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等腰三角形的判定ppt

发布时间:2013-12-07 10:31:33  

13.3.2 等腰三角形的判定

1、等腰三角形是怎样定义的? 2、等腰三角形有哪些性质?
①等腰三角形是轴对称图形。

既是性质又 是判定

A

有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。

②等腰三角形的两个底角相等(简写成 “等边对等角”) 。

B

D

C

③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高重合(也称为“三线合一”).

?

学习目标:
1. 掌握等腰三角形的判定定理.
重点

2、会综合运用等腰三角形的性质和判定进行有关的 重点 计算和证明。 3.等腰三角形判定方法证明中添加辅助线的思想方 法以及等腰三角形性质与判定的区别. 难点



操作一

探 究 新 知
做一做

画△ABC.使∠B=∠C=30°


操作二

量一量,线段AB与AC的长度。 怎样用数 学推理进 你发现了什么结论?其他同学的结果与你 行证明呢?
的相同吗?

AB=AC

如果一个三角形有两个角相等,那么这两 个角所对的边也相等

A

已知:如图,在ΔABC中,∠B=∠C。 求证:AB=AC
证明: 作∠BAC的平分线AD 则∠1=∠2 在△BAD和△CAD中 ∠1=∠2 ∠B=∠C AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (AAS) B

1 2 C

D

你还有其 他证法吗?

∴ AB= AC (全等三角形的对应边相等)

等腰三角形的判定定理:

如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等 (简写成“等角对等边”)。
几何语言:
A

注意:在同 一个三角形 中应用哟!

∵∠B =∠C (已知)
∴ AB=AC(等角对等边)
B C

巩固练习:下列两个图形是否是等腰三角形?

300

400

400

750

E D F C

1、如图,把一张矩形的纸沿对角线折 叠,重合部分是一个等腰三角形吗?

A A

B D

2、如图,AB∥DC, ? ? 2 ?1 求证:AB=AC

1 B C

2

大 显 身 手

如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC和∠ACB的平分线交 于点O.过O作EF∥BC交AB于E,交AC于F. (1)、请你写出图中所有等腰三角形,并探究EF、BE、 AA FC之间的关系; E B E B
1

解: EF=BE+CF
理由:∵ EF∥BC

O
4

∴∠1=∠2 ∠3=∠4 ∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB
∴∠2=∠ABO ∠3=∠ACO ∴∠1=∠ABO ∠4=∠ACO ∴BE=OE CF=OF ∵ EF=EO+FO ∴EF=BE+CF

2

3

F F C C

若AB≠AC,其他 条件不变,图中 还有等腰三角形 吗?(1)中结论还 成立吗?

课堂小结
今天你学到了什么?
1、等腰三角形的判定定理(1)定义
(2)等角对等边。 2、会运用等腰三角形的性质和判定进行计算和 证明。 3. 证明线段相等目前常用证法有: (1)若两线段属于两个三角形,则考虑证对应的 三角形全等; (2)若两线段是同一个三角形两边,则考虑用等 角对等边证明; (3)寻找中间线段,通过等量代换证明.

3. 如图,已知P、Q是△ABC的边BC上两点,并 且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC

的大小. 解:∵PQ=AP=AQ ∴ ∠PAQ=∠APQ=∠AQ= ∠C+∠QAC= 60 0 ∵QC=AQ ∴ ∠C=∠QAC=300, 同理∠B=∠BAP=300

∴ ∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30+60+30=120 0

小结
名 称
等 腰 三 角 形





概 念

性质





1.两腰相等
A 有两边 相等的 三角形 是等腰 三角形 C

1.两边相等
2.等角对等边

2.等边对等角 3. 三线合一 4.是轴对称图形

B

运用等腰三角形的判定定理时, 应注意在同一个三角形中.

C 4、已知:如图,CD是等腰直角三 角形ABC斜边上的高,找出图中有 哪些等腰直角三角形。 等腰直角三角形有: △ABC , A D △ACD ,△BCD。 5、已知:如图,AD ∥BC,BD平分∠ABC。 证明:∵ AD ∥BC 求证:AB=AD
A D ∴∠ADB=∠DBC ∵ BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠DBC

B

B

C

∴∠ABD=∠ADB ∴AB=AD

拓展提升
例1:如图,上午10 时,一条船从A处出发以20海里 每小时的速度向正北航行,中午12时到达B处,从A、 B望灯塔C,测得∠NAC=40°∠NBC=80°求从B处到 灯塔C的距离 解:∵∠NBC=∠A+∠C
C 80°

N北
B

∴∠C=80°- 40°= 40° ∴ ∠C = ∠A ∴ BA=BC(等角对等边)

40°
A

∵AB=20(12-10)=40
∴BC=40 答:B处到达灯塔C40海里

思考:如图,位于海上A、B两处的两艘救生船 接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B。如果 这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能同时 赶到出事地点(不考虑风浪因素)?

O

A

B

做一做:设三角形三边长分别是下列各组数,试判断 各三角形是不是直角三角形.如果是直角三角形, 请指出哪条边所对的角是直角. (1) 7, 24, 25;(2) 12, 35, 37;(3) 35, 91, 84.

根据勾股定理的逆定理可判断 (1),(2),(3)都是直 角三角形(最小两边平方和等 于最大边的平方),其中最大 边所对的角是直角。

练习 1. 说出定理“等边三角形的三个内角都相等”的 逆命题,并证明该逆命题为真命题. 逆命题:如果一个三角形的三个内角都相等,那么 这个三角形是等边三角形。证明略 2. 如图,已知P、Q是△ABC的边BC上两点,并 且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的大小. 解:∵PQ=AP=AQ∴ ∠PAQ= ∠APQ=
∠AQP= ∠C+ ∠QAC= 60度
∵QC=AQ∴ ∠C= ∠QAC=30度,
(第 2 题)

同理∠B= ∠BAP=30度

∴ ∠BAC= ∠BAP+ ∠PAQ+ ∠QAC=30+60+30=120度

? 小结
1. 等腰三角形的识别

1).根据等腰三角形定义;
2).等角对等边 2.了解了等边三角形识别,等腰直角三角形的概念

1).三个角都是60 的三角形是等边三角形 2).顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形

?

等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等; 2.底边上的高、中线及顶角平分线三线合一

想一想

你怎样识别一个三角形是不是等腰三角形呢?


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