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等腰三角形

发布时间:2013-09-20 16:07:27  

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2013中考全国120份试卷分类汇编

等腰三角形

2、(2013年临沂)如图,在平面直角坐标系中,点A1 , A2在x轴上,点B1,B2在y轴上,其坐标分别为A1(1,0),A2(2,0),B1(0,1),B2(0,2),分别以A1A2B1B2其中的任意两点与点为顶..O.点作三角形,所作三角形是等腰三角形的概率是

3 1 1 2(A) . (C) . (D) . 4323

答案:D

解析:以A1A2B1B2其中的任意两点与点为顶点作三角形,能作4个,其中A1B1O,A2B2O为等..O.

1 腰三角形,共2个,故概率为: 2

3、(2013年武汉)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是

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课件、教案、试卷,全免费下载A

D

BC

第6题图

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AC边上的高,则∠DBC的度数是( )

A.18° B.24° C.30° D.36°

答案:A

解析:因为AB=AC,所以,∠C=∠ABC=1(180°-36°)=72°, 2

又BD为高,所以,∠DBC=90°72°=18°

4、(2013四川南充,3,3分) 如图,△ABC中,AB=AC,∠B=70°,则∠A的度数是( )

A.70° B. 55°

C. 50° D. 40°

答案:D

解析:因为AB=AC,所以∠C=∠B=70°,

∠A=180°-70°-70°=40°

5、(2013?宁波)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=,

BC=4,连结BD,∠BAD的平分线交BD于点E,且AE∥CD,则AD的长为( )

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6、(2013?攀枝花)如图,在△ABC中,∠CAB=75°

,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠BAB′=( )

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8、(2013泰安)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DG⊥AE,垂足为G,若DG=1,则AE的边长为( )

A.2 B.4 C.4 D.8

考点:平行四边形的性质;等腰三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;勾股定理. 专题:计算题.

分析:由AE为角平分线,得到一对角相等,再由ABCD为平行四边形,得到AD与BE平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,等量代换及等角对等边得到AD=DF,由F为DC中点,AB=CD,求出AD与DF的长,得出三角形ADF为等腰三角形,根据三线合一得到G为AF中点,在直角三角形ADG中,由AD与DG的长,利用勾股定理求出AG的长,进而求出AF的长,再由三角形ADF与三角形ECF全等,得出AF=EF,即可求出AE的长.

解答:解:∵AE为∠ADB的平分线,

∴∠DAE=∠BAE,

∵DC∥AB,

∴∠BAE=∠DFA,

∴∠DAE=∠DFA,

∴AD=FD,

又F为DC的中点,

∴DF=CF,

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∴AD=DF=DC=AB=2,

在Rt△ADG中,根据勾股定理得:AG=

则AF=2AG=2,

在△ADF和△ECF中,

, ,

∴△ADF≌△ECF(AAS),

∴AF=EF,

AE=2AF=4.

故选B

点评:此题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰三角形的判定与性质,熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键.

9、(2013?莱芜)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(1,),M为坐

10、(2013? 德州)如图,AB∥CD,点E在BC上,且CD=CE,∠D=74°,则∠B的度数为( )

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14、(2013?孝感)如图,在△

ABC中,AB=AC=a,BC=b(a>b).在△ABC内依次作∠CBD=∠A,∠DCE=∠CBD,∠EDF=∠DCE.则EF等于( )

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15、(2013成都市)如图,在△ABC中,?B??C,AB=5,则AC的长为( )

A.2 B.3 C.4 D.5

答案:D

解析:由∠B=∠C,得

AC=AB=5(等角对等边),故选D

16、(2013?宜昌)如图,在矩形ABCD中,AB<BC,AC,BD相交于点O,则图中等腰三角形的个数是( )

17、(2013哈尔滨)如图,在?ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E, 且AE=3,则AB的长为( ).

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(A)4 (B)3 (C) 5 (D)2 2

考点:平行四边形的性质及等腰三角形判定.

分析:本题主要考查了平行四边形的性质:平边四边形的对边平行且相等;等腰三角形判定,

两直线平行内错角相等;综合运用这三个性质是解题的关键

解答:根据CECE平分∠BCD得∠BCE=∠ECD,AD∥BC得∠BCE=∠DEC从而△DCE为等腰三角形,

ED=DC=AB,2AB=AD=AE+ED=3+AB,解得AB=3

故选B

18、(2013?毕节地区)已知等腰三角形的一边长为4,另一边长为8,则这个等腰三角形的

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20、(2013年广州市)如图5,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,CA

是?BCD的平分线,且AB?

AC,AB?4,AD?6,则tanB=( )

A

B C11 D44

分析:先判断DA=DC,过点D作DE∥AB,交AC于点

F,交BC于点E,由等腰三角形的性质,可得点F是AC中点,继而可得EF是△CAB的中位线,继而得出EF、DF的长度,在Rt△ADF中求出AF,然后得出AC,tanB的值即可计算.

解:

∵CA是∠BCD的平分线,∴∠DCA=∠ACB,

又∵AD∥BC,∴∠ACB=∠CAD,∴∠DAC=∠DCA,∴DA=DC,

过点D作DE∥AB,交AC于点F,交BC于点E,

∵AB⊥AC,∴DE⊥AC(等腰三角形三线合一的性质),

∴点F是AC中点,∴AF=CF,∴EF是△CAB的中位线,∴EF=AB=2,∵

EF=DF=2,

在Rt△ADF中,AF==4,则AC=2AF=8,tanB===2.故选B. ==1,∴点评:本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理,解答本题的关键是作出辅助线,判断点F是AC中点,难度较大.

21、(2013台湾、31)如图,甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P,使得四边形ABPE为平行四边形,其作法如下:(甲) 连接BD、

CE,两线段相交于P点,则P即为所求

(乙) 先取CD的中点M,再以A为圆心,AB长为半径画弧,交AM于P点,则P即为所求.

对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确?( )

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A.两人皆正确 B.两人皆错误 C.甲正确,乙错误 D.甲错误,乙正确 考点:平行四边形的判定.

分析:求出五边形的每个角的度数,求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数,根据平行四边形的判定判断即可. 解答:

解:甲正确,乙错误,

理由是:如图,∵正五边形的每个内角的度数是

AB=BC=CD=DE=AE,

∴∠DEC=∠DCE=×(180°﹣108°)=36°,

同理∠CBD=∠CDB=36°,

∴∠ABP=∠AEP=108°﹣36°=72°,

∴∠BPE=360°﹣108°﹣72°﹣72°=108°=∠A,

∴四边形ABPE是平行四边形,即甲正确;

=108°,

∵∠BAE=108°,

∴∠BAM=∠EAM=54°,

∵AB=AE=AP,

∴∠ABP=∠APB=×(180°﹣54°)=63°,∠AEP=∠APE=63°,

∴∠BPE=360°﹣108°﹣63°﹣63°≠108°,

即∠ABP=∠AEP,∠BAE≠∠BPE,

∴四边形ABPE不是平行四边形,即乙错误;

故选C.

点评:本题考查了正五边形的内角和定理,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,平行四边形的判定的应用,注意:有两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

22、(2013台湾、20)如图,长方形ABCD中,M为CD中点,今以B、M为圆心,分别以BC长、MC长为半径画弧,两弧相交于P点.若∠PBC=70°,则∠MPC的度数为何?( )

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A.20 B.35 C.40 D.55

考点:矩形的性质;等腰三角形的性质.

分析:根据等腰三角形两底角相等求出∠BCP,然后求出∠MCP,再根据等边对等角求解即可.

解答:解:∵以B、M为圆心,分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点, ∴BP=PC,MP=MC,

∵∠PBC=70°,

∴∠BCP=(180°﹣∠PBC)=(180°﹣70°)=55°,

在长方形ABCD中,∠BCD=90°,

∴∠MCP=90°﹣∠BCP=90°﹣55°=35°,

∴∠MPC=∠MCP=35°.

故选B.

点评:本题考查了矩形的四个角都是直角的性质,等腰三角形两底角相等的性质以及等边对等角,是基础题.

23、(2013?滨州)在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=50°,则∠B=

24、(2013?雅安)若(a﹣1)+|b﹣2|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 5 .

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25、(2013?黄冈)已知反比例函数在第一象限的图象如图所示,点A在其图象上,点B为x轴正半轴上一点,连接AO、AB,且AO=AB,则S△AOB= 6 .

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26、(2013?绍兴)如图钢架中,焊上等长的13根钢条来加固钢架,若

AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A,则∠A的度数是

27、(2013?黄冈)已知△ABC为等边三角形,BD为中线,延长BC至E,使CE=CD=1,连接DE,则DE= .

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得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有 8 个.

29、(2013?荆门)若等腰三角形的一个角为50°,则它的顶角为

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30、(2013凉山州)已知实数x,y满足,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是 .

考点:等腰三角形的性质;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:算术平方根;三角形三边关系.

专题:分类讨论.

分析:先根据非负数的性质列式求出x、y的值,再分4是腰长与底边两种情况讨论求解. 解答:解:根据题意得,x﹣4=0,y﹣8=0,

解得x=4,y=8,

①4是腰长时,三角形的三边分别为4、4、8,

∵4+4=8,

∴不能组成三角形,

②4是底边时,三角形的三边分别为4、8、8,

能组成三角形,周长=4+8+8=20,

所以,三角形的周长为20.

故答案为:20.

点评:本题考查了等腰三角形的性质,绝对值非负数,算术平方根非负数的性质,根据几个非负数的和等于0,则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键,难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断.

31、(2013?白银)等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为.

0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为 .

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考点:矩形的性质;坐标与图形性质;等腰三角形的性质;勾股定理.

专题:动点型.

分析:当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况,需要分类讨论.

解答:解:由题意,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况:(1)如答图①所示,PD=OD=5,点P在点D的左侧.

过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.

在Rt△PDE中,由勾股定理得:DE=∴OE=OD﹣DE=5﹣3=2,

∴此时点P坐标为(2,4);

(2)如答图②所示,OP=OD=5.

==3,

过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.

在Rt△POE中,由勾股定理得:OE===3,

∴此时点P坐标为(3,4);

(3)如答图①所示,PD=OD=5,点P在点D的右侧.

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过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.

在Rt△PDE中,由勾股定理得:DE===3,

∴OE=OD+DE=5+3=8,

∴此时点P坐标为(8,4).

综上所述,点P的坐标为:(2,4)或(3,4)或(8,4).

点评:本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用,符合题意的等腰三角形有三种情形,注意不要遗漏.

33、(2013?牡丹江)劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米,底边为6厘米的等腰三角形,她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1:2的平行四边形,平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角,平行四边形的其它顶点均在三角形的边上,则这个平行四边形的较短的边长为 2.4cm或cm .

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点,且∠DAE=45°,连接EF、BF,则下列结论:

222①△AED≌△

AEF;②△ABE∽△ACD;③BE+DC>DE;④BE+DC=DE,

其中正确的有( )个.

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35、(2013?黔西南州)如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 15 度.

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36、(2013?玉林)如图,在直角坐标系中,O是原点,已知A(4,3),P是坐标轴上的一点,若以O,A,P三点组成的三角形为等腰三角形,则满足条件的点P共有 6 个,写出其中一个点P的坐标是 (5,0) .

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37、(2013?宁夏)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=α,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC,此时点D在AB边上,则旋转角的大小为 2a .

将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内,若点B的落点记为B′,则DB′的长为 .

考点:平行四边形的性质;等腰直角三角形;翻折变换(折叠问题).

分析:如图,连接BB′.根据折叠的性质知△BB′E是等腰直角三角形,则BB′=

B′E是BD的中垂线,则DB′=BB′.

解答:解:∵四边形ABCD是平行四边形,BD=2,

∴BE=BD=1.

如图2,连接BB′.

根据折叠的性质知,∠AEB=∠AEB′=45°,BE=B′E.

∴∠BEB′=90°,

∴△BB′E是等腰直角三角形,则BB′=BE=.

又∵BE=DE,B′E⊥BD,

∴DB′=BB′=.

故答案是:.

数学题_数学网 www.qzwh.com 课件、教案、试卷,全免费下载 BE.又

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点评:本题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的判定与性质以及翻折变换(折叠的性

质).推知DB′=BB′是解题的关键.

39、(2013菏泽)如图所示,在△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,动点P在射线EF上,BP交CE于D,∠CBP的平分线交CE于Q,当CQ=CE时,EP+BP= 12 .

考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;三角形中位线定理.

分析:延长BQ交射线EF于M,根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC,根据两直线平行,内错角相等可得∠M=∠CBM,再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM,从而得到∠M=∠PBM,根据等角对等边可得BP=PM,求出EP+BP=EM,再根据CQ=CE求出EQ=2CQ,然后根据△MEQ和△BCQ相似,利用相似三角形对应边成比例列式求解即可. 解答:解:如图,延长BQ交射线EF于M,

∵E、F分别是AB、AC的中点,

∴EF∥BC,

∴∠M=∠CBM,

∵BQ是∠CBP的平分线,

∴∠PBM=∠CBM,

∴∠M=∠PBM,

∴BP=PM,

∴EP+BP=EP+PM=EM,

∵CQ=CE,

∴EQ=2CQ,

由EF∥BC得,△MEQ∽△BCQ, ∴==2,

∴EM=2BC=2×6=12,

即EP+BP=12.

故答案为:12.

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点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,角平分线的定义,平行线的性质,延长BQ构

造出相似三角形,求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键,也是本题的难点.

40、(2013年江西省)如图,□ABCD与□DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为 .

【答案】 25°.

【考点解剖】 本题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的判定与性质.

【解题思路】 已知两个平行四边形的周长相等,且有公共边CD,则有AD=DE,即△ADE为等腰三角形,顶角∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°,∴∠DAE=25°.

【解答过程】 ∵□ABCD与□DCFE的周长相等,且有公共边CD,

∴AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°.

∴∠DAE=11(180???ADE)??50??25?. 22

【方法规律】 先要明确∠DAE的身份(为等腰三角形的底角),要求底角必须知道另一角的度数,分别将∠BAD=130°转化为∠BCD=130°,∠F=110°转化为∠DCF=70°,从而求得∠ADE=∠BCF=130°.

【关键词】 平行四边形 等腰三角形 周长 求角度

41、(2013?十堰)如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,BD=CE.求证:AD=AE.

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个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.

(1)当点P在线段AB上时,求证:△APQ∽△ABC;

(2)当△PQB为等腰三角形时,求AP的长.

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线AN上,且AB=BC=CD=DE,已知∠EDM=84°,求∠A的度数;

②如图②,在直角坐标系中,点A在y轴正半轴上,AC∥x轴,点B,C的横坐标都是3,且BC=2,点D在AC上,且横坐标为1,若反比例函数

求k的值.

(2)解题后,你发现以上两小题有什么共同点?请简单地写出. 的图象经过点B,D,

考点:等腰三角形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征.

分析:(1)①根据等边对等角可得∠A=∠BCA,∠CBD=∠BDC,∠ECD=∠CED,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD,

∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠EDM,然后用∠A表示出∠EDM,计算即可求解; ②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标,再表示出点C的坐标,然后根据AC∥x轴可得点C、D的纵坐标相同,从而表示出点D的坐标,再代入反比例函数解析式进行计算即可得解.

(2)从数学思想上考虑解答.

解答:解:(1)①∵AB=BC=CD=DE,

∴∠A=∠BCA,∠CBD=∠BDC,∠ECD=∠CED,

根据三角形的外角性质,∠A+∠BCA=∠CBD,∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠EDM, 又∵∠EDM=84°,

∴∠A+3∠A=84°,

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解得,∠A=21°;

②∵点B在反比例函数y=图象上,点B,C的横坐标都是3,

∴点B(3,),

∵BC=3,

∴点C(3, +2),

∵AC∥x轴,点D在AC上,且横坐标为1,

∴A(1, +2),

∵点A也在反比例函数图象上,

∴+2=k,

解得,k=3;

(2)用已知的量通过关系去表达未知的量,使用转换的思维和方法.(开放题)

点评:本题考查了等腰三角形两底角相等的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,以及反比例函数图象上点的坐标特征,是基础题.

44、(13年安徽省4分、14)已知矩形纸片ABCD中,AB=1,BC=2,

将该纸片叠成一个平面图形,折痕EF不经过A点(E、F是该矩形

,边界上的点),折叠后点A落在A处,给出以下判断:

(1)当四边形ACDF为正方形时,EF=2 ,

(2)当EF=2时,四边形ACDF为正方形 ,

(3)当EF=时,四边形BACD为等腰梯形; ,

(4)当四边形BACD为等腰梯形时,EF=5。 ,

其中正确的是

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45、(2013?益阳)如图1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ABC的平分线BE交AC于E.

(1)求证:AE=BC;

(2)如图(2),过点E作EF∥BC交AB于F,将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°<α<144°)得到△AE′F′,连结CE′,BF′,求证:CE′=BF′;

(3)在(2)的旋转过程中是否存在CE′∥AB?若存在,求出相应的旋转角α;若不存在,请说明理由.

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画板外面去了,你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数?小明的做法是:如图2,画PC∥a,量出直线b与PC的夹角度数,即直线a,b所成角的度数.

(1)请写出这种做法的理由;

(2)小明在此基础上又进行了如下操作和探究(如图3):①以P为圆心,任意长为半径画圆弧,分别交直线b,PC于点A,D;②连结AD并延长交直线a于点B,请写出图3中所有与∠PAB相等的角,并说明理由;

(3)请在图3画板内作出“直线a,b所成的跑到画板外面去的角”的平分线(画板内的部分),只要求作出图形,并保留作图痕迹.

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F,DE=CF.

求证:△GAB是等腰三角形.

考点:等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.

专题:证明题.

分析:由在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,DE=CF,利用SAS,易证得△ADE≌△BCF,即可得∠DAE=∠CBF,则可得∠GAB=∠GBA,然后由等角对等边,证得:△GAB是等腰三角形.

解答:证明:∵在等腰梯形中ABCD中,AD=BC,

∴∠D=∠C,∠DAB=∠CBA,

在△ADE和△BCF中,

∴△ADE≌△BCF(SAS),

∴∠DAE=∠CBF,

∴∠GAB=∠GBA,

∴GA=GB,

即△GAB为等腰三角形.

点评:此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.

48、(2013?荆门)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.

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(1)求证:BE=CE;

(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证:△AEF≌△BCF.

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49、(2013哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,A点的坐标为(3,0),以0A为边作等边三角形OAB,点B在第一象限,过点B作AB的垂线交x轴于点C.动点P从0点出发沿0C向C点运动,动点Q从B点出发沿BA向A点运动,P,Q两点同时出发,速度均为1个单位/秒。设运动时间为t秒.

(1)求线段BC的长;

(2)连接PQ交线段OB于点E,过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m,求m与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围:

111 (3)在(2)的条件下,将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BEF,使点E的对应点E落在线

段AB上,点F的对应点是F,EF交

x轴于点G,

连接PF、QG,当t为何值时,111QG?

考点:等边三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、直角三角形的判定、三角形内角和、等腰三角形判定,一元一次方程

0,

分析:(1)由△AOB为等边三角形得∠ACB=∠OBC=30

由此CO=OB=AB=OA=3,在RT△ABC中,AC为6 ,从而BC=(2)过点Q作QN∥0B交x轴于点N,先证△AQN为等边三角形,从而NQ=NA=AQ=3-t,NON=3- (3-t)=t

PN=t+t=2t,再由△POE∽△PNQ后 对应边成比例计算得OE?31?t再由EF=BE易得出m22

与t之间的函数关系式

0(3)先证△AE’G为等边三角形,再证∠QGA=90

通过两边成比例夹角相等得△FCP∽△BCA 再用含t的式子表示BQ、、PF、QG通过解方程求出

解答:(1)解:如图l∵△AOB为等边三角形 ∴∠BAC=∠AOB=60。

000∵BC⊥AB ∴∠ABC=90 ∴∠ACB=30∠

OBC=30

∴∠ACB=∠OBC ∴

CO=OB=AB=OA=3

∴AC=6 ∴(2)解:如图l过点Q作QN∥0B交x轴于点N

0∴∠QNA=∠BOA=60=∠QAN ∴QN=QA

∴△AQN为等边三角形

∴NQ=NA=AQ=3-t

∴NON=3- (3-t)=t

∴PN=t+t=2t

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∴OE∥QN.∴△POE∽△PNQ ∴OEPO ?QNPN

OE131?∴OE??t 3?t222∴

∵EF∥x轴

0∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30

∴EF=BE∴m=BE=OB-OE?

(0<t<3)

(3)解:如图2

??BE1F1??BEF?180???EBF??EFB?120? ∴∠AEG=600=∠EAG

1 ∴GE=GA ∴△AE’G为等边三角形 13t? 22

1331?QE1?BE1?BQ?m?t?t??t??t 2222

31?QE1?GA?AE1?AB?BE1?BQ??t?QE1 22

∴∠l=∠2 ∠3=∠4

00∵∠l+∠2+∠3+∠4=180∴∠2+∠3=90

0即∠QGA=90

∵EF∥OC

?

BFBE?BCBOm??BF??

?3?BC?CF? CP?CO?OP?3?

t

CF3?tCP???? CB6CA

∵∠FCP=∠BCA ∴△FCP∽△BCA.

?3?tPFCP3?t∵2BQ—

PF=QG

∴2t???)∴t=1

∴??PF?2ABCA2

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当t=1 时,2BQ—

QG 50、(2013?牡丹江)已知∠ACD=90°,MN是过点A的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B,如图(1).易证BD+AB=CB,过程如下:

过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E

∵∠ACB+∠BCD=90°,∠ACB+∠ACE=90°,∴∠BCD=∠ACE.

∵四边形ACDB内角和为360°,∴∠BDC+∠CAB=180°.

∵∠EAC+∠CAB=180°,∴∠EAC=∠BDC.

又∵AC=DC,∴△ACE≌△DCB,∴AE=DB,CE=CB,∴△ECB为等腰直角三角形,∴BE=CB.

又∵BE=AE+AB,∴BE=BD+AB,∴BD+AB=CB.

(1)当MN绕A旋转到如图(2)和图(3)两个位置时,BD、AB、CB满足什么样关系式,请写出你的猜想,并对图(2)给予证明.

(2)MN在绕点A旋转过程中,当∠BCD=30°,BD=时,则CD= 2 ,CB=

+1 .

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C两点作x轴,y轴的垂线相交于B点,且OA,OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程x﹣14x+48=0的两个实数根.

1)求C点坐标;

(2)求直线MN的解析式;

(3)在直线MN上存在点P,使以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出P点的坐标. 2

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52、(2013?郴州)如图,△ABC中,AB=BC,AC=8,tanA=k,P为AC边上一动点,设PC=x,作PE∥AB交BC于E,PF∥BC交AB于F.

(1)证明:△PCE是等腰三角形;

(2)EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高,用含x和k的代数式表示EM、FN,并探究EM、FN、BH之间的数量关系;

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(3)当k=4时,求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式.x为何值时,S有最大值?并求出S的最大值.

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53、(13年安徽省14分、23压轴题)我们把由不平行于底边的直线截等腰

三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。如图1,四边形ABCD即

为“准等腰梯形”。其中∠B=∠C。

(1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中,选择合适的一个顶点引一条

直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个

等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可)。

(2)如图2,在“准等腰梯形”ABCD中,∠B=∠C,E为边BC上一

点,若AB∥DE,AE∥DC,求证:ABBE ?DCEC

(3)在由不平行于

BC的直线截

Δ

PBC

所得的四边形ABCD中,∠BAD

与∠ADC的平分线交于点E,若EB=EC,请问当点E在四边形ABCD

内部时(即图3所示情形),四边形ABCD是不是“准等腰梯形”,

为什么?若点E不在四边形ABCD内部时,情况又将如何?写出你的

结论(不必说明理由)

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