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数学:24.1圆-24.1.4圆周角课件(人教新课标九年级上)

发布时间:2013-12-07 14:35:59  

一. 复习引入:
1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角 O

.

2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦三个量之间关系的

B

C

一个结论,这个结论是什么? 在同圆(或等圆)中,如果圆心角、弧、弦有 一组量相等,那么它们所对应的其余两个量都

分别相等。

一、概念
什么叫做圆周角?
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角.
D A C

O

·
B

E

辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗? C
C C
E D D E C E D E

D

练习一:判断下列各图中,哪些是圆周角,为什么?

如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以 通过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站 在圆心的O 位置,同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置 C,他们的视角(∠AOB 和∠ACB)有什么关系?如果同学 丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E,他们的视角( ∠ADB 和∠AEB )和同学乙的视角相同吗? 丙D
A

乙C

甲O

丁E

B

D

? ?AOB是AB所对的圆心角 ? ?ACB是AB所对的圆周角 ? ?ADB是AB所对的圆周角 ? ?AEB是AB所对的圆周角
它们之间有什么关系呢?
C O

A

E

B

类比圆心角探知圆周角
? ?

在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么 关系? 为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角 和圆心角之间有的关系.
?

你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?

圆周角和圆心角的关系
?

教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.

(1) 折痕是圆周角的一条边, (2) 折痕在圆周角的内部, (3) 折痕在圆周角的外部.

图 23.1.11

?

如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系?
说说你的想法,并与同伴交流.

?

A

B


A O

B


A

B


O

C

O

C

C

三、 探究
AB 分别量一下图中 ? 所对的两个 圆周角的度数,比较一下,再变 动点C在圆周上的位置,圆周角 的度数有没有变化?你能发现什 么规律吗? AB 再分别量出图中 ? 所对的圆周
角和圆心角的度数,比较一下, 你什么发现?

圆周角.gsp
C

D O

·
B

A

同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数
恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.

练 习
1.如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪些是相 等的角?
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7
B C A
2 3 4 5 1 8 7

6

∠3 = ∠6

D

四、同弧所对圆周角与圆心角的关系
? ?

1.首先考虑一种特殊情况: 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. ∵∠AOC是△ABO的外角, ?∴∠AOC=∠B+∠A. ?∵OA=OB, ?∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B.
?

A



你能

写出这个命题吗?

1 ∠ABC = ∠AOC. 2

老师期望: 你可要理 解并掌握 这个模型. B

C


O

同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.

四、同弧所对圆周角与圆心角的关系
A
? ?

如果圆心不在圆周角的一边上,结果 会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部 时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大 小关系会怎样?

C


O

B A O D C

? ?

老师提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
?

∠ABD =

1 ∠AOD,∠CBD 2

1 = ∠COD, 2



1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2

你能写出这个命题吗?

同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.

B

四、同弧所对圆周角与圆心角A
?
?

如果圆心不在圆周角的一边上,结果 会怎样? 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外 部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的 大小关系会怎样?
?
? ?

的关系

C


O

B
A

老师提示:能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD 2

C
B


O

= 1∠COD,
2



1 ∠ABC = ∠AOC. 2

你能写出这个命题吗?

同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.

?

?

同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

A C


综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是 :
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C


A C B


O

O

O

B

B

如图所示,∠ADB、∠ACB、∠AOB 分别是什么角? 它们有何共同点?

∠ADB与∠ACB有什么关系?

圆周角定理:
同弧 (等弧) 所对的圆周角相等. 都等于这条弧所对的圆心角的一半.

思考:

在同圆或等圆中

相等的圆周角所对的弧相等 吗?

在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等.
A B

如图, 若 AC = BD 则 ∠ D=∠A





C

D

∴AB∥CD

B
?

1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°, 求∠A的大小. 解: ∠A
1 = ∠BOC = 25°. 2
A

C


O

C

如图,AB是直径,则∠ACB=____ 90 度 B

A

O

半圆(或直径)所对的圆周角是直角,

90度的圆周角所对的弦是直径。

五、定理
定 理

在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周 角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
C2 C1 C3





半圆(或直径)所对的圆周 角是直角; A 90°的圆周角所对的弦是直径.

O

·

B

练 习
2.如图,你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗?你有多 少种方法?与同学交流一下.
方法三

方法一 A C O 方法二

O

B
方法四

D
· B

A
O

六、

在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等, 它们所对弧一定相等吗?为什么?

在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它 们所对的弧一定相等.

七、例题
例 如图,⊙O直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平 分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长. 解:∵AB是直径, C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°.
在Rt△ABC中,
BC ? AB2 ? AC 2 ? 102 ? 62 ? 8 A
O B

∵CD平分∠A

CB,

??ACD ? ?BCD.
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,

D

2 2 ? AD ? BD ? AB ? ? 10 ? 5 2(cm) 2 2

练 习
3.求证:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个 三角形是直角三角形.(提示:作出以这条边为直径的圆.) 1 已知:△ABC 中,CO为AB边上的中线, 且CO= AB 2 求证: △ABC 为直角三角形.
C

证明: 以AB为直径作⊙O, ∵AO=BO, CO= AB, ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, 1 ∴∠ACB= ×180°= 90°. 2 ∴ △ABC 为直角三角形.
1 2

A

· O

B

练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两 点,若∠ABD=40°,则∠BCD=_____.
D

A

O 40°

B

C

2、求证:如果三角形一边上的中线等于这边的一半, 那么这个三角形是直角三角形.(提示:作出以这条 边为直径的圆.) 已知:△ABC
证明:
1 ,CO为AB边上的中线,且CO= AB 2
C

求证: △ABC 为直角三角形. 以AB为直径作⊙O, ∵AO=BO, ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径,
1 ∴∠ACB= 2 ×180°= 90°.

CO= AB,

A

· O

B

∴ △ABC 为直角三角形.

3、AB、AC为⊙O的两条弦,延长CA到D,使

AD=AB,如果∠ADB=35° ,
求∠BOC的度数。 ∠BOC =140°
700 350

1、在⊙O中,∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A

1、在⊙O中,∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A

⌒ = CF, ⌒ 2、如图,在⊙O中,AB为直径,CB
弦CG⊥AB,交AB于D,交BF于E 求证:BE=EC

3. 如图,在直径为AB的半圆中,O为圆心,C、D

为半圆上的两点,∠COD=50°,则

25° ∠CAD=______;

4、在⊙O中,一条弧所对的圆心角和圆周角分别为

(2x+100)°和(5x-30)°,则x=_20° _;

练习:
如图,圆心角∠AOB=100°,

则∠ACB=___。

O A C B

小结:
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相

交的角叫圆周角.
2.半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90° 90°的圆周角所对的弦是圆的直径 3.在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆周角相 等,都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角

所对的弧相等。

作业


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