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人教版九年级数学下册26.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

发布时间:2013-12-06 11:38:01  

y
8

7
6 6

5
4 4

y ? 3x

2

3 2 2 1
-5

-5

-4

-3

-2

-1

0 -1 -2-2
-4

1

2

3

4

5

5

x

-6

2+k的图像和性质 y=a(x-h)

复习二次函数y=ax2的性质
y=ax2 图象 a>0
O

a<0
O

开口 对称性
顶点 增减性

开口向上

开口向下

|a|越大,开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点(0,0) 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点

复习二次函数y=ax2+k的性质
y=ax2+k
图象

a>0

a<0

k>0
开口 对称性 顶点 增减性

k<0

k>0

k<0

开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小

关于y轴 (x=o)对称

(0,k)
顶点是最低点 顶点是最高点
在对称轴左侧,y随x的增大而减小 在对称轴左侧,y随x的增大而增大 在对称轴右侧,y随x的增大而增大 在对称轴右侧,y随x的增大而减小

复习二次函数y=a(x-h)2的性质
y=a(x-h)2

a>0

a<0

图象

h>0
开口

h<0

h>0

h<0

对称性
顶点 增减性

开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 直线x=h

(h,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点

抛物线 y=ax2

开口方向 对称轴

顶点

最值

增减情况

a>0,向上 X=0

(0,0)

当x=0时,y 有最小值0
当x=0时,y 有最大值0 当x=0时,y 有最小值c 当x=0时,y 有最大值c

x<0时, y随x的增大而减 小; x>0时,y随x的增大而 增大
x<0时, y随x的增大而增 大; x>0时, y随x的增大而 减小. x<0时, y随x的增大而减 小; x>0时,y随x的增大而 增大 x<0时, y随x的增大而增 大; x>0时, y随x的增大而 减小.

a<0,向下 X=0

(0,0)

y=ax2 + c

a>0,向上 X=0

(0,c)

a<0,向下 X=0

(0,c)

y=a(xh)2

a>0,向上 X=h

(h,0)

当x=h时,y 有最小值0
当x=h时,y 有最大值0

x<h时, y随x的增大而减 小; x>h时,y随x的增大而 增大
x<h时, y随x的增大而增 大; x>h时, y随x的增大而 减小.

a<0,向下 X=h

(h,0)

1 2 例3.画出函数 y ? ? ( x ? 1) ? 1 的图像.指出它的开口方向、 2 顶点与对称轴、

解:
x

先列表
… -4 -5.5 -3 -2 -1 0 1 2 …

1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 … 2

-3 -1.5

-1 -1.5

-3 -5.5 …

再描点

后连线.

解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 … 2

-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=-1
1 y

再描点、连线 (1)抛物线
1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 2

的开口方向、对称轴、顶点? 1 2 抛物线 y ? ? ( x ? 1) ? 1 2 的开口向下,

对称轴是直线x=-1,

顶点是(-1, -1).

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y ? ? 1 ( x ? 1) 2 ? 1
2

1 (2)抛物线 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 2 1 y ? ? x2 2

有什么关系?

1

y x

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 -2 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 平移方法1: 2 -3 -4 1 2向下平移 1 2 y?? x y ? ? x ?1 -5 2 1个单

位 2 -6 -7 向左平移 y ? ? 1 ( x ? 1) 2 ? 1 -8 2 1个单位 -9 -10

平移方法2:

x=-1

1 1 2 向左平移 1 2 向下平移 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 y?? x y ? ? ( x ? 1) 2 2 1个单位 2 1个单位

1探讨 二次函数y=2x2 y=2(x-1)2 y=2(x-1)2 , , +1 的图象的关系?

返回

y

y=2(x-1)2+1
y=2x2 5 4. 3. 2. 1.

y=2(x-1)2

-3.

-2

-1

0. -1

1.

2.

3.

x

y

y=2x2 +1
5 4. 3. 2. 1.

y=2x2

y=2(x-1)2+1

-3.

-2

-1

0. -1

1.

2.

3.

x

返回

联系:将函数 y=2x2 的图象向右平移1个 单位, 就得 到 函数y=2(x-1)2 的图象; 再向上平移1个单位, 就得到 函数y=2(x-1)2 +1的图象. 相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形. (3)顶点都是最低点. (4)在对称轴左侧,y值都随 x 值的增大而减小, 在对称轴右侧,y值都随 x值 的增大而增大.

不同点: (1)对称轴不同. (2)顶点不同. (3)最小值不相同.

y ? 2x

2

y ? 2x ? 1
2

y ? 2( x ? 1)

2

y ? 2( x ?1) ? 1
2

y ? 2( x ?1)2 ? 1 的图像可以由 y ? 2x 2 先向上平移一个单位,
再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上 平移一个单位而得到.

各种形式的二次函数的关系 y = a( x - h )2 + k
左 个 右 单 平 位 移 |h|

上 个 下 单 平 位 移

|k|

y = ax2 + k
上下平移

y = a(x - h )2
左右平移

y = ax2

|k|个单位

|h|个单位

结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2形状相同,位置不同。

2+k有如下 抛物线y=a(x-h)

特点: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

抛物线
开口方向

y=a(x-h)2+k(a>0)

y=a(x-h)2+k(a<0)

对称轴
顶点坐标

向上 直线x=h (h,k)

向下 直线x=h (h,k)

增减性

在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.

最值 当x=h时,最小值为k.

当x=h时,最大值为k.

例4 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直 安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的 水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水 柱落地处离池中心3m,水管应多长?

如图建立直角坐标系

练一练
某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100 元出售,一天可售出约100件,该店想通过降低售价 、增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查, 发现这种商品单价每降低1元,其销售量可增加约10 件。 1、请表示出商品降价x元与利润y元之间的关系? 2、将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最 大?最大利润是多少?

10.如图所示的抛物线: 0或-2 当x=_____时,y=0; < 当x<-2或x>0时, y_____0; 当x在-2 < x<0

范围内时,y>0; _____ -1 3 当x=_____时,y有最大值_____.
3

11、试分别说明将抛物线的图象通 2的图象: 过怎样的平移得到y=x (1) y=(x-3)2+2 ;
先向左平移3个单位,再向下平移2个单位

(2)y=(x+4)2-5
先向右平移4个单位,再向上平移5个单位

12.与抛物线y=-4x 2形状相同,顶点为 (2,-3)的抛物线解析式 y= - 4(x-2)2-3或y= 4(x-2)2-3 为 .

13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 (1)求解析式
解:∵二次函数图象的顶点是(1,-1), ∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1, ∵其图象过点(0,0), ∴0= a(0-1)2-1, ∴a=1 ∴y= (x-1)2-1

(2)根据图象回答: x<0或x>2 时,y>0; (0,0) 当x 当x x=0或2 时,y=0; 当x 0< x<2 时,y﹤0。

(2,0)

(1,-1)

1、教材14页——习题26.1第5题 2、同步导学75页课后提高 3、预习二次函数y=a2+bx+c的图象

谢谢大家,再会!


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