向

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

增减性 最值

当x=h时,最小值为k.

当x=h时,最大值为k.

随堂练习

悟出真谛,练出本事
2

? 1.指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标:

? 2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的 图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和 顶点坐标分别是什么? ? (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2 的图象有什么关系? ? (3)对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随 x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增 大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?

1 ?1?y ? 2?x ? 3? ? ; 2

1 2 ?2?y ? ? ?x ? 1? ? 5. 3

小结

拓展

二次函数y=a(x-h)2 k与y=ax2 + 的关系
?1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同). ?(2)都是轴对称图形. ?(3)都有最(大或小)值. ?(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称 轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y 都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0). (2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴. (3)最值不同:分别是k和0. 3.联系: y=a(x-h)2 +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2 的图象先沿x轴整 体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再 沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向 下平移)得到的.

独立 作业

知识的升华

P48 习题2.4

1题.

祝你成功!


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