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冲刺2014年中考数学压轴题汇编

发布时间:2013-12-05 13:00:45  

1、(2013?攀枝花)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0), B(1.0),C(0,﹣3). (1)求抛物线的解析式; (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC的面积为S,求S 的最大值并求出此时点P的坐标; (3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y 轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形?若 存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说 明理由.

2、(2013达州压轴题)如图,在直角坐标系中,直线AB交x轴于 点A(5,0),交y轴于点B,AO是⊙M的直径,其半圆交AB于点C, 且AC=3。取BO的中点D,连接CD、MD和OC。 (1)求证:CD是⊙M的切线; y (2)二次函数的图象经过点D、M、A, 其对称轴上有一动点P,连接PD、PM, B 求△PDM的周长最小时点P的坐标; (3)在(2)的条件下,当△PDM的周长 最小时,抛物线上是否存在点Q,使 D 1 S ?QAM ? S ?PDM C ?若存在,求出点Q的坐 6 标;若不存在,请说明理由。
O
M

A

x

3、(2013?天津压轴题)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴 是直线l,顶点为点M.若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表 所示: (Ⅰ)求y1与x之间的函数关系式; (Ⅱ)若经过点T(0,t)作垂直于y轴的直线l′,A为直线l′上的 动点,线段AM的垂直平分线交直线l于点B,点B关于直线AM的对称点 为P,记P(x,y2). (1)求y2与x之间的函数关系式; (2)当x取任意实数时,若对于 同一个x,有y1<y2恒成立,求t 的取值范围.
x … ﹣1 0 3 0 … … y1=ax2+bx+c … 0

4、(2013年江西省压轴题)已知抛物线yn=-(x-an)2+an(n为正整数, 且0<a1<a2<…<an)与x轴的交点为An-1(bn-1,0)和An(bn,0),当n=1 时,第1条抛物线y1=-(x-a1)2+a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1, 0),其他依此类推. (1)求a1,b1的值及抛物线y2的解析式; (2)抛物线y3的顶点坐标为( , ); 依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为( , ); 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是 ; (3)探究下列结论: ①若用An-1An表示第n条抛物线被x轴截得得线段长,直接写出 A0A1的值,并求出An-1An; ②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交,且被每一 条抛物线截得得线段的长度都相等?若存在,直接写出直线的表达 式;若不存在,请说明理由.

(2013年江西省压轴题)已知抛物线yn=-(x-an)2+an(n为正整数,且 0<a1<a2<…<an)与x轴的交点为An-1(bn-1,0)和An(bn,0),当n=1时,第1条抛 物线y1=-(x-a1)2+a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0),其他依此类推. (1)求a1,b1的值及抛物线y2的解析式; 解:(1)∵y1=―(x―a1)2+a1与x轴交于点A0(0,0) ∴―a12+ a1=0,∴a1=0或1.由已知可知a1>0,∴a1=1. 即

y1=―(x―1)2+1 方法一:令y1=0代入得:―(x―1)2+1=0,∴x1=0,x2=2 ∴y1与x轴交于A0(0,0),A1(2,0)∴b1=2, 方法二:∵y1=―(x―a1)2+a1与x轴交于点A0(0,0), ∴―(b1―1)2+1=0,b1=2或0,b1=0(舍去).∴b1=2. 又∵抛物线y2=―(x―a2)2+a2与x轴交于点A1(2,0), ∴―(2―a2)2+ a2=0,∴a2=1或4,∵a2> a1, ∴a2=1(舍去). ∴取a2=4,抛物线y2=―(x―4)2+4.

5、(2013?泸州压轴题)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为( ﹣2,0),点B的坐标为(1,﹣ ),已知抛物线y=ax2+bx+c( a≠0)经过三点A、B、O(O为原点). (1)求抛物线的解析式; (2)在该抛物线的对称轴上,是否存 在点C,使△BOC的周长最小?若存在, 求出点C的坐标;若不存在,请说明理 由; (3)如果点P是该抛物线上x轴上方的 一个动点,那么△PAB是否有最大面积 ?若有,求出此时P点的坐标及△PAB 的最大面积;若没有,请说明理由. (注意:本题中的结果均保留根号)

6、(2013?苏州压轴题)如图,已知抛物线y= x2+bx+c(b,c是 常数,且c<0)与x轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y 轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(﹣1,0).
1 (1)b= ? c ,点B的横坐标为 ? 2c (上述结果均用含c的代数式表示) 2

(2)连接BC,过点A作直线AE∥BC, 与抛物线y= x2+bx+c交于点E,点D 是x轴上的一点,其坐标为(2,0) .当C,D,E三点在同一直线上时, 求抛物线的解析式; (3)在(2)条件下,点P是x轴下方 的抛物线上的一个动点,连接PB,PC, 设所得△PBC的面积为S. ①求S的取值范围; ②若△PBC的面积S为整数,则这样的 △PBC共有 个.

7、(2013?黄冈压轴题)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 是梯形,其中A(6,0),B(3, ),C(1, ),动点P从点O 以每秒2个单位的速度向点A运动,动点Q也同时从点B沿B→C→O的线 路以每秒1个单位的速度向点O运动,当点P到达A点时,点Q也随之停 止,设点P,Q运动的时间为t(秒). (1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式; (2)当点Q在CO边上运动时,求△OPQ的面积S与时间t的函数关系; (3)以O,P,Q顶点的三角形能构成直角三 角形吗?若能,请求出t的值;若不能,请说 明理由; (4)经过A,B,C三点的抛物线的对称轴、 直线OB和PQ能够交于一点吗?若能,请求出 此时t的值(或范围),若不能,请说明理由.

y 8、(2013年武汉压轴题)如图,点P是直线l :? ?2 x ? 2 点P的另一条直线 m 交抛物线 y ? x 2于A、B两点.

上的点,过

(1)若直线 m 的解析式为 ,求A、B两点的坐标;

1 3 y?? x? 2 2
l l P P

y y

(2)①若点P的坐标为(-2,t ),

当PA=AB时,请直接写出点A的坐标; ②试证明:对于直线 l 上任意 给定的一点P,在抛物线上都能找到 点A,使得PA=AB成立. (3)设直线 l 交 y 轴于点C,若 △AOB的外心在边AB上,且∠BPC= ∠OCP,求点P的坐标.

m m

A A B
x x

B O O
第25(3)题图 第25(2)题图 第25(1)题图

C

9、(2013?内江压轴题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图 象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于 点C,x1,x2是方程x2+4x﹣5=0的两根. (1)若抛物线的顶点为D,求S△ABC: S△ACD的值; (2)若∠ADC=90°,求二次函数的解 析式.

10、(2013聊城压轴题)已知△ABC中,边BC的长与BC边上的高的和 为20. (1)写出△ABC的面积y (2)当BC多长时,△ABC 的面积最大?最大面积是 与BC的长x之间的函数关 多少? 系式,并求出面积为48时 BC的长; (3)当△ABC面积最大时 ,是否存在其周长最小的 情形?如果存在,请说出 理由,并求出其最小周长 ;如果不存在,请给予说 明.

11、(2013?宜昌压轴题)如图1,平面之间坐标系中,等腰直角三 角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动,点C的坐标为(t,0),直角 边AC=4,经过O,C两点做抛物线y1=ax(x﹣t)(a为常数,a>0) ,该抛物线与斜边AB交于点E,直线OA:y2=kx(k为常数,k>0) (1)填空:用含t的代数式表示点A 的坐标及k的值:A ,k= ; (2)随着三角板的滑动,当a=时: ①请你验证:抛物线y1=ax(x﹣t)的 的图象上; 顶点在函数y= ②当三角板滑至点E为AB的中点时, 求t的值; (3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当t≤x≤t+4, |y2﹣y1|的值随x的增大而减小,当x≥t+4时,|y2﹣y1|的值随 x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围.

12、(2013?荆门压轴题)已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图 象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2) 且(x1<x2)。 (1)当k=1,m=0,1时,求AB的长; (2)当k=1,m为任何值时,猜想AB 的长是否不变?并证明你的猜想. (3)当m=0,无论k为何值时,猜想 △AOB的形状.证明你的猜想. 平面内两点间的距离公式:


13、(2013?黔东南州压轴题)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的顶 点坐标是(1,4),它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2. (1)求抛物线的解析式; (2)在给出的坐标系中画出抛物线 y1=ax2+bx+c(a≠0)及直线y2=x+1 的图象,并根据图象,直接写出使得 y1≥y2的x的取值范围; (3)设抛物线与x轴的右边交点为A, 过点A作x轴的垂线,交直线y2=x+1于 点B,点P在抛物线上,当S△PAB≤6时, 求点P的横坐标x的取值范围.

14、(13年北京压轴题)在平面直角坐

标系xoy中,抛物线 ( )与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B. (1)求点A,B的坐标; (2)设直线 l 与直线AB关于该抛物线 的对称轴对称,求直线的解析式; (3)若该抛物线在 这一段位于 直线 l 的上方,并且在 这一段 位于直线AB的下方,求该抛物线的解 析式。


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