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二元一次方程与应用题(提高)

发布时间:2013-12-04 15:30:19  

实际问题与二元一次方程组

知识梳理:

一、常见的一些等量关系(一)

1.和差倍分问题:

增长量=原有量×增长率 较大量=较小量+多余量,总量=倍数×倍量.

2.产品配套问题:

解这类问题的基本等量关系是:加工总量成比例.

3.工程问题:工作量=工作效率×工作时间,各部分劳动量之和=总量.

利润4.利润问题:商品利润=商品售价-商品进价,利润率=?100% . 进价

二、实际问题与二元一次方程组

1.列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题,是把“未知”转换成“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的等量关系.一般来说,有几个未知量就必须列出几个方程,所列方程必须满足:

①方程两边表示的是同类量:

②同类量的单位要统一;

③方程两边的数要相等.

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤:

设:用两个字母表示问题中的两个未知数;

列:列出方程组(分析题意,找出两个等量关系,根据等量关系列出方程组);

解:解方程组,求出未知数的值;

验:检验求得的值是否正确和符合实际情形;

答:写出答案.

要点诠释:

(1)解实际应用问题必须写“答”,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去;

(2)“设”、“答”两步,都要写清单位名称;

(3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. [来源学科网]

【典型例题】

类型一、和差倍分问题

例1.在一次数学测验中,甲、乙两校各有100名同学参加测试.测试结果显示,甲校男生的优分率为60%,女生的优分率为40%,全校的优分率为49.6%;乙校男生的优分率为57%,女生的优分率为37%.

(男(女)生优分率=全校优分人数男(女)生优分人数?100%) ?100%,全校优分率=全校测试人数男(女)生测试人数(1)求甲校参加测试的男、女生人数各是多少?

(2)从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率,但最终的统计结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低,请举例说明原因.

举一反三:

【变式】为了拉动内需,全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始.某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台,政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台,其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%.

(1)在政策出台前一个月,销售的手动型和自动型汽车分别为多少台?

(2)若手动型汽车每台价格为8万元,自动型汽车每台价格为9万元.根据汽车补贴政策,政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴,问政策出台后的第一个月,政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元?

类型二、配套问题

例2. 某班学生到农村劳动,一名男生因病不能参加,另有三名男生体质较弱,教师安排他们与女生一起抬土,两人抬一筐土,其余男生全部挑土(一根扁担,两只筐),这样安排劳动时恰需筐68 个,扁担40 根,问这个班的男女生各有多少人?

举一反三:

【变式】某工厂有工人60人,生产某种由一个螺栓和两个螺母的配套产品,每人每天生产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套?

类型三、工程问题

例3.一项工程,甲队单独做要12天完成,乙队单独做要15天完成,丙队单独做要20天完成.按原定计划,这项工程要求在7天内完成.现在甲、乙两队先合做若干天,以后为加快速度,丙队也同时加入这项工作,这样比原定时间提前1天完成任务.问:甲、乙两队合做了多少天?丙队加入后又做了多少天?

类型四、利润问题

例4.甲乙两件服装的成本为500元,商店老板为获取利润,决定将甲种服装按50%的利润定价,乙种服装按40%的利润定价.实际出售时,两种服装均按九折出售,这样商店共获利157元.求甲乙两件服装的成本各是多少元?

举一反三:

【变式】儿童节期间,文具商店搞促销活动,同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠,能比标价省13.2元.已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元,那么书包和文具盒的标价各是多少元?

巩固练习:

一、选择题

1.某鞋店有甲、乙两款鞋各30双,甲鞋一双200元,乙鞋一双50元.该店促销的方式:买一双甲鞋,送一双乙

鞋;只买乙鞋没有任何优惠.若打烊后得知,此两款鞋共卖得1800元,还剩甲鞋x双、乙鞋y双,则依题意可列出下列哪一个方程式? ( ) .

A.200(30-x)+50(30-y) = 1800 B.200(30-x)十50(30-x-y)=1800

C.200(30-x)+50(60-x-y)=1800 D.200(30-x)十50[30-(30-x)-y]=1800

2. 某中心学校现有学生515人,计划一年后女生在校人数增加

增加11,男生在校人数增加,这样在校学生人数将35902,那么该校现有女生和男生人数分别是( ). 103

A.245和270 B.260和255 C.25.9和256 D.240和275

3.欣平超市推出如下优惠方案:(1)一次性购物不超过100元不享受优惠;(2)一次性购物超过100元但不超过300

元一律九折;(3)一次性购物超过300元一律八折.王波两次购物分别付款80元、252元,如果王波一次性购买与上两次相同的商品,则应付款( ).

A.288元 B.322 元 C.288元或316元 D.332元或363元

4.某班学生参加运土劳动,一部分学生抬土,另一部分学生挑土,已知全班共用箩筐59个,扁担36根,若设抬土的学生x人,挑土的学生y人,则有 ( ).

??y??x2x??59?2y?59?x????x?2y?59????2y?59?22??A.? B.? C.?2 D.? 2x?y?36x??x?y?36???y?362x?y?36????2?25.在早餐店里,王伯伯买5颗馒头,3颗包子,老板少拿2元,只要50元.李太太买了11颗馒头,5颗包子,老板以售价的九折优待,只要90元.若馒头每颗x元,包子每颗y元,则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系? ( )

A.

C. B. D.

二、填空题

1.一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成,如果1 m3木料可制作方桌的桌面50个,或制作桌腿300条,现有5 m3木料,设用x cm3木料制作桌面,用y m3木料制作桌腿,恰好配成方桌,则可得方程组为________.

2.如图所示,两根铁棒直立于桶底水平的木桶中,在桶中加入水后,一根露出水面的长度是它的

水面的长度是它的1,另一根露出31,两根铁棒长度之和为55cm,则木桶中水的深度是 cm. 5

3.如图所示个大小、形状完全相同的小长方形组合成一个周长为68

的大长方形,则大长方形的面积为________.

4. 如图①,在第一个天平上,砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量;如图②,在第二个天平上,砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量.请你判断:1个砝码A与________个砝码C的质量相等.

三、解答题

1.某中学新建了一栋4层的教学大楼,每层楼有8间教室,进出大楼共有4道门,其中2道正门大小相同,2道侧门大小也相同,安全检查中,对4道门进行了测试:当同时开启1道正门和2道侧门时,2分钟内可通过560名学生;当同时开启1道正门和1道侧门时,4分钟内可通过800名学生,求平均每分钟1道正门和1道侧门各可通过多少名学生?

2. [阅读]在平面直角坐标系中,以任意两点P(x1,y1)、Q(x2、y2)为端点的线段中点坐标为??x1?x2y1?y2?,?. 2??2

[运用](1)如图所示,长方形ONEF的对角线交于点M,ON、OF分别在x轴和y轴上,O为坐标原点,点E的坐标为(4,3),则点M的坐标为________;

(2)平面直角坐标系中,有A(-1,2)、B(3,1)、C(1,4)三点,另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点,求点D的坐标(平行四边形两条对角线互相平分).

三、常见的一些等量关系(二)

1、行程问题

速度×时间=路程.

顺水速度=静水速度+水流速度.

逆水速度=静水速度?水流速度.

2、存贷款问题

利息=本金×利率×期数.

本息和(本利和)=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×(1+利率×期数) .

年利率=月利率×12.

月利率=年利率1. 12

3、数字问题

已知各数位上的数字,写出两位数,三位数等这类问题一般设间接未知数,例如:若一个两位数的个

位数字为a,十位数字为b,则这个两位数可以表示为10b+a.

4、方案问题

在解决问题时,常常需合理安排.需要从几种方案中,选择最佳方案,如网络的使用、到不同旅行社

购票等,一般都要运用方程解答,得出最佳方案.

要点诠释:

方案选择题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案.

【典型例题】

类型一、行程问题

例1. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地,如果他以每小时50千米的速度行驶,就会迟到24分钟,如果他以每小时70千米的速度行驶,则可提前24分钟到达乙地,求甲乙两地间的距离.

举一反三:

【变式】已知一铁路桥长1000米,现有一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到车身过完桥共用1分钟,整列火车完全在桥上的时间为40秒,求火车的速度及火车的长度.

类型二、存贷款问题 例2. 张叔叔10万元买一辆货车跑运输,年利率为5.49%,计划两年还清贷款和利息.他用货车载货平均每月可赚运输费0.8万元,其中开支有两项:油费是运费收入的10%,修理费、养路费和交税是运费收入的20%,其余才是利润. 请你算一算,张叔叔跑2年的利润能否还清贷款和利息?

举一反三:

【变式】在银行存款准备金不变的情况下,银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系.当存款准备金率为7.5%时,某银行可贷款总量为400亿元,如果存款准备金率上调到8%时,该银行可贷款总量将减少多少亿( ).

A.20 B.25 C.30 D.35

类型三、数字问题

例3.小明和小亮做游戏,小明在一个加数的后面多写了一个0,得到的和为242;小亮在另一个加数后面多写了一个0,得到的和为341.原来的两个数分别为多少?

举一反三:

【变式】一个两位数的十位上的数字与个位上的数字之和是这个两位数的

1,用方程表示这一个数量关系是 . 2类型四、方案选择问题

例4.一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人,技术员工人数是辅助员工人数的2倍.服务队计划对员工发放奖金共计20000元,按“技术员工个人奖金”A(元)和“辅助员工个人奖金”B(元)两种标准发放,其中A≥B≥800,并且A,B都是100的整数倍.(注:农机服务队是一种农业机械化服务组织,为农民提供耕种、收割等有偿服务.)

(1)求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数;

(2)求本次奖金发放的具体方案.

举一反三:

【变式】联想集团某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑,其价格分别为A型电脑每台6000元,B型电脑每台4000元,C型电脑每台2500元,某市一中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑36台,请你设计出几种不同的购买方案供该校选择,并说明理由.

巩固练习:

一、选择题

1、甲、乙两地相距100千米,一艘轮船往返两地,顺流用4小时,逆流用5小时,?那么这艘轮船在静水中的航速与水速分别是( ).

A.24千米/时,8千米/时 B.22.5千米/时,2.5千米/时

C.18千米/时,24千米/时 D.12.5千米/时,1.5千米/时

2、一个两位数,它的个位数字与十位数字之和为6,那么符合条件的两位数的个数有( ).

A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个

3、两人练习跑步,如果乙先跑16米,甲8秒可追上乙,如果乙先跑2秒钟,则甲4秒可追上乙,求甲乙二人每秒

各跑多少米?若设甲每秒跑x米,乙每秒跑y米,则所列方程组应该是(

).

A.??16?8(x?y)?8x?8y?16?8x?16?5y?8x?8y?16 B.? C.? D.? (2?4)y?4x4x?4y?24x?2?4y4x?4y?4????

4、同学们喜欢足球吗?足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成,如图所示,黑色皮块是正五

边形,白色皮块是正六边形.若一个球上共有黑白皮块32块,请你计算一下,黑色皮块和白色皮

块的块数依次为( ).

A.16块、16块 B.8块、24块 C.20块、12块 D.12块、20块

二、填空题

1、某宾馆有单人间和双人间两种房间,入住3个单人间和6个双人间共需1020元,入住1个单人间和5个双人间

共需700元,则入住单人间和双人间各5个共需 元.

2、 甲、乙两同学同时从山脚开始爬山,到达山顶后立即下山,在山脚和山顶之间不断往返运动,已知山坡长为360m,

甲、乙上山的速度比是6:4,并且甲、乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍,当甲第三次到达山顶时,则此时乙所在的位置是距离山脚下 m.

3、甲乙两人的年收入之比是4:3,支出之比是8:5,一年内两个人各储蓄2500元,则两人的年收入分别

为 .

4、在矩形ABCD中,放入六个形状、大小相同的长方形,所标尺寸如图所示,则图中

阴影部分的面积是 cm2.

5、一个两位数的两个数位上的数字之和为7,若将这两个数字都加上2,则得到的数是

原数的2倍少3,则这个两位数是 .

三、解答题

1、某城市规定:出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米,超过3千米的部分按每千米另收费,甲说:“我乘这种出租车走了11千米,付了17元”;乙说:“我乘这种出租车走了23千米,付了35元”.请你算一算这种出租车的起步价是多少元?以及超过3千米后,每千米的车费是多少元?

2、某公司计划2012年在甲、乙两个电视台播放总时长为300分钟的广告,已知甲、乙两电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.该公司的广告总费用为9万元,预计甲、乙两个电视台播放该公司的广告能给该公司分别带来0.3万元/分钟和0.2万元/分钟的收益,问该公司在甲、乙两个电视台播放广告的时长应分别为多少分钟?预计甲、乙两电视台2012年为此公司所播放的广告将给该公司带来多少万元的总收益?

3、某电脑公司现有A,B,C三种型号的甲品牌电脑和D,E两种型号的乙品牌电脑.希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑.现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示),恰好用了10万元人民币,其中,甲品牌电脑为A型号电脑,求购买的A型号电脑有几台?

4、某商场用36000元购进甲、乙两种商品,销售完后共获利6000元.其中甲种商品每件进价120元,售价138元;乙种商品每件进价100元,售价120元.

(1)该商场购进甲、乙两种商品各多少件?

(2)商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品,购进乙种商品的件数不变,而购进甲种商品的件数是第一次的2倍,甲种商品按原售价出售,而乙种商品打折销售.若两种商品销售完毕,要使第二次经营活动获利不少于8160元,乙种商品最低售价为每件多少元?

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