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函数的图像

发布时间:2013-09-17 20:05:16  

第五节

函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

[知识能否忆起]

高 分 障 碍 要 破 除

一、利用描点法作函数图象
高 频 考 点 要 通 关

其基本步骤是列表、描点、连线,首先:①确定函数 解 题 的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶

性、单调性、周期性);其次:列表(尤其注意特殊点、零
点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点);最后:描 点,连线.
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训 练 要 高 效

第五节

函数的图象 二、利用基本函数的图象作图

基 础 知 识 要 打 牢

1.平移变换
(1)水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x) 的图象向左 (+)或向右 (-)平移 a个 单位而得到. (2)竖直平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x) 的图象向上 (+)或向 下 (-)平移 b个 单位而得到.

高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

高 频 考 点 要 通 关

2.对称变换
(1)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于 y轴 对称. (2)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴 对称.

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第五节

函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

下方的部分以 x轴 为对称轴翻折到x轴上方,其余部分 不变.

高 分 障 (3)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于 原点对称. 碍 (4)要得到y=|f(x)|的图象,可将y=f(x)的图象在x轴 要 破 除

高 频 考 点 要 通 关

解 题 (5)要得到y=f(|x|)的图象,可将y=f(x),x≥0的部分 训 练 作出,再利用偶函数的图象关于 y轴 的对称性,作出x 要 高 效 <0时的图象.

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函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

3.伸缩变换

(1)y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有
A 点的纵坐标变为原来的 横坐标 倍, 不变而得到.

高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

高 频 考 点 要 通 关

(2)y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点 1 a 倍, 纵坐标 不变而得到. 的横坐标变为原来的

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第五节

函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

[小题能否全取]

1 1.函数 f(x)=x-x 的图象关于________对称.
?1 ? 1 解析:∵f(-x)=-x+x=-?x-x?=-f(x), ? ?

高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

高 频 考 点 要 通 关

∴f(x)是奇函数,即 f(x)的图象关于原点对称.

答案:坐标原点

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函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

2.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是________.

解析:作出y=log2(-x),y=x+1的
图象,知满足条件的x∈(-1,0). 答案:(-1,0)

高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

高 频 考 点 要 通 关

3.为了得到函数y=2x-3的图象,只需把函数y=2x的

图象上所有的点向______平移______个单位长度.
答案:右 3


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第五节

函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

4.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值 范围是________.
解析:由题意 a=|x|+x, 令
?2x,x≥0, ? y=|x|+x=? ?0,x<0, ?

高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

高 频 考 点 要 通 关

图象如图所示,

故要使 a=|x|+x 只有一解则 a>0.

答案:(0,+∞)

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函数的图象

5.(2013· 南京二模)定义:若函数f(x)的图象经过变换T后
基 础 知 识 要 打 牢

所得图象对应的函数与f(x)的值域相同,则称变换T是 f(x)的同值变换.下面给出了四个函数与对应的变换:

(1)f(x)=(x-1)2,T:将函数f(x)的图象关于y轴对称;
(2)f(x)=2x-1-1,T:将函数f(x)的图象关于x轴对称;

高 分 障 碍 要 破 除

高 频 考 点 要 通 关

x 解 (3)f(x)= ,T:将函数 f(x)的图象关于点(-1,1)对称; 题 x+1 训
? π? (4)f(x)=sin?x+3 ?,T:将函数 ? ?

f(x)的图象关于点(-1,0)

对称.
其中 T 是 f(x)的同值变换的有________(填序号).
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练 要 高 效

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函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

解析:对于(1):f(x)的值域为[0,+∞),经过变换 T 后 f(x) =(x+1)2,值域也是[0,+∞);对于(2):f(x)的值域为(- 1,+∞),经过变换 T 后 f(x)=1-2x-1,值域为(-∞,1);

高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

1 对于(3):f(x)=1- ,其图象关于点(-1,1)对称,因此 x+1 高
频 考 点 要 通 关

经过变换 T 后值域不变;对于(4):f(x)的值域为[-1,1], 经过变换 T 后
答案:(1)(3)(4)
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? π? f(x)=sin?x+2-3 ?,值域也是[-1,1]. ? ?

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函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

高 1.作图一般有两种方法:直接作图法、图象变换法. 分 障 其中图象变换法,包括平移变换、伸缩变换和对称变 碍 要 破 换,要记住它们的变换规律. 除

[注意] 对于左、右平移变换,可熟记口诀:左加右
高 频 考 点 要 通 关

减.但要注意加、减指的是自变量,否则不成立. 2.一个函数的图象关于原点(y轴)对称与两个函数的 图象关于原点(y轴)对称不同,前者是自身对称,且为奇( 偶)函数,后者是两个不同的函数对称.

解 题 训 练 要 高 效

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函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

高 分 障 碍 要 破 除

高 频 考 点 要 通 关

[例1] 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg x|; (2)y=2x+2; (3)y=x2-2|x|-1.

解 题 训 练 要 高 效

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函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

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数的图象
[自主解答] 法一:由 y=f(x)的图象知
高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

基 础 知 识 要 打 牢

?x,0≤x≤1, ? f(x)=? ?1,1<x≤2. ?

当 x ∈ [0,2] 时 , 2 - x ∈ [0,2] , 所 以 f(2 - x) =
?1,0≤x≤1, ? ? ?2-x,1<x≤2, ? ?-1,0≤x≤1, ? y=-f(2-x)=? ?x-2,1<x≤2. ?

故 高 频 考 点 法二:当 x=0 时,-f(2-x)=-f(2)=-1;当 x=1 要 通 关 时,-f(2-x)=-f(1)=-1.可知应填②.

[答案] ②
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函数的图象

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“看图说话”常用的方法
(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而 得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决

高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

高 频 考 点 要 通 关

问题; (2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题;

(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函
数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.

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函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

2.(1)如图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB, 其中点 O,A,B 的坐标分别为(0,0), (1,2),(3,1),则
? 1 ? ? f? ?f?3??的值等于_______. ? ?

高 分 障 碍 要 破 除

高 频 考 点 要 通 关

解 题 (2)已知函数对任意的x∈R有f(x)+f(-x)=0,且当x>0时, 训 练 要 f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的图象大致为下列中的 高 效

.

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函数的图象

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高 频 考 点 要 通 关

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函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

解析:(1)∵由图象知 f(3)=1,
? 1 ? 1 ? ∴ =1.∴f? ?f?3??=f(1)=2. f?3? ? ?

高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

(2)∵对?x∈R 有 f(x)+f(-x)=0,∴f(x)是奇函数,f(0)
高 频 考 点 要 通 关

=0, y=f(x)的图象关于原点对称, x<0 时, 当 f(x)=-f(- x)=-ln(-x+1)=-ln(1-x),由图象知符合上述条件的 图象为④.

答案:(1)2

(2) ④
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函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

[例3] 已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时
高 频 考 点 要 通 关

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f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象 的交点共有 个.

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函数的图象

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[自主解答]
式可作图如下:

根据f(x)的性质及f(x)在[-1,1]上的解析

高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

可验证当x=10时,y=|lg 10|=1;0<x<10时,|lg
高 频 x|<1; 考 点 x>10时|lg x|>1. 要 通 结合图象知y=f(x)与y=|lg x|

的图象交点共有10个. 关

[答案] 10
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函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

若本例中f(x)变为f(x)=|x|,其他条件不变, 试确定交点个数. 解:根据f(x)的性质及f(x)在[-1,1]上的解析式 可作图如下:

高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

高 频 考 点 要 通 关

由图象知共10个交点.

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函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其 性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借 助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关 系.

高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

高 频 考 点 要 通 关

2.利用函数的图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研 究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的

交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图
象的交点的横坐标.
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第五节

函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

3.已知函数f(x)=2-x2,g(x)=x.若f(x)*g(x)=min{f(x), 高
g(x)},那么f(x)*g(x)的最大值是________.(注意: min表示最小值)
解析:画出示意图(实线部分),

分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

高 频 考 点 要 通 关

?2-x2,x≤-2, ? f(x)*g(x)=?x,-2<x<1, ?2-x2,x≥1, ? 其最大值为 1.

答案:1
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第五节

函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

高 分 障 碍 要 破 除

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[典例]

|x2-1| 已知函数 y= 的图象与函数 y=kx- x-1

2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是 ________.

解 题 训 练 要 高 效

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第五节

函数的图象
[解析] |x2-1| 因为函数 y= = x-1 所以函数 y=kx-2 的图象恒过

基 础 知 识 要 打 牢

?x+1,x≤-1或x>1, ? ? ?-x-1,-1<x<1, ?

点(0, -2), 根据图象易知, 两个函数图象有两个交点时, 0<k<1 或 1<k<4.

高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

高 频 考 点 要 通 关

[答案]

(0,1)∪(1,4)
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第五节

函数的图象

针对训练
基 础 知 识 要 打 牢

1.设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R, 不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是 ________.
解析:如图作出函数f(x)=|x+a|

高 分 障 碍 要 破 除

高 频 考 点 要 通 关

解 题 与g(x)=x-1的图象,观察图象可 训 练 知:当且仅当-a≤1,即a≥-1时, 要 不等式f(x)≥g(x)恒成立,因此a的取值范围是[-1,+∞). 高 效

答案:[-1,+∞)
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第五节

函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

?|2

x-1|,x<2, ? 2. 已知函数 f(x)=? 3 ?x-1,x≥2, ?

若方程 f(x)-a=0 有

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高 频 考 点 要 通 关

三个不同的实数根,则实数 a 的取值范围为是

.

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第五节

函数的图象
解析: 因为方程 f(x)-a=0 的根, 即是直线 x=a 与函数 高 ?|2x-1|,x<2, ? f(x)=? 3 ?x-1,x≥2 ?

基 础 知 识 要 打 牢

分 障 碍 的图象交点的横坐标, 画出函数 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

图象进行观察可以得知,a 的取值范围是(0,1).
高 频 考 点 要 通 关

答案:(0,1)
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第五节

函数的图象

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备选题 1.设D={(x,y)|(x-y)(x+y)≤0},记“平面区域D夹在直

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高 频 考 点 要 通 关

线y=-1与y=t(t∈[-1,1])之间的部分的面积”为S,则 函数S=f(t)的图象的大致形状为 .

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第五节

函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

解析: 如图平面区域 D 为阴影部分, 当 t=-1 时,S=0,排除④;当 t 1 1 =- 时,S> Smax,排除①②. 2 4

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答案:③

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第五节

函数的图象

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2.(2012· 深圳模拟)已知定义在区间 [0,1]上的函数y=f(x)的图象如图

所示,对于满足0<x1<x2<1的任
意x1、x2,给出下列结论: ①f(x2)-f(x1)>x2-x1; ②x2f(x1)>x1f(x2);
f?x1?+f?x2? ?x1+x2? ? ③ <f? ? 2 ?. 2 ? ?

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高 频 考 点 要 通 关

其中正确结论的序号是________.(把所有正确结论的 序号都填上)
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第五节

函数的图象

基 础 知 识 要 打 牢

高 分 障 f?x2?-f?x1? 解析:①错误,①即为 >1,在(0,1)上不恒成 碍 要 x2-x1 破 除 f?x ? f?x ?

立;由题图知,0<x1<x2<1 时,
高 频 考 点 要 通 关

1

x1

>

2

x2

,②正确;图

象是上凸的,③正确.

答案:②③

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第三节

函数的单调性与最值

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[例 2]

设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对
?f?x?,f?x?≤k, ? fk(x)=? ?k,f?x?>k, ?

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高 频 考 点 要 通 关

于给定的正数 k,定义函数 数 f(x)= 2 为
- |x|

取函

1 .当 k= 时,函 数 fk(x)的单调递增区 间 2

.

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第三节

函数的单调性与最值
1 1 由 f(x)> ,得-1<x<1,由 f(x)≤ ,得 x≤ 高 2 2 分
障 碍 要 破 除

基 础 知 识 要 打 牢

[自主解答] -1 或 x≥1.

所以 f 1
高 频 考 点 要 通 关

2

?2

x,x≥1, ? ?1 (x)=?2,-1<x<1, ? ?2x,x≤-1. ?


故 f 1 (x)的单调递增区间为(-∞,-1).
2

解 题 训 练 要 高 效

[答案]

(-∞,-1)

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第三节

函数的单调性与最值

基 础 知 识 要 打 牢

若本例中f(x)=2-|x|变为f(x)=log2|x|,其他条件不
变,则fk(x)的单调增区间为________.
1 解析:函数 f(x)=log2|x|,k= 2 时,函数 fk(x)的图象如图所示,由 图示可得函数 fk(x)的单调递增区间 为(0, 2 ].
答案:(0, 2 ]

高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

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第三节

函数的单调性与最值

基 础 知 识 要 打 牢

2.函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是________.
解析:由于
?x2-2x,x≥2, ? f(x)=|x-2|x=? ?-x2+2x,x<2. ?

高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效

高 频 考 点 要 通 关

结合图象可知函数的单调减区间是[1,2].

答案:[1,2]

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