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华东师大版八年级数学上册全册教案

发布时间:2013-12-07 16:39:34  

第十一章 数的开方

11.1平方根与立方根(1)

【教学目标】:以实际问题的需要出发,引出平方根的概念,理解平方根的意义,会求某些数的平方根。

【教学重、难点】:重点:了解平方根的概念,求某些非负数的平方根。 难点:平方根的意义

【教具应用】:老师:三角板、小黑板

学生:

【教学过程】:

一、 提出问题,创设情境。

问题1、要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片,纸片的边长应是多少? 问题2、已知圆的面积是16πcm2,求圆的半径长。

要想解决这些问题,就来学习本节内容

二、 自学提纲:

1、你能解决上面两个问题吗?这两个问题的实质是什么?

2、看第2页,知道什么是一个数的平方根吗?

3、25的平方根只有5吗?为什么?

4、会求110的平方根吗?试一试

5、-4有平方根吗?为什么?

6、想一想,你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根?

7、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗?

8、什么叫开平方?

三、 能力、知识、提高

同学们展示自学结果,老师点拔

① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方,要求这个数。 ② 概括:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。 如52=25,(-5)2=25 ∴25的平方根有两个:5和-5 ③ 根据平方根的意义,可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于-4,所以-4没有平方根。

⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。

⑥ 概括:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根。

⑦ 求一个数a(a≥0)的平方根的运算,叫做开平方。

四、 知识应用

1、求下列各数的平方根

① 49 ②1.69 ③

2、将下列各数开平方

3①1 ②0.09 ③(-)2 5

五、 测评

1、说出下列各数的平方根

4①81 ②0.25 ③ 125

2、求未知数x的值

①(3x)2=16 ②(2x -1)2=9

六、 小结:

1、什么叫做平方根?

2、一个正数的平方根有几个?零的平根有几个?负数的平方根呢?

3、平方和开平方运算有什么区别和联系?

区别:①平方运算中,已知的是底数和指数,求的是幂。而在开平方运算中,已知的是指数和幂,求的是底。

②平方运算中的底数可以是任意数,平方的结果是唯一的,在开平方运算中,开方的数的结果不一定是唯一的。

联系:二者互为逆运算。

七、 布置作业 16 ④(-0.2)2 81

1、P7第1题

2、(选做)已知:x是49的平方根,y是1的平方根,求:

①2x+1 ②(x+y)2

11.1 平方根与立方根(2)

【教学目标】:1、引导学生建立清晰的概念系统,在学生正确理解平方根概念的意义和平方根的表示方法基础上,讨论算术平方根的概念及其表示方法。

2、会用计算器求一个非负数的算术平方根

【教学重、难点】:

重点:了解数的算术平方根的概念,会用“表示一个数的平方根和算术平方根。 难点:对a的理解。特别是a的取值的理解。 ”

【教具应用】:教师:计算器、小黑板

学生:计算器

【教学过程】:

一、 提出问题,创设情境

1、在(-5)2,-52,52中,哪个有平方根?平方根是多少?哪

个没有平方根?为什么?

2、说出平方根的概念和性质。

3、0.49的平方根怎样用符号表示呢?又有新的命名吗?带着这些

问题,走进我们今天的课堂。

二、 自学提纲

1、9的平方根是 ,9的正的平方根是 ,9=3表示的意义是什么?

2、什么样的数存在平方根?什么样的平方根是这个数的算术平方根?分别用什么符号表示?

3、“a”存在的条件是什么? “a”的结果是正数、0、还是负数?

4、0=0正确吗?

5、a2有意义吗?(?a)2呢??a呢?

6、-的意义是什么?它等于什么

三 、 能力、知识、提高

同学们展示自学结果,教师点拔

1、概括:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记为,读作“a的算术平方根”。另一个平方根是它的相反数,即-a。因此正数a的平方根可以记作±a,a称为被开方数。 注意:①这里的a不仅表示开平方运算,而且表示正值的平方根。 ②这里“a”中有双“正”字,即被开方数为正,结果的值为正。 2、0的平方根也叫0的算术平方根,因此0的算术平方根是0。即=0。从以上可知:当a是正数或0时,a表示a的算术平方根,其结果

为非负数。

3、a2总有意义,(?a)2也总有意义,但?a存在有条件限制,即-a≥0,∴a≤0

四、知识应用

1、求110的算术平方根

2、求下列各数的平方根和算术平方根

①36 ②2.89 ③

3、求下列各式的值 ①625 ②±4?27 923 36

4、用计算器求下列各数的算术平方根(看第4页的按键顺序)

①529 ②1125 ③44.81

五、测评问题

1、下列各式中叫些有意义?哪些无意义? -0.3 ?0.3 ?(0.3)2 (?0.3)2

2、求下列各数的平方根和算术平方根 1 111 0.25 400 256

3、求下列各式的值,并说明它们各表示的意义 - ±625 0

5、用计算器计算 ①676 ②27.8784 ③4.225(精确到0.01)

六、小结

①如何表示一个正数的平方根?举例说明

②什么叫做算术平方根? ③式子x?1中的x应满足什么条件?

七、布置作业

1、P7 3(1) 4

2、(选做)若某数的平方根为2a+3和a-15,求这个数。

3、若x?3+y?4=0,求(x-y)2007

11.1 平方根与立方根(3)

【教学目标】:1、了解立方根和开立方的概念。

2、会用根号表示一个数的立方根,掌握开立方运算。

3、培养学生用类比思想求立方根的运算能力。

4、会用计算器求一个数的立方根。

【教学重、难点】:重点:立方根的概念和性质

难点:会求一个数的立方根

【教具应用】:教师:计算器、小黑板

学生:计算器

【教学过程】

一、提出问题,创设情境导课

问题:现有一只体积为216cm3正方体纸盒,它的每一条棱长是

多少?

二、自学提纲

1、 类比平方根的概念,这个实际问题,能抽象出什么数学概念?

在数学上提出怎样的计算问题?

2、2的立方等于多少?是否有其它的数,它的立方也是8?

3、-3的立方等于多少?是否有其它的数,它的立方也是-27?

4、27的立方根是什么?-27的立方根呢?0的立方根呢?

5、类比平方根的性质,你能总结出立方根的性质吗?

6、什么叫开立方?开立方与 是互逆运算。求一个数的立方

根可以通过 运算来求。

7、一个数的平方根和一个数的立方根,有什么相同点和不同点?

三、能力、知识、提高

同学们展示自学结果,教师点拔

1、概括:如果一个数的立方根a,那么这个数叫做a的立方根,记作a,读作“三次根号a”a称为被开方数,3称根指数。

2、立方根的性质:正数有一个立方根,是正数

负数有一个立方根,是负数

0有一个立方根,是0

3、平立根与立方根的区别和联系

联系:①0的平方根、立方根都是0

②平方根、立方根都是开方的结果。

区别:①定义不同

②个数不同

③表示方法不同,正数a的平方根为±a,a的立方根表示为a ④被开方数的取值范围不同

四、知识应用

1、求下列各数的立方根

8 ① ②-115 ③-0.008 27

2、用计算器求下列各数的立方根(看P6的按键顺序) ①1231 ②-343 ③9.263

3、求下列各式的值

①?8 ②0.064 ③()3

五、测评

1、求下列各数的立方根

①511 ②-0.008 ③-

2、用计算器计算 ①6859 ②.576 ③.691(精确到0.01)

3、判断正误

①-4没有立方根 ②1的立方根是±1

③-5的立方根是- ④64的算术平方根是8

六、小结:1、立方根的定义、性质

2、完成下表 64 125

七、布置作业:1、P7 2 3(2)

2、立方根等于本身的数有

平方根等于本身的数有

-64的立方根是

3、x为何值时,x?3+?x有意义? X为何值时,x?3+?x有意义?

课题 实数与数轴(1)

教学目标:

1.了解无理数、实数的概念和实数的分类。

2.知道实数与数轴上的点一一对应。

教学重点:

了解无理数、实数的概念和实数的分类。

教学难点:

正确理解无理数的意义。

教具应用:

直尺、计算器。

教学过程:

一 教学导入

在小学的时候,我们就认识一个非常特殊的数,圆周率π,它约等于

3.14,你还能说出它后面的数字吗?比比看谁记得多。它是一个怎样的数? 二

1.自学提纲,看书P8-P9完成有理数的分类。

1212.把下列分数化成小数, =___,=___,=___。 437

你再任意举三个分数化成小数,可以发现任何一个分数写成小数形式,必须是___小数或___小数。

3.2、π 是分数吗?为什么?

4.什么是无理数?实数?

5.你能完成p9中的“试一试”吗?

6.如果将所有的有理数都标到数轴上,那么数轴能被添满吗? 如果将所有的实数都标到数轴上,那么数轴能被添满吗?

实数与数轴上的点是一一对应吗?

三、

展示与指导

1.通过让学生们回答上面的问题,知道分数都可化为有限小数或无限不循环小数,而π、2是无限不循环小数,故不是分数。

2.在此基础上总结出无理数概念。

3.实数概念。

4.实数的分类。

整数

有理数

实数 分数

无理数

5.实数与数轴上的点的关系。

四.测试

1、把下列各数分别填入相应的数集里。 122-π,-,7,?27,0.324371, 0.5, -0.36, 313

-0.4,,0.8080080008? 9, 42, 9

实数集﹛ ?﹜

无理数集﹛ ?﹜ 有理数集﹛ ?﹜ 分数集﹛ ?﹜ 负无理数集﹛ ?﹜

2、下列各说法正确吗?请说明理由。

⑴3.14是无理数; ⑵无限小数都是无理数; ⑶无理数都是无限小数; ⑷带根号的数都是无理数; ⑸无理数都是开方开不尽的数; ⑹不循环小数都是无理数。

五.小结

以上由学生回答,教师适时补充的方式,引导学生。

小结:

1.无理数、实数的区别。

2.有理数、实数的区别。

3.实数与数轴的点是一 一 对应的关系。

六.作业

(一)判断正误。

1.有理数与数轴上的点是一 一 对应。

2.无理数与数轴上的点是一 一对应。

3.有理数包括整数和小数。

(二)提高题:

π22?(1).在下列数:-0.5,3,21

7

有理数有:_______________;正数有:_______________;

无理数有:_______________;负数有:_______________.

(2)

.在数轴上作出

课题 实数与数轴(2)

教学目标:

1.了解有理数的相反数和绝对值等概念、运算法则以及运算律在实数

范围内仍然适用.

2.能利用运算法则进行简单四则运算.

教学重点:

了解实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义。利用运算法则进行简单四则运算

教学难点:

熟练的运用法则进行四则运算。

教学过程:

一.情境导入:

前面学过的相反数,绝对值等概念以及运算律法则都是在有理数的范围内,现在数的范围扩充到实数。这些仍然适用吗?

二.预习提纲:

1. 用字母来表示有理数的乘法交换律,乘法的结合律,乘法的分配律。

2. 用字母表示有理数的加法交换律和结合律

3. 有理数a的相反数是——,有理数a的倒数是——,有理数a的绝对值是——

4. 上述问题变成实数范围后仍然成立吗?

5. 请你完成课本11页例1,例2

三.展示指导

1. 经过探究知道,有理数的相反数和绝对值等概念,大小比较,运算法则,运算律对实数也同样适用.

2. 实数的大小比较和运算通常可取实数的近似值来运算。师生共同完成例1,例2.

四.练习:课本12页练习:2,3题

五.测试:

1.︱-2︱=—— 2.2的相反数是——

3.比较大小; (1)32与2; (2)-26与-33

4.计算(1)(+1)2

(2)(2+1)(2-1)

六.作业布置:

1.课本12页习题:1,2题

课题 《数的开方》 复习

教学目标:

通过复习让学生对本章的知识有一个系统的了解和掌握。

教学重点与难点:

经历本章知识结构图的认识过程,体会数学知识的前后连贯性,体验综合应用学过的知识解决问题的方法。

教学过程:

一、 自学提纲:

1、 看书本14页本章知识结构图,并完成下列填空。

2、 若x2=a则----是-----的平方根,a的平方根记作-----,a的算

术平方根记作-------

3、 正数有------个平方根,它们的关系是---------,负数有平方根

吗?若没有说明原因。0的平方根为---------。

-------叫开平方,它与-------互为逆运算。

4、 若x3=a 则--------是-------的立方根,记作---------。 正数的立方根是-------数

负数的立方根是-------数

0的立方根是-------数

5、--------叫开立方,开立方与--------互为逆运算。

6、-------是无理数。-------和------统称为实数,实数与数轴上的点是---------关系。

二、 知识应用:

1、 填空:

4的平方根是-------,的算术平方根是-------- 25

98(2) ------的平方等于 ,- 的立方根是------- 2716

(3) 平方根等于本身的数-------

立方根等于本身的数-------

算术平方根等于本身的数------- (1)

(4)若︳x ︳=2 ,则 x= -------- -2 的相反数是-------- -2 的绝对值是-------

2、

3、

4、 将下列各数按从小到大的顺序排列: 3,-2,︳1-︳,1+2 一个立方体的体积为285cm3,求这个立方体的表面积。(保留三个有

效数字)

三、 小结:

四、 作业:

课本25页1、2题

补充题,已知(2x)2=16, y是(-5)2

的正的平方根,求代数式xx+的值. z?yx?y

第十一章 数的开方单元测试(一)

一、选择题。(每题3分,分值110分)

1、一个正数的平方根是m,那么比这个数大1的数的平方根是( )

A m2+1 B ±m2?1 C m2?1 D±m?1

2、一个数的算术平方根是3,这个数是( )

3、已知a的平方根是±8,则a的立方根是( )

A ±2 B ±4 C 2 D 4

4、下列各数,立方根一定是负数的是( )

A -a B –a2 C –a2-1 D–a2+1

5

|b-1︳=0,那么(a+b)2007的值为( )

A -1 B 1 C 32007 D -32007

6、若(x?1)2=1-x,则x的取值范围是( )

A x≥1 B x≤1 C x﹥1 D x﹤1

7、在-

2272?3

2.111111111中,无理数的个数为(

A 2 B 3 C 4 D 5

8、若a﹤0,则化简︱a2?a︱的结果是( )

A 0 B -2a C 2a D 以上都不对

9、实数a,b

A b﹥a B ︱a︱﹥︱b ︱ C -a﹤–b﹥a

11、下列命题中正确的个数是( )

A 带根号的数是无理数

B 无理数是开方开不尽的数

C 无理数就是无限小数

D 绝对值最小的数不存在

二、填空题(每题2分,共30分)

1、若x2=8,则x=________

2_________

3、如果?(x2?2)2有意义,那么x的值是__________ )

4、a是4的一个平方根,且a﹤0,则a的值是_____________

5、当x=________时,式子x?2??x?2有意义。

6、若一个正数的平方根是2a-1和-a+2,则a=_________

7、(3??)2?(4??)2?8、如果a2=4,那么

9、-8

___________

11、当a2=64

11、若︱a︱

=2,且ab﹤0,则a+b=_________

11、若a,b都是无理数,且a+b=2,则a,b的值可以是__________(填上一组满足条件的即可)

12

___________

14

____________

15

|y-1|+(z+2)2=0,则(x+z)2008y=_____________

三、解答题(共40分)

1、若5x+19的算术平方根是8,求3x-2的平方根。(4分)

2、计算(每题3分,共6分)

(1

(2)(?3)3?(?5)2?(2)3

3、求下列各式中x的值(每题4分,共8分)

(1) (x-1)2=16 (2) 8(x+1)3-27=0

4、将下列各数按从小到大的顺序重新排成一列。(4分)

3

2 0 ?

5、著名的海伦公式

S=告诉我们一种求三角形面积的方法,其中p表示三角形周长的一半,a、b、c分别三角形的三边长,小明考试时,知道了三角形三边长分别是a=3cm,b=4cm,c=5cm,能帮助小明求出该三角形的面积吗?(5分)

6、已知实数a、b、c、d、m,若a、b互为相反数,c、d互为倒数,m的绝对值是2,求

117、已知实数a,b

满足条件 +(ab-2)2=0 ,试求 ab(a+1)(b+1)

+

11? + 的值。(6分) (a+2)(b+2)(a+2001)(b+2001)a?b?m2?1cd的平方根(7分)

第十二章 整式的乘除 §12.1 幂的运算

第1课时 同底数幂的乘法

教学目标:

1、 探索并了解正整数幂的乘法性质并会运用性质进行计算。

2、 在推导同底数幂的乘法性质的过程中,培养学生初步运用“转化”思想能力,

培养学生观察概括与抽象的能力。

教学重、难点:

[重点]:同底数幂的乘法法则推导。

[难点]:同底数幂乘法法则的运用,尤其是底数为多项式或指数为整数时。

教学过程:

反思:

第2课时 幂的乘方

教学目标:

1、 探索并了解正整数幂的乘法性质并会运用它进行计算,在推导性质的过程中

培养学生观察、概括和抽象的能力。

2、 在探索推导法则的过程中体验“转化”可以获得新的结论,体会探索的乐趣。 教学重、难点:

[重点]:幂的乘方法则推导及运用。

[难点]:区别幂的乘方运算中指数的运算与同底数幂的乘法的运算中指数的运算

的不同之处。

教具应用:小黑板(抄自学提纲) 教学过程:

12.1幂的运算 总第3课时

教学内容:积的乘方

教学目标:1、理解掌握和运用积的乘方法则。

2、经历探索积的乘方的过程,明确积的乘方是通过乘方的意义

和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则而来的。

3、培养学生类比思想,通过对三个幂的运算法则的选择和区别,

达到领悟的目的,同时体会数学的应用价值。

教学重点:积的乘方法则的理解和应用。

教学难点:积的乘方法则推导过程的理解。

2.1幂的运算 总第4课时

教学内容:同底数幂的除法

教学目标:1、使学生对同底数幂的除法法则能理解并应用。

2、经历探索同底数幂的除法法则的探索过程,进一步体会幂的

意义,学会简单的整式除法运算。

3、培养有条理的思考表达能力,体会同底数幂的除法法则的算

理,体会数学内涵与价值。

教学重点:掌握同底数幂的除法法则。

§12.2整式的乘法

1. 单项式与单项式相乘

教学目标:

[知识与技能]:能正确区别各单项式中的系数,同底数的幂的不同底幂的因式,学会运用单项式与单项式乘法运算规律,总结法则。

[过程与方法]:经历探索单项式乘法法则的探索,理解单项式乘法中,系数与指数的不同计算法,正确应用单项式乘法步骤进行计算,能熟练地进行单项式与单项式相乘和含有加减混合计算。

[情感态度与价值观]:培养学生自主、探究、类比、联想的思想,体会单项式相乘的运算规律,认识数学思维的严密性。

教学重、难点:

[重点]:对单项式运算法则的理解和应用。 [难点]:尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律。

教具准备:投影仪。

教学过程:

2 单项式与多项式相乘

教学目标:

[知识与技能]:尝试、体验并总结出单项式与多项式的法则,并能正确运用,培养学生实践、探索交流的能力。

[过程与方法]:通过适当的尝试,获得直接经验,体验单项式与多项式相乘的运算规律,根据乘法分配律,归纳单项式与多项式相乘的法则。

[情感态度与价值观]:尝试从不同角度解决问题的方法中,去联想、对比、发现规律,培养“多思”的习惯。

教学重、难点:

[重点]:理解和应用单项式与多项式相乘的法则。 [难点]:单项式乘多项式的每一项时,积符号的确定。

教学过程:

3 多项式与多项式相乘

第七课时

教学目标:

[知识与技能]:通过探索得出多项式与多项式相乘的法则,会用它进行简单的计

算。

[过程与方法]:运用整体思想方法、转化的思想方法和抽象的方法推导出多项式

乘以多项式的法则。 教学重、难点:

[重点]:多项式乘法法则的推导及运用。

[难点]:将多项式与多项式的乘法转化为单项式与多项式的乘法,防止漏乘、重

复乘和错符号。 教具应用:挂图 教学过程:

§12.3 乘法公式

课题:两数和乘以这两数的差 第一课时

教学目标:

[知识与技能]:会推导两数的和乘以它们的差的乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,了解

公式的几何背景,并能运用公式进行简单的计算。

[过程与方法]:由学生自己探索,归纳得出平方差公式,再通过运用公式计算加

深对公式的理解、认识,形成一定的运用公式计算的能力。

[情感态度与价值观]:在探索归纳理解和运用平方差公式的过程中体会数形结合

的思想方法。 教学重、难点:

[重点]:平方差公式的推导和运用。 [难点]:公式中字母的广泛含义。

教学过程:

§12.3 乘法公式

课题:两数和的平方 第二课时

教学目标:

[知识与技能]:会推导两数和的平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2 ,了解公式的几何背

景,并能运用公式进行简单的计算。

[过程与方法]:通过计算、观察,学生自己得出公式,再通过观察公式的几何背

景、图形,运用公式计算,理解两数和的平方公式,并形成一定的运用公式计算的能力。

[情感态度与价值观]:在推导和运用两数和的平方公式的过程中,体会数形结合

的思想方法,发展数学思维能力。 教学重、难点:

[重点]:推导和运用两数和的平方公式。 [难点]:公式的结构特征及公式中字母的意义。

教学过程:

§12.4 整式的除法

第1课时 1.单项式除以单项式

教学目标:

1、 理解和掌握单项式除以单项式的运算法则。 2、 运用运算法则,熟练、准确地进行计算。 3、 通过总结法则,培养学生的概括能力。

4、 通过法则的应用,训练学生的综合解题能力和计算能力。 教学重、难点:

[重点]:准确熟练地运用法则进行计算。 [难点]:根据乘、除的运算关系总结法则。

教具应用:投影仪或多媒体、自制胶片 教学过程:

§12.4 整式的除法

第2课时 2.多项式除以单项式

教学目标:

5、 理解和掌握多项式除以单项式的运算法则。 6、 会进行简单的多项式除以单项式的运算。

7、 合作交流,自主探索多项式除以单项式的一般规律。 8、 培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质。 教学重、难点:

[重点]:运用多项式除以单项式法则进行有关计算。 [难点]:探求多项式除以单项式的规律。

教具应用:投影仪、多媒体课件 教学过程:

§12.5 因式分解

第一课时 提公因式法分解因式

教学目标:

[知识与技能]:了解因式分解与整式乘法之间的关系,理解因式分解的过程,发

现因式分解的基本方法(提公因式法、公式法),会用提公因式法分解因式。

[过程与方法]:将因式分解与整式乘法进行类比,理解因式分解的意义和方法。 [情感态度与价值观]:在学习因式分解的意义和探究发现因式分解的方法的过程

中体会事物之间可以相互转化的辩证思想,培养学生逆向思维的能力。 教学重、难点: [重点]:因式分解的意义,用提公因式法将多项式因式分解。 [难点]:找准多项式各项的公因式,并将多项式分解彻底。

§12.5 因式分解

第二课时 运用公式法分解因式

教学目标:

[知识与技能]:认识平方差公式、完全平方公式的特点,会运用这两种公式将多

项式分解因式。

[过程与方法]:观察多项式的结构,按照一提(公因式)二套(套乘法公式)三

查(查最简)的顺序将多项式分解因式,通过综合运用提高学生因式分解的能力。

[情感态度与价值观]:通过一些来自生活的数学题,让学生体会到数学的应用价

值,激发学生学习的兴趣,逐步培养良好的数学情操。 教学重、难点:

[重点]:运用平方差公式、完全平方公式将多项式分解因式。 [难点]:综合运用多种方法把多项式因式分解。

教学过程:

第十二章 小结

第十四课时

本章总结归纳

二、重点难点突破

1、幂的运算性质是整式乘法的基础。①在am2an=am+n中a可以是单项

式也可以是多项式,如(a+b)m2(a+b)n=(a+b)m+n;②注意区分(-2)m与(-2m),

前者是-2为底,后者是2的m次方的相反数,把(-2)m化为2为底的幂时,(-2)可看作(-1)?2,即(-2)m=[(-1)?2]m=(-1)m?2m,当m为奇数时,(-1)m=-1,m

为偶数时,(-1)m=1; ③(a-b)32(b-a)4=(a-b)32(a-b)4=(a-b)7

2、单项式乘多项式、多项式乘多项式,可检查计算中是否漏乘或重复

乘,为了防止漏乘或重复乘,应依据法则按序乘。

3、平方差公式与完全平方公式中,字母a、b可表示数、单项式,也

可表示多项式。如(a+b-c)2=[(a+b)-c]2, (a+b)相当于a,(-c)相当于b; (-3a-4)(3a-4)=- (3a+4)(3a-4)=16-9a2.

4、单项式除以单项式要注意系数除以系数,同底数幂相除,对于只在

被除式中含有的字母连同它的指数作为商的一个因式,多项式除以单项式要注意商的符号和杜绝漏项。

5、分解因式、提公因式应该“一找二提三查”。一找公因式、二提公因式、三查括号内各项是否与原多项式项数相同,再查括号各项是否还能分解因式,若能用公式法,基括号内有二项考虑平方差公式,三项考虑是否能用完全平方公式,四项考虑特殊方法。如:

4x2-4xz-9y2+z2=(4x2-4xz+z2) -9y2=(2x-z)2-(3y)2=(2x-z+3y)(2x-z-3y) 有的三项式可拆成四项。如:

X2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3),注意不是所有二次三项式都能这样做。

三、拓展习题

1、计算:b22(-b)32(-b)42b5

2、计算:[-3a22(-ab)3]3

3、计算:(-124ab)(ab2-2ab+b+1) 233

4、计算:(2x+3)(x2-3x+1)

5、计算:49.82-39.8?40.2

6、计算:(-5m-3n)(5m-3n)

7、先化简再求值。[5a4(a2-4a)-(-3a6)2?(a2)3] ?(-2a2)2,其中a=-5

8、把下列各式分解因式:

(1) a3b-ab3 (2)

四、布置作业

P44 1—9题偶数小题。

反思:

12x-2x+2 (3) (x-2)(x-4)+1 2

第 十四 章

勾股定理

【教学目标】

1.知识与技能:掌握勾股定理及其简单应用,理解定理的一般探究方法。

2.过程与方法:通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理的活动,试图让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程,发展同学们数与形结合的数学思想。

3.情感、态度与价值观:在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的良好学习习惯,了解数学史,激发学生热爱祖国的思想感情,培养他们的民族自豪感。 课题 14.1勾股定理 1.直角三角形三边的关系(一)

【教学重、难点】

1.重点:掌握勾股定理,并能用它来解决一些简单的实际问题。

2.难点:勾股定理的发现。

【教具应用】

三角尺、多媒体

【教学过程】

一、创设情景,导入新课:

在2002年北京召开的国际数学家大会上,到处可以看到一个简洁优美的图案在流动,那个远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标。那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图。(请同学们看图)为什么称为弦图呢?我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦,所以这个图称为弦图,它标志着中国古代的数学成就。(介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献。)

在△ACB中,∠C=90°,找一位学生答出图中的勾、股、弦各指哪边。(老师把图画在黑板上)如果AC=3,BC=4,那么AB的长会是多少呢?下面

我们就来探讨直角三角形三边的关系。

二、自学提纲:

阅读课本48——50页的内容,完成以下问题:

1.你从图14.1.1中得出什么结论?

2.完成49页的填空。从中你发现了什么规律?

3.用三角尺画出两直角边分别为3cm和4cm的直角三角形,并量出斜边的长度。两直角边与斜边之间具有怎样的关系?

4.猜想:两直角边分别为6cm、8cm的直角三角形的斜边长度会是多少?画出图形,并量出斜边长度验证一下你的猜想。

5.我们这节课是探索直角三角形三边数量关系.至此,你对直角三角形三边的数量关系有什么发现?

6.勾股定理的内容是什么?勾股定理揭示了 的关系。

三、合作交流:

1.在图14.1.2中,正方形P、Q的面积你是怎样得出的?正方形R的面积如何计算?你有几种方法?

(把图形进行“割”和“补”,即把不能利用网格线直接计算面积的图形转化成可以利用网格线直接计算面积的图形,让学生体会将较难的问题转化为简单问题的思想)

图1 图2

2.图3和图4是两个直角三角形,完成下面的填空:

在图3中,( )2+( )2=( )2

在图4中,( )2+( )2=( )2

在图3中:若 则 在图4中:若a=12,b=5,

则c=( ) a b 图3 图4

3.课本51页练习1.

总结:在运用勾股定理时,一定要分清直角边和斜边。通过对勾股定

理的基本应用,让学生知道已知直角三角形三边中的任意两边,可以求出

第三边.)

四、知识应用:

1.学习例1.

2.完成51页的练习2。 3.如图5,要在一块长约80 m、宽约60 m沿对角线修一条小路,请问小路长为多少? 图5

4.错例辨析:△ABC的两边为6和8,求第三边

解:由于三角形的两边为3、4

222 所以它的第三边的c应满足c?3?4?25

即:c?5

辨析:(1)要用勾股定理解题,首先应具备直角三角形这个必不可少

的条件,可本题△ABC并未说明它是否是直角三角形,所以用勾股定理就没

有依据。

222 (2)若告诉△ABC是直角三角形,第三边C也不一定是满足a?b?c,

题目中并为交待C 是斜边,综上所述这个题目条件不足,第三边无法求得.

五、测评:

1.勾股定理的内容是:

2.一个正方形的面积是25,则它的对角线长为

3.一个直角三角形的三边长分别是6、8、x,则x=

六、小结:

通过本节课的学习,大家有什么收获?有什么疑问?你认为还有什么要继续探索的问题?

这节课我们通过具体的实例验证了直角三角形三边之间的关系,实际上,勾股定理在我国古代早已被发现和运用,今天我们只不过做了粗略的探讨。通过本节课的学习,同学们一方面要掌握勾股定理的内容,另一方面要能用它来计算直角三角形边的长度。

七、布置作业:

1. 课本55页2、3题。 2.选做题:55页4题。

课题:14.1勾股定理 1.直角三角形三边的关系(二)

【教学目标】

1.知识与技能:进一步理解勾股定理的探究方法,掌握定理的简单应用。

2.过程与方法:通过同学们非常熟悉的几何拼图进一步理解勾股定理,学会简单的合情推理与数学说理。

3.情感、态度与价值观:通过适当训练,培养学生参与的积极性,体验数学说理的重要性,养成数学说理的习惯。

【教学重、难点】

1.重点:勾股定理的应用。

2.难点:用几何拼图进一步理解勾股定理。

【教具应用】

三角尺、四个全等的直角三角形纸片

b a

【教学过程】

一、创设情景,导入新课:

1.勾股定理的内容是 如右图的直角三角形中,三边长a、b、c之间的关系表示为:

2. 勾股定理是几何学中的明珠,所以它充满魅力,千百年来,人们对它的证明趋之若骛,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,有普通的老百姓,也有尊贵的政要权贵,甚至有国家总统。也许是因为勾股定理

既重要又简单,更容易吸引人,才使它成百次地反复被人炒作,反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑,

其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此,有资料表明,关于勾股定理的证明方法已有500余种,仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。下面我们就来学习几种勾股定理的证明方法。

二、自学提纲:

阅读教材51——52页的内容,解答下列问题:

与一个边长为c的正方形面积的和,这样大正方形面积就可表示为 。

于是, = ,化简得 = ,即得出勾股定理的结论。

2.通过图14.1.7来完成勾股定理的证明(仿照上题的方法)。

3.学习例2.

4.在Rt△ABC中,?C?90?,AB=41,AC=9,则BC= 。

三、合作交流:

1.交流自学提纲的问题。

2.等腰△ABC的腰长AB?10cm,底BC?16cm,则底边上的高为 。

2S?30cm?C?90?BC?12cm3.在Rt△ABC中,,,?ABC,则

AB?____。_

4.53页练习的1、2.

四、测评:

1.求未知边x的长度:

8

2.一个矩形的周长是14,长为4,则它的对角线的长为 。

五、小结:

1.你学会了几种证明勾股定理的方法?

2.在运用勾股定理时,只能是在直角三角形中才可以 ,还要分清斜边和直角边。

六、布置作业:

54页习题1.

62页复习题1.

选做:55页5.

课题:14.1 勾股定理 2.直角三角形的判定

【教学目标】

知识与技能:掌握直角三角形的判定条件,并能进行简单应用。 过程与方法:通过实验操作探索三角形的判定条件,理解勾股定理的逆定理。

情感态度与价值观:激发学生解决的愿望,培养敢于实践,大胆创新的精神。

【教学重点、难点】

重点: 探索并掌握直角三角形的判定条件。

难点:直角三角形判定条件的灵活应用。

【教具应用】

三角板、量角器、圆规、打结的细绳子。

【教学过程】

一、 情景导入:

大约公元前2700年,文明古国埃及创造了世界闻名的七十多座大大小小的金字塔,这些塔基都是正方形。我们知道,当时的生产工具很落后测量技术也不是很高明。那时没有直角三角板,更没有任何先进的测量仪器。金字塔塔基的正方形的每一个直角古埃及人是怎样确定的呢?这的确是个谜!你能解开这个谜吗?

二、自学练习:

1.画出边长是下列各组数的三角形(单位:cm)

(1)a=3 b=4 c=5

(2)a=4 b=6 c=8

(3)a=6 b=8 c=11

1.用量角器分别测量一下所画出的三角形的最大角的度数。

2.算一算:上述每个三角形最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。

3.猜一猜:

一个三角形的三边长满足什么关系时,这个三角形才可能是直角三角形?

三、交流:

如果三角形的三条边满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形吗? 这个结论与前面学过的勾股定理有什么关系?

归纳:如果三角形的三条边a、b、c满足__________,那么,这个三角形是直角三角形。这个结论实际上是勾股定理的逆定理,用它可以判定一个三角形是否是直角三角形。

四、知识应用:

例1、很久很久以前,古埃及人把一根长绳打成等距离的十三个结,然后用木桩钉成一个三角形,如图:

你知道这个三角形是什么形状吗?

说明理由。

分析:一根长绳打上等距离的12个结,由图可知三角形的判别方法,可判定这个三角形是直角三角形。

解:这个三角形的边长分别是3、4、5。

∵ 32+42=52

∴ 由直角三角形的判别方法知道这个三角形是直角三角形。

例2、设三角形的三条边分别为下列各组数:试判定各三角形是否是直角三角形

1. 7 、24、 25

2. 11、35、 37

3. 12、11、 9

解:∵252=72+242

37=35+11222

122≠111+92

所以,以一二两组数为边长的三角形是直角三角形,而第三组不是。 测评

1.判定如下以a、b、c为边长组成的三角形是否为直角三角形?如果是,那么哪一条边所对的角是直角?

A a=11 、 b=16 、 c=20

B a=7 、 b=24 、 c=25

C a=4、 b=5 、 c=6

D a:b:c=3:4:5

2.在三角形ABC中,a=15 b=17 c=8,求此三角形的面积。 课堂小结:

1.总结勾股定理及逆定理的区别 和联系

联系(1)都与直角三角形有关(2)都与三角形三边关系a+b=c222 有关

区别:勾股定理以__________为条件,进而得到三边关系__________ 逆定理是直角三角形的判定方法,以__________为条件,进而得到这 个三角形是:

作业:

1、课本P55页6题

2、(选作)

一块试验田的形状如图所示:

已知∠ABC=90°AD=11m CD=12m求这块试验田的面积 A D

B C

课题:14.2 勾股定理的应用

【教学目标】

知识与技能:能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题

过程与方法:经历勾股定理的应用过程,熟练掌握其应用方法,明确应用条件

情感态度与价值观:培养合情推理能力,体会数形结合的思维方法,激发学习热情。

【教学重点难点】

重点:勾股定理及逆定理的应用

难点:勾股定理的 正确使用

【教具应用】

三角板 圆规 圆柱的侧面展开图

【教学过程】

一、提出问题、创设情景

一圆柱体的底面积为20cm,高为4cm,

BC是上底面的直径,一只蚂蚁从A点出发,

沿着圆柱的侧面爬行到C点,你能求出它

爬行的最短路程吗?

二、自学练习:(动手试一试)

1)自制一个圆柱,尝试从A点到C

点沿圆柱侧面画出几条路线,你

C 认为那条线段最短呢? D C

(2)沿AB从A点到C点的最短路线是什么?你画对了吗?

( 3)蚂蚁从点A出发到C点,它沿圆柱侧面爬行的 最短路程是多少?

教师点拨:引导学生动手操作。通过感性认识来突破学生空间想象的

难点。让学生在自制的圆柱侧面上寻找最短路线,提醒学生将圆柱侧面展

开成长方形,1此时学生发现“两点之间线段最短”这个结论,进而解决问

题。

三、合作交流:

沿AB将圆柱侧面剪开,展开成一个长方形,如图,则⊿ABC是-

__________三角形AB=_________,BC=_________AC=___________ .

四、应用:

1、见课本58页例2.

学生交流,讨论解决本例:

厂门宽度足够,卡车能否通过关键是卡车位于厂门正中间时,其高度

是否小于CH ,O为AB中点,OD=0.8米 ,CD⊥AB ,与地面交于H处, OCD是直角三角形,OC=1米 ,运用勾股定理求出CD ,进而求出CH. 再和卡车高度2.5米比较

测评: 1. 从电线杆离地面5米处向地面拉一条

7

米长的钢缆,求地面钢缆固定点A到电线

杆底部B的距离。B A

2.求出下图中字母所代表的

小结:

由学生分小组进行总结,教师从几个方面给予知识点的补充:

1.勾股定理及逆定理

2.定理的应用方法

3.本节所用到的教学思想方法

作业:

P60页1 、3题

选作:

有一块砖宽AN=5cm ,长ND=11cm ,CD上的点B

距地面BD=8cm ,地面上A处的一只小虫子到B处吃食物,需爬行的最短路程是多少? C B D N A

课题:14.2勾股定理的应用(二)

【教学目标】:1、准确理解勾股定理及其逆定理。

2、掌握定理的应用方法,体会数学的数行结合思想和应用价值。

3、培养学数学的兴趣。

【教学重点、难点】:1、正确选用勾股定理及其逆定理。

2、从实际问题中找出可应用的直角三角形。

【教具】:直尺、三角板、圆规。

【教学过程】:

3. 问题引入:

在一棵树的11米高的D处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20

米的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃到池塘A处,如果两只猴子所经

过的距离相等,试问这棵树有多高?

思考问题:如图1,其中一只猴子从D→B→A

共走了30米,另一只猴子从D→C→A共走了30米。 树身垂直于地面,于是这个问题可转化为直角 三角形,用勾股定理解决。

可设DC为X米,则BC为(11+X)米,AC为(30—X)

米,根据勾股定理AB2+BC2=AC2可得:202+(11+X)2 =(30—X)2。

解之得:X=5

所以这棵树高BC=BD+DC=15米。

4. 快乐合作:

1、如课本P59例3,在535的正方形网格中,每个小正方形的边长

都为1,请在给定网格中按下列要求画出图形:

从点A出发画一条线段AB,使它的另一个端点B在格点

上,且长度为2√2

画出所有的以AB为边的等腰三角形,使另一个顶点在

格点上,且另两边的长度都是无理数。

交流方法:本题利用了勾股定理,关键看哪一个以格点为顶点的矩形的对角线或直角三角形的斜边满足要求。

解(1) 图14.2.6中AB长度为22.

(2) 图14.2.6中△ABC、 △ABD就是所要画的等腰

三角形

比一比(谁解说的更好):在535的正方形网格中,画出以格

点为顶点的等腰三角形,它的边长分别是多少?

2、 如课本P59例4,已知CD=6m,AD=8m, ∠ADC =90°,BC=24m,AB=26m,

求图中阴影部分的面积。

3、 思考问题:图中阴影部分的面积是一个不规则的图形面积,首先考虑如何转化为规则图形面积的和、差的形式,即S阴影=

△ABC的面积—△ADC的面积。

由∠ADC =900,CD=6m,AD=8m,易求出Rt△ADC的面积,

且根据勾股定理可求出AC=11m。

知道了△ABC的三边长,根据勾股定理的逆定理,A

C2+BC2=102+242=676=AB2可以判断

出它是直角三角形,∠ACB是直角,就可以求出△ABC的面积。

所以S阴影=96m2

解 在Rt△ADC中,

AC2=AD2+CD2=62+82=100(勾股定理),

∴ AC=10.

∵ AC2+BC2=102+242=676=AB2,

∴ △ACB为直角三角形(如果三角形的三边长a、 b、 c有关系: a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形),

∴ S阴影部分?S?ACB-S?ACD

=1/2310324-1/23638=96(m2).

总结:一、求不规则图形的方法是“将不规则转化为规则”;二、已知三角形的三边长求其面积,应先考虑其特殊性。

想一想:勾股定理与勾股定理的逆定理的书写格式有什么不同?

三、练习:

1、在△ABC中,如果AC=3,BC=4,AB=5,那么△ABC一定是三角形,且∠ 是直角;如果仅使AB的长度增加到5.1,那么原来的∠C被“撑成”的角是 角。

2、在△ABC中,如果a=11,b=24,c=26,则△ABC的面积为 。

3、为了作出长为的线段,可以作一个直角三角形,使其一条直角边的长为1,则另一条直角边的长为 。

4. 利用勾股定理,分别画出长度为3厘米和5厘米的线段.

5、若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x,试求出x的所有可能值.

6、在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1m,一阵风吹来,红莲吹到一

边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2m,求这里的水深是多少米

?

(提示:画出图形建立直角三角形)

7、如图,已知∠D = ∠ ACB = 90°, AD=3,AB=12,BC=11, 求、

线段AC的长和四边形ABCD的面积。

四、课堂小结

学生谈本节课的收获

五、布置作业

课堂作业:A、书P60习题14.2 4、5、6 或B练习3、5、7、

第14章勾股定理的小结与复习

教学目标:1、掌握勾股定理以及变式的简单应用,理解定理的一般探究方

法.

2、在让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程,

发展同学们数与形结合的数学思想

3、在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流良好学习的

习惯

重难点:1、勾股定理的简单计算。

2、勾股定理的灵活运用。

教学过程:

一、知识回顾:

1、结构

2、要点

勾股定理

在直角三角形中,两直角边的

即如果直角三角形的两直角边长分别为a, b, 斜边为c,则有 。

注意:a、此定理只适用于直角三角形的三边之间的数量关系,常在“知二求一”时应用。

b、在其它图形中则需先构造直角三角形,再应用勾股定理。

C、勾股定理是从“形”到“数”的转化,即有“形”知“数”。 勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足关系式,那么这个三角形是 。

注意:a、应用时,先确定最大边,然后比较最大边的平方与两条较小边的平方和的大小关系,如果它们相等,则可判断这个三角形是直角三角形,且最大边的对角是直角;否则不是,没有直角。

b、勾股定理的逆定理是从“数” 到“形” 的转化,即有“数” 知“形”。 勾股数

在三个正整数中,如果一个数的平方等于另两个数的平方和,那么这样的一组数就为勾股数。

注意:a、常用的勾股数有:3、4、5;6、8、11;5、11、12;8、15、17;7、24、25等。

b、如果a、b、c是一组勾股数,那么na、nb、nc也是一组勾股数,其中n为正整数。

二.思想方法:本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想。

例1、已知a,b,c为⊿ABC三边,a =6,b=8,b<c,且c为整数,则c= .

分析:此题并没有告诉你⊿ABC为直角三角形,因此不能乱用勾股定理. 解:由b<c,结合三角形三边关系得8<c<6+8,即8<c<14,又因c为整数,故c边长为9、11、11、11、12.

总结:只有在直角三角形中,才能用勾股定理,因此解题时一定注意已知条件中是否为直角三角形.

例2、如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,

BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边

AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?

分析:因两直角边AC=6cm,BC=8cm,所以由勾股定

理求得AB=11 cm,设CD=x,由题意知则DE=x,AE=AC=6,BE=11-6=4,BD=8-x.在Rt△BDE由勾股定理得:42+x2=(8-x)2,解得x=3,故CD的长能求出且为3.

总结:(1)使用勾股定理的前提是直角三角形;(2)在求解问题的过程中,常列方程或方程组来求解;(3)已知直角三角形中两边长,求第三边长,要弄清哪条边是斜边,哪条边是直角边,不能确定时,要分类讨论. 三、反馈练习:

1、选择题:

(1)已知△ABC中,∠A= ∠B= ∠C,则它的三条边之比为( ).

A.1:1:1 B.1:1 :2 C.1: 2:3 D.1:4:1

(2)已知直角三角形一个锐角60°,一直角边长为2,那么此直角三角形的周长是( ).

A.4+ 3 B.6+2 C.2+2 D.6+2、2+2

(3).下列各组线段中,能够组成直角三角形的是( ).

A.6,7,8 B.5,6,7 C.4,5,6 D.3,4,5

(4)下列各命题的逆命题成立的是( )

A.全等三角形的对应角相等 B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等

C.两直线平行,同位角相等 D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等

(5)若等边△ABC的边长为2cm,那么△ABC的面积为( ).

A. cm2 B2 cm2 C.3cm2 D.4cm2

(6).在Rt△ABC中,已知其两直角边长a=1,b=3,那么斜边c的长为( ).

A.9 B、11 C、11 D.

(7)直角三角形的两直角边分别为5cm,11cm,其中斜边上的高为( )

3060A.6cm B.8.5cm C.cm D.cm 1313

(8)两只小鼹鼠在地下打洞,一只朝前方挖,每分钟挖8cm,另一只朝左挖,每分钟挖6cm,11分钟之后两只小鼹鼠相距( )

A.50cm B.110cm C.140cm D.80cm

2、填空:

1、有两棵树,一棵高6米,另一棵高3米,两树相距4米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了___米.

2.一座桥横跨一江,桥长11m,一般小船自桥北头出发,向正南方驶去,因水流原因到达南岸以后,发现已偏离桥南头5m,则小船实际行驶___m.

3.一个三角形的三边的比为5∶11∶12,它的周长为60cm,则它的面积是___.

4.在Rt△ABC中,∠C=90°,中线BE=12,另一条中线AD2=331,则AB=___.

5.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺.求竹竿高与门高.

6.如图3,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8m处,已知旗杆原长16m,你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗?请你试一试.

图3 A′ A 图4 B B′ 7.如图4所示,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O 的距离为2m,梯子的顶端B到地面的距离为7m.现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m,同时梯子的顶端B下降到B′,那么BB′也等于1m吗?

复习小结:

通过学习,我们知道勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此要注意直角三角形的条件,要创造直角三角形,在做辅助线的过程中,提高你的综合应用能力。在不同的条件、不同环境中反复运用勾股定理定理及其逆定理,要达到熟练使用,灵活运用的程度。

作业:P62-P63、A、B、C组中各选一道

复习反思:

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