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最新冀教版八年级数学上册_等腰三角形(1)

发布时间:2013-12-06 12:30:16  

宽城三中 数学组

17.1

等腰三角形

知识导航:
1.什么是等腰三角形? 2.等腰三角形各边都叫什么名称? 各角呢? 3.什么是等腰直角三角形?

1、有两条边相等的三角形, 叫做等腰三角形.
2、相等的两条边叫做腰, 3、另一条边叫做底边, 4、两腰所夹的角叫做顶角, 5、底边与腰的夹角叫做底角. B 腰

A 顶角 腰

底边 底角

C

定义:顶角是直角的等腰三角形是 等腰直角三角形

请拿出准备好的长方形 纸片,试一试,是否可以 剪出一个等腰三角形呢?

B A

C

观察你所得到等腰三 角形,猜想等腰三角形 具有哪些特征?

等腰三角形是轴对称图形吗?

结论:等腰三角形是轴对称图形!

相等的线段

相等的角

A

AB=AC BD=CD AD=AD

∠B = ∠C.
∠BAD = ∠CAD ∠ADB = ∠ADC
B D C

大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?

思维展示
命题:等腰三角形的两个底
角相等(简称等边对等角)
已知: ΔABC中,AB=AC

A

求证:∠B=∠C

B

D

C

已知:如图,在ΔABC中,AB=AC。 求证:∠B=∠C
证法1: 作顶角的平分线AD 即∠BAD=∠CAD 在△ABD和△ACD中 AB=AC(已知) ∠BAD=∠CAD(已作) AD=AD(公共边) ∴ △ABD≌ △ACD (SAS)

A

B

D

C

∴ ∠B=∠C ,∠ADB=∠ADC (全等三角形对应角相等) ∵ ∠ADB+∠ADC=180° ∴∠ADB=∠ADC=90° ∴BD=CD (全等三角形对应角相等) 即等腰三角形顶角平分线,底边上的中线,底边上的高线互相重合

A

已知:△ABC中,若AB=AC, 求证:∠B=?C. 证法2:作底边BC的中线AD.

在△BAD和△CAD 中
B

C D

AB=AC ∵ BD=CD AD=AD ∴△BAD≌△CAD (SSS). ∴∠B=∠C.(全等三角形对应角相等)

已知:如图,在ΔABC中,AB=AC

求证:∠B=∠C
证法3: 作AD垂直BC于D 即∠BAD=∠CAD=900 AB=AC ∵ AD=AD

A



在Rt △BAD与 Rt △CAD 中

∴ Rt △BAD≌ Rt △CAD (HL) ∴ ∠B= ∠C (全等三角形对应 角相等)

B

D

C

等腰三角形常见辅助线
A A A

1 2


B D C B

D

CB

D

C

作△ABC的高AD, 作△ABC的中线AD, 垂直底边BC于D。 交底边BC于D。

作顶角的平分线AD.

A

性质1:等腰三角形的两个底角相等

(简写成“等边对等角”) 在△ABC中, B ∵ AC = AB(已知) ∴ ∠B =∠C ( 等边对等角)

C

注意: 在 同一个 三角形中,等边对等角。

互 相 除了能得到等腰三角形的两个底角相等,重 合 你还能发现什么?

想一想:

AD平分∠BAC

AD平分BC 底边上的高,
A

重合的线段 AB=AC

重合的角

∠B = ∠C.
∠BAD = ∠CAD
∠ADB =∠ADC
B D C

BD=CD
AD=AD

性质2.等腰三角形的顶角角平分线、底边上 的高、 底边上的中线互相重合(三线合一).

在△ABC中, 1、∵AB =AC, AD ⊥ BC BD ∴∠ 1 = ∠ 2 ,____= 。 2、∵

AB =AC, AD是中线, ∴___ ⊥ BC ,∠1 =∠ 2 。 3、∵ AB =AC, AD是角平分线, B BD ∴ AD⊥ BC , = DC 。

A

1 2 1 2
C

D

一般三角形是否具备三线合一的性质呢? “三线合一”是等腰三角形所特有的性质。

思考:

1、什么是等边三角形? 2、等边三角形是等腰三角形吗? 3、等边三角形各角分别等于多少度?

定义:三边相等的三角形 是等边三角形. 关系:等边三角形是特殊 的等腰三角形. 性质的推论:等边三角形 的角都相等,并且每一个B 角都等于60°.

A

C

如图,在下列等腰三角形中,分别求 出其它两个角的度数。

A A
36°
72° 72°

120°

B C

30°

30°

C

B

? 1、钝角三角形不可能是等腰三 ? 角形。( ×) ? 2、等腰三角形的两边分别是2和6, 那么周长是10或14。( ×) ? 3、等腰三角形的角平分线、中线 和高互相重合。(×)

例题 已知:如图,房屋的顶角
∠BAC=100°,过屋顶A的立柱 AD⊥BC,屋椽AB=AC, 求顶架上 ∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度 数. A
B D C

如图,AOB是一钢架,且∠AOB=10°,为使钢架更加 坚固,需在其内部添一些钢管EF、FM、MH??,添加的 钢管长度都与OE相等,添加这样的钢管4根时,则∠AHB 的度数为( 50° ) M A

10°

O

F

H

B

将一把等腰三角尺和一个重锤如图放置,就能检查 一根横梁是否水平,你知道怎么检查吗? A

B

D

C

1 ) 等腰三角形一个角为70°,它的另 外两个角为__________ 2 ) 等腰三角形一个角为120°,它的另 外两个角为_____

3 ) 在等腰△ABC中,AB =5,AC =6 , 则△ABC的周长=______

?⒈等腰三角形一个底角为75° 它的另外两个角为_____ ; 75°, 30° ? ⒉等腰三角形一个顶角为 55°,55° 70°它的另外两个角为 _________;
50°,50°或 80°,20° ?⒊等腰三角形一个角为80°, 它的另外两个角为______ __ 。

如图是西安半坡博物馆屋顶的截面图,已经知道它的两边AB和AC 是相等的.建筑工人师傅对这个建筑物做出了两个判断: ①工人师傅在测量了∠B为37°以后,并没有测量∠C ,就说∠C 的度数也是37°. 为什么? ②工人师傅要加固屋顶,他们通过测量找到了横梁BC的中点D, 然后在AD两点之间钉上一根木桩,他们认为木桩是垂直横梁的.为 什么?说说你的理由。
A

B

D

C

如图所示,已知下列两个三角形,思考 怎样把每个三角形只剪一次,将它分成两个 等腰三角形?试一试,你一定会成功的。
120°
20 ° 40 ° 20 °

100 °

60 °

120° 20 °
20 °

100 ° 60 °
20 ° 20 °

40 °

小结

概念:有两条边相等的三 角形是等腰三角形
等腰三角形是轴对称图形,顶角平 分线(或底边中线或底边上的高线 )所在直线是它的对称轴.

1. 等腰三角形

性质:1 等腰三角形的两个底

角相等 (简写成“等边对等角”); 2 等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重 合。(可简记为“三线合一”) 2. 能根据等腰三角形的概念与性质求等腰三角形的周 长及其知道一角求其它两角或证线段、角相等

课后思考:
(1)等腰三角形底边中点到两腰 的距离相等吗?
E C

A

D

F B

(2)利用类似的方法,还可以得 到等腰三角形中那些线段相等?

(3)在等边△ABC所在的平面上找一点P, 使△ PAB、 △ PBC、 △ PAC都是等腰三角 形,你能找到这样的点P吗? 能找到多少个? 这些点的位置有什么特点?
A

B

C

必做题:教材143页,A组习题1、2、3、4

选做题:教材143页,B组习题1、2

? 老师寄语:
既然你选择了远方,就要学会风雨兼程; 既然你选择了大海,就要学会乘风破浪; 既然你选择了蓝天,就要学会展翅翱翔; 既然你选择了学习,就要学会顽强拼搏。 唤醒你所有的潜能,用信心铸就目标, 用汗水浇灌希望,用拼搏实现理想,用奋斗 赢得一生!


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