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等边三角形

发布时间:2013-09-20 16:07:29  

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2013中考全国120份试卷分类汇编

等边三角形

1、(2013凉山州)如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )

A.14 B.15 C.16 D.17

考点:菱形的性质;等边三角形的判定与性质;正方形的性质.

分析:根据菱形得出AB=BC,得出等边三角形ABC,求出AC,长,根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4,求出即可.

解答:解:∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=BC,

∵∠B=60°,

∴△ABC是等边三角形,

∴AC=AB=4,

∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16,

故选C.

点评:本题考查了菱形性质,正方形性质,等边三角形的性质和判定的应用,关键是求出AC的长.

2、(2013?自贡)如图,将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后,恰好围成一个底面是正三角形的棱柱,这个棱柱的侧面积为( )

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3、(2013?雅安)如图,正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论:①BE=DF,②∠DAF=15

°,③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE.其中正确结论有( )个.

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4、(2013?十堰)如图,梯形ABCD中,AD∥

BC,AB=DC=3,AD=5,∠C=60°,则下底BC的长为( )

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5、(2013?牡丹江)如图,在△ABC中∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,连接PM

,PN,则下列结论:①PM=PN;②

∠ABC=45°时,BN=PC.其中正确的个数是( ) ;③△PMN为等边三角形;④当

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6、(2013?遵义)如图,将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动(不滑动),点B从开始到结束,所经过路径的长度为( )

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7、(2013台湾、23)附图为正三角形ABC与正方形DEFG的重迭情形,其中D、E两点分别在AB、BC上,且BD=BE.若AC=18,GF=6,则F点到AC的距离为何?( )

A.2 B.3 C.12﹣4 D.6﹣6

考点:正方形的性质;等边三角形的性质.

分析:过点B作BH⊥AC于H,交GF于K,根据等边三角形的性质求出∠A=∠ABC=60°,然后判定△BDE是等边三角形,再根据等边三角形的性质求出∠BDE=60°,然后根据同位角相等,两直线平行求出AC∥DE,再根据正方形的对边平行得到DE∥GF,从而求出AC∥DE∥GF,再根据等边三角形的边的与高的关系表示出KH,然后根据平行线间的距离相等即可得解. 解答:解:如图,过点B作BH⊥AC于H,交GF于K,

∵△ABC是等边三角形,

∴∠A=∠ABC=60°,

∵BD=BE,

∴△BDE是等边三角形, ∴∠BDE=60°, ∴∠A=∠BDE,

∴AC∥DE,

∵四边形DEFG是正方形,GF=6,

∴DE∥GF,

∴AC∥DE∥GF,

∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6,

∴F点到AC的距离为6

故选D. ﹣6.

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点评:本题考查了正方形的对边平行,四条边都相等的性质,等边三角形的判定与性质,等边三角形的高线等于边长的倍,以及平行线间的距离相等的性质,综合题,但难度不大,熟记各图形的性质是解题的关键.

8、(2013菏泽)我们规定:将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”,“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”(例如圆的直径就是它的“面径”).已知等边三角形的边长为2,则它的“面径”长可以是

之间的任意两个实数) (写出1个即可).

考点:等边三角形的性质.

专题:新定义;开放型.

分析:根据等边三角形的性质,

(1)最长的面径是等边三角形的高线;

(2)最短的面径平行于三角形一边,最长的面径为等边三角形的高,然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面径.

解答:解:如图,

(1)等边三角形的高AD是最长的面径, AD=×2=;

(2)当EF∥BC时,EF为最短面径,

此时,(

即=)=, , 2

解得

EF=. 所以,它的面径长可以是,(或介于和之间的任意两个实数). 故答案为:,(或介于和之间的任意两个实数).

点评:本题考查了等边三角形的性质,读懂题意,弄明白面径的定义,并准确判断出等边三角形的最短与最长的面径是解题的关键.

9、(2013?铁岭)如图,在△ABC中,AB=2,BC=3.6,∠B=60°,将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上时,则CD的长为 1.6 .

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10、(2013?宜昌)如图,点E,F分别是锐角∠A两边上的点,AE=AF,分别以点E,F为圆心,以AE的长为半径画弧,两弧相交于点D,连接DE,DF.

(1)请你判断所画四边形的性状,并说明理由;

(2

)连接EF,若AE=8厘米,∠A=60°,求线段EF的长.

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11、

(2013?天津)如图,在边长为9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,则AE的长为 7 .

12、(2013聊城)如图,在等边△ABC中,AB=6,D是BC的中点,将△ABD绕点A旋转后得到△ACE,那么线段DE的长度为 .

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考点:旋转的性质;等边三角形的判定与性质.

分析:首先,利用等边三角形的性质求得AD=3;然后根据旋转的性质、等边三角形的性质推知△ADE为等边三角形,则DE=AD.

解答:解:如图,∵在等边△ABC中,∠B=60°,AB=6,D是BC的中点,

∴AD⊥BD,∠BAD=∠CAD=30°,

∴AD=ABcos30°=6×=3.

根据旋转的性质知,∠EAC=∠DAB=30°,AD=AE,

∴∠DAE=∠EAC+∠BAD=60°,

∴△ADE的等边三角形,

∴DE=AD=3,即线段DE的长度为3.

故答案是:3.

点评:本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质.旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.

13、(2013? 德州)如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上,下列结论:

①CE=CF;②∠AEB=75°;③BE+DF=EF;④S正方形ABCD=2+

其中正确的序号是 ①②④ (把你认为正确的都填上).

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14、(2013?黄冈)已知△ABC为等边三角形,BD为中线,延长BC至E,使CE=CD=1,连接DE,则DE= .

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15、(2013?黔西南州)如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=

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16、(2013年广东湛江)如图,所有正三角形的一边平行于x轴,一顶点在y轴上.从内到外,它们的边长依次为2,4,6,8,?,,顶点依次用

A1、A2、A3、A4、?表示,其中A1A2与x轴、底边A1A2与

A4A5、A4A5与A7A8、?均相距一个单位,则顶点A3的

坐标是 ,A92的坐标是

解析:考查正三角形的相关知识及找规律的能力。由图知,

A3的纵坐标为:

A2A3?sin600?1?2而A2的?A3?1,1?

1,??

横坐标为:A2A3?sin300?2??1,由题意知,A2的纵坐标为?1,?A2?1,?1?,容易发现A2、1

2

A5、A7、?、A92、?这些点在第四象限,横纵坐标互为相反数, ?A2、A5、A7、?、A92、?的下标2、5、7、?、92、?有规律:92?2?30?3?2??31?1??3,?A92是第31个正三角形(从里往外)的右端点,?A92?31,?31?

17、(2013福省福州19)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(﹣2,0),等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.

(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD,则平移的距离是 个单位长度;△AOC与△BOD关于直线对称,则对称轴是 ;△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB,则旋转角度可以是 度;

(2)连结AD,交OC于点E,求∠AEO的度数.

考点:旋转的性质;等边三角形的性质;轴对称的性质;平移的性质.

专题:计算题.

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分析:(1)由点A的坐标为(﹣2,0),根据平移的性质得到△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD,则△AOC与△BOD关于y轴对称;根据等边三角形的性质得∠AOC=∠BOD=60°,则∠AOD=120°,根据旋转的定义得△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB;

(2)根据旋转的性质得到OA=OD,而∠AOC=∠BOD=60°,得到∠DOC=60°,所以OE为等腰△AOD的顶角的平分线,根据等腰三角形的性质得到OE垂直平分AD,则∠AEO=90°. 解答:解:(1)∵点A的坐标为(﹣2,0),

∴△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD;

∴△AOC与△BOD关于y轴对称;

∵△AOC为等边三角形,

∴∠AOC=∠BOD=60°,

∴∠AOD=120°,

∴△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB.

(2)如图,∵等边△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB,

∴OA=OD,

∵∠AOC=∠BOD=60°,

∴∠DOC=60°,

即OE为等腰△AOD的顶角的平分线,

∴OE垂直平分AD,

∴∠AEO=90°.

故答案为2;y轴;120.

点评:本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等边三角形的性质、轴对称的性质以及平移的性质.

18、(2013?湖州)如图,已知P是⊙O外一点,PO交圆O于点C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,连接PB.

(1)求BC的长;

(2)求证:PB是⊙O的切线.

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点E为AB的中点,连结DE.

(1)证明DE∥CB;

(2)探索AC与AB满足怎样的数量关系时,四边形DCBE是平行四边形.

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(1)如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN.

【类比探究】

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(2)如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.

【拓展延伸】

(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.

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