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一元二次方程的解法

发布时间:2013-09-20 13:45:26  

初中数学九年级上册 (苏科版)

一元二次方程的解法 直接开平方法 (第1课时)
泗阳县实验初级中学

1.什么叫做平方根? 如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫 做a的平方根。 用式子表示:
若x2=a,则x叫做a的平方根。记作x= ?
a

知识回顾

或x= ? a 2 4 ? ±3 如:9的平方根是______ 的平方根是______ 5 25 2.平方根有哪些性质? (1)一个正数有两个平方根,这两个平方根是互 为相反数的; (2)零的平方根是零; (3)负数没有平方根。

即x= a

尝试
如何解方程(1)x2=4,(2)x2-2=0呢?
解(1)∵x是4的平方根

∴x=±2
即此一元二次方程的解(或根)为: x1=2,x2 =-2

(2)移向,得x2=2 ∵ x就是2的平方根 ∴x= ? 2
即此一元二次方程的根为: x1=

2

,x2=

?

2

概括总结
什么叫直接开平方法? 像解x2=4,x2-2=0这样,这种解一元二次 方程的方法叫做直接开平方法。 说明:运用“直接开平方法”解一元二次方程 的过程,就是把方程化为形如x2=a(a≥0)或 (x+h)2=k(k≥0)的形式,然后再根据平方 根的意义求解

试一试:
已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方 程可以用直接开平方法求解,且有两个实数根, 则m、n必须满足的条件是( B ) A.n=0 C.n是m的整数倍 B.m、n异号 D.m、n同号

例1解下列方程 (1)x2-1.21=0

典型例题
(2)4x2-1=0

解(1)移向,得x2=1.21 ∵x是1.21的平方根 ∴x=±1.1 即 x1=1.1,x2=-1.1 (2)移向,得4x2=1 1 2= 两边都除以4,得x 1 4 ∵x是 4 的平方根 ∴x= ? 2 即x1=
1 2
1

,x2=

?

1 2

例2解下列方程: ⑴ (x+1)2= 2 ⑵ (x-1)2-4 = 0 ⑶ 12(3-2x)2-3 = 0

典型例题

分析:第1小题中只要将(x+1)看成是一个 整体,就可以运用直接开平方法求解; 解:(1)∵x+1是2的平方根

∴x+1= ? 即x1=-1+ 2

2

,x2=-1- 2

例2解下列方程: ⑵ (x-1)2-4 = 0 ⑶ 12(3-2x)2-3 = 0 分析:第2小题先将-4移到方程的右边,再同 第1小题一样地解; 解:(2)移项,得(x-1)2=4 ∵x-1是4的平方根 ∴x-1=±2

典型例题

即x1=3,x2=-1

典型例题 例2解下列方程:

⑶ 12(3-2x)2-3 = 0 分析:第3小题先将-3移到方程的右边,再 两边都除以12,再同第1小题一样地去解,然后 两边都除以-2即可。 解:(3)移项,得12(3-2x)2=3 两边都除以12,得(3-2x)2=0.25 ∵3-2x是0.25的平方根 ∴3-2x=±0.5 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5

∴x1=

5 4

,= x2

7 4

典型例题
例3.解方程(2x-1)2=(x-2)2 分析:如果把2x-1看成是(x-2)2的平方 根,同样可以用直接开平方法求解 解:2x-1= ?
( x ? 2)
2

即 2x-1=±(x-2) ∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2

即x1=-1,x2=1

讨论
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么点? 如果一个一元二次方程具有(x

+h)2= k(k≥0) 的形式,那么就可以用直接开平方法求解。 2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么?

首先将一元二次方程化为左边是含有未 知数的一个完全平方式,右边是非负数的形式, 然后用平方根的概念求解

3.任意一个一元二次方程都能用直接开平 方法求解吗?请举例说明

1、下列解方程的过程中,正确的是(D ) (A)x2=-2,解方程,得x=± 2 (B)(x-2)2=4,解方程,得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程,得4(x-1)= ±3, x1=
7

练一练

;x2=
4

1 4

(D)(2x+3)2=25,解方程,得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4

练一练 2、解下列方程: (1)x2=16 2-0.81=0 (2)x (3)9x2=4 2-144=0 (4)y

练一练 3、解下列方程: 2 =4 (1)(x-1) (2)(x+2)2 =3 2-25=0 (3)(x-4) 2-5=0 (4)(2x+3) (5)(2x-1)2 =(3-x)2

练一练 4一个球的表面积是100cm2, 求这个球的半径。 (球的表面积s=4R2,其中R是 球半径)

归纳总结 1、用直接开平方法解一元二 次方程的一般步骤; 2、任意一个一元二次方程都 可以用直接开平方法解吗?


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