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数学:27.2二次函数的图象与性质(1)课件(华师大版九年级下)

发布时间:2013-12-07 14:35:59  

2的 二次函数y=ax

图象和性质

1、怎样作二次函数
描点法:列表

y ? ax 的图象?
2

描点

连线

2、列表取点时要注意什么地方? 至少要取7个点,并且取的点要均匀、对称。

在直角坐标系中画出函数y ? x 、y ? 2 x 、
2 2

与y ? ? x 、y ? ?2 x 的图象。
2 2

二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线,我们把它叫做抛物线。

y ? x2

这条抛物线关于y轴 对称,y轴就是它的 对称轴。 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点

y ? 2x 2

y ? ?x2

y ? ?2x 2

(-2,4)

(2,4)

(-1,1)

(1,1)

y?x

2

y ? 2x 2

a ? 0 图象在横轴的上方,开口向上,
当x=0时,函数y

当x<0时,函数值y随x的增大而减小:当 x>0时,函数值y随x的增大而增大。

? ax 取得最小值,y
2

=0。

y ? ?x
(-1,-1) (1,-1)

2

y ? ?2x

2

(-2,-4)

(2,-4)

a ? 0 图象在横轴的下方,开口向下,

当x<0时,函数值y随x的增大而增大:当 x>0 时,函数值y随x的增大而减小。 当x=0时,函数y ? ax 2取得最大值,y =0。

对于二次函数y ? ax
a>0时

2

a< 0时
(0,0)
y轴 在x轴的下方 (除顶点外) 向下

顶点坐标
对称轴

(0,0)
y轴 在x轴的上方 (除顶点外) 向上

位置

开口方向 当x=0时,最小值为0。 当x=0时,最大值0。 极值 增减性

x>0 x<0

x x

y y

x>0 x<0

x x

y y

y ? 2x 2

练习:

根据左边已画好的函数图象填空:

(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 (0,0), 对称轴是 y轴 ,在 对称轴的右 侧,
2 2 y?? x 3

y随着x的增大而增大;在 对称轴的左 侧, y随着x的增大而减小,当x= 0 时, 函数y的值最小,最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外)。

2 2 (2)抛物线 y ? ? x 在x轴的 下 方(除顶点外),在对称轴的 3
左侧,y随着x的 增大而增大 ;在对称轴的右侧,y随着x的 增大而减小 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 当x ≠ 0时,y<0. 0 ,

例1、已知y =(m+1)x
图象开口向下

是二次函数且其

(1)求m的值和函数解析式。 (2)x在何范围内,y随x的增大而增大? y

y随x的增大而减小?
o x

练习一
1、已知y=(k+2)x
k2+k-4

是二次函数, ;

且当x>0时,y随X增大而增大,则k=

2、已知函数

y ? ?m ? 1?x

m2 ?2 m? 2

? ?m ? 2?x

是二次函数,且开口向上。
求m的值及二次函数的解析式,并回答y随x的变化 规律

例2、已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8)。 (1)求此抛物线的函数解析式; (2)判断点B(-1,- 4)是否在此抛物线上。 (3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标
解(1)把(-2,-8)代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2. (2)因为 ? 4 ? ?2(?1) 2,所以点B(-1 ,-4) 不在此抛物线上。

(3)由-6=-2x2 ,得x2=3, x?? 3 所以纵坐标为-6的点有两个,它们分别是

( 3,?6)与(? 3,?6)

回顾练习及提高: ,对称轴是 , 图像在 x 轴的 (顶点除外),开口方向向 ,当 x 时,y 随着 x 的增大而减小,当 时,y 随着 x 的增大而增大。

y ? ?x 2 的顶点坐标是 1、二次函数

y ? ?3x 2,当 x 2、抛物线 时, y 随着 x 的增大而 减小,当 x 时,函数 y 有最 值,此时 y = 。
3、根据二次函数 y ? ax 的图像的性质,回答下列问题: (1)如果点P(m, n) 在抛物线y ? ax 2 上,那么点Q(?m, n)也在 这条抛物线上吗?为什么?
2

x (2)当 a ? 0 时,设自变量 x1, 2 的对应值分别为 y1 ,y 2 , 当 x1 ? x2 ? 0 时,必有 y1 ? y 2 吗?为什么?

扩展练习:

二次函数y ? (2a ? 1) x

2

若函数图象开口向上,那么a的取值范围为多少?

若函数图象开口向下,那么a的取值范围为多少?


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