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27.3位似

发布时间:2013-12-06 14:32:54  

图形的位似

在日常生活中,我们经常见到这样一类相似 的图形,例如,放映幻灯时,通过光源,把 幻灯片上的图形放大到屏幕上(如图显示了 它工作的原理).

这样的放大缩小,没有改变图形形状,经过放 大或缩小的图形,与原图形是相似的,因此, 我们可以得到真实的图片和满意的照片.

图中有多边形相似吗?如果有,那么这种相似 有什么特征?
O O O

图中每幅图中的两个多边形不仅相似,而且 对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个 图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心.

如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶 点的连线相交于一点,对应边平行,像这样的两 个图形叫位似图形.

这个点叫做位似中心, 这时的相似比又叫位似比。 特征:

1、位似图形一定是相似形,反之不一定。 2、判断位似图形时要注意首先它们必须是相似形, 其次每一对对应点所在直线都经过同一点。

1. 判断下列各对图形是不是位似图形.

(1)正五边形ABCDE与正五边 形A′B′C′D′E′; 是

(2)等边三角形ABC与等 边三角形A′B′C′. 是

思考:是否相似图形都是位似图形?

判断下面的正方形是不是位似图形?
A D

不是
E (1) B C F G

显然,位似图形是相似图形的特殊情形.相似 图形不一定是位似图形,可位似图形一定是相 似图形 思考:位似图形有何性质?

如果?OAB和 ?OCD是位似图形,那么 AB∥CD吗?为什么? C
A

解:AB∥CD.理由是: ?OAB和 ?OCD是位似图形,
?OAB∽ ?OCD ∠OAB=∠C

O

B

D

AB∥CD.

概念与性质 2. 位似图形的性质
从第 (1),(2)图中,我们可以看到,△OAB∽△O A′B′, OA OB AB 则 = = .从第(3)图中同样可以看到 OA′ OB′ A′B′ AF AP AE EP FP = = = = AD AC AB BC DC

性质:位似图形上任 意一对对应点到位似中心 所连线段长度之比等于位似比.

?

若△ABC与△A’B’C’的相似比为:1:2,则 OA:OA’=( 1:2 )。
A’ A B O C B’

C’

?

作出下列位似图形的位似中心:

作出下列位似图形的位似中心

利用位似,可以将一个图形放大或缩小.

例如,要把四边形ABCD缩小到原来的1/2, 1. 在四边形外任选一点O(如图), 2. 分别在线段OA、OB、OC、OD上取点A'、B'、 C'、D',使得 OA' ? OB ' ? OC ' ? OD ' ? 1 3. 顺次连接点A'、B'、C'、D',所得四边形 A'B'C'D'就是所要求的图形.
A B A' B' C' O D' C D

OA

OB

OC

OD

2

探究

对于上面的问题,还有其他方法吗?如果在四 边形外任选一个点O,分别在OA、OB、OC、OD的 反向延长线上取A‘ ,B’ 、C‘ 、D’ , 使得 呢?如果点O取 在四边形ABCD内部呢?分别画出这时得到的图 形. A
D B D C C' D' B' A' O B A

OA '

OB ' OC ' OD ' 1 ? ? ? ? OA OB OC OD 2

O

C

2. 如图,以O为位似中心,将△ABC放大为原 来的两倍.
①作射线OA 、OB 、 OC ②分别在OA、OB 、OC 上取 点A' 、B' 、C' 使得 B' OA OB OC 1 ? ? ? OA ' OB ' OC ' 2 ③顺次连结A' 、B' 、 C' 就是所要求图形
O B
A C'

A'

C

在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以 原点O为位似中心,位似比为3:1,把线段AB缩小.
y

探索1:

A′(2,1), B′(2,0)
A A'
x

o B'

B

观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现 ?

在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以 原点O为位似中心,相似比为3:1,把线段AB缩小.
y A′(2,1),B′(2,0) A〞(-2,-1),B(-2,0)

A A' B〞
o x

B'

B

A〞

观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现? 在平面直角坐标系中,如果位似变换是 以原点 为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的 坐标的比等于k或 - k.

位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中,如果位似变换 是以原点为位似中心,相似比为k, 那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或-k.

2、如图, △ABC三个顶 点坐标分别位 A(2,3), B(2,1),C(6,2), 以点O为位似 中心,相似比 为2, 将△ABC放大, C″
B″

A′ 6

4
2

A B′ B
0 4

C′ C 8 12

A″

例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶 点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2), C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似 中心,相似比为1/2的位似 y 图形.
A

D
A′
B

D′
B′

C

C′

o

x

A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 ) 你还有其他办法吗?试试看.

A1(3,-3 ), B1( 4,-1 ), C1( 2,0 ), D1( 1,-2 )
y
A

D

B

C1
C

o D1 A1

B1

x

练一练:
1.如图表示△ABC把它缩小后得到的△COD, 求它们的相似比 y
A

C

o

D

B

x

练一练:
2.如图△ABC的三个顶点坐标分别为 A(2,-2),B(4,-5),C(5,-2),以原点O为位似中心, 将这个三角形放大为原来的2倍.
y

o
A C

x

B

至此,我们己经学习了四种变换;平移轴、 对称、旋转和位似,你能说出它们之间的异同 吗?在图所示的图案中,你能找到这些变换吗?

课堂小结
? 位似图形的概念:

回味无穷

如果两个图形不仅形状相 似,而且每组对应顶点所在的直 线都经过同一个点,对应边互相 平行,那么这样的两个图形叫 做位似图形,这个点叫做位似中 心,这时的相似比又称为位似比 .

位似图形的性质: 位似图形上的任意一对对应点 到位似中心的距离之比等于位似比

位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中,如果位似变换 是以原点为位似中心,相似比为k, 那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或-k.


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