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一元一次方程应用资料

发布时间:2013-12-08 14:40:42  

初一数学资料

3 应用一元一次方程——水箱变高了

1.几何图形中常用的公式

(1)常用的体积公式

长方体的体积=长×宽×高; 正方体的体积=棱长×棱长×棱长;

圆柱的体积=底面积×高=πr2h;

11πr2h. 33

(2)常用的面积、周长公式

长方形的面积=长×宽; 长方形的周长=2×(长+宽);

正方形的面积=边长×边长;

正方形的周长=边长×4;

1三角形的面积= 2

平行四边形的面积=底×高; 1梯形的面积=×(上底+下底)×高; 2

圆的面积=πr2;

圆的周长=2πr.

【例1】 用7.8米长的铁丝做成一个长方形框架,使长比宽多1.2米,求这个长方形框架的宽是多少米?设长方形的宽是x米,可列方程为( ).

A.x+(x+1.2)=7.8 B.x+(x-1.2)=7.8

C.2[x+(x+1.2)]=7.8 D.2[x+(x-1.2)]=7.8

解析:根据长方形的周长公式列方程即可.长方形的周长=2×(长+宽),故可列方程为2[x+(x+1.2)]=7.8.

答案:

C

2.形积变化问题中的等量关系 形积变化问题中,物体的形状和体积会发生变化,但问题中一定有相等关系.分以下几种情况:

(1)

(2)

(3)形状、体积不同.根据题意找出体积之间的关系,即为相等关系.

【例2】 有一位工人师傅要锻造底面直径为40 cm的“矮胖”形圆柱,可他手上只有底面直径是10 cm,高为80 cm的“瘦长”形圆柱,试帮助这位师傅求出“矮胖”形圆柱的高.

分析:圆柱的形状由“瘦长”变成“矮胖”,底面直径和高度都发生了变化,在不计损耗的情况下不变量是它们的体积,抓住这一不变量,就得到等量关系——锻造前的体积=锻造后的体积.

解:设锻造成“矮胖”形圆柱的高为x cm,

根据题意,得

π·52·80=π·202·x.

解这个方程,得

x=5.

答:“矮胖”形圆柱的高为5 cm.

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3.等长变形问题

等长变形,是指用物体(一般用铁丝)围成不同的图形,图形的形状、面积发生了变化,

解答此类问题,可以利用周长不变设未知数,寻找相等关系列出方程.

面积问题中常常会用到特殊图形的周长和面积公式.如三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形、圆等;记住常见的几何图形的面积公式,抓住周长不变的特征是解决等长变形问题的关键.

【例3】 如图所示是用铁丝围成的一个梯形,将其改成一个长和宽比为2∶1的长方形,那么该长方形的长和宽分别为多少?

分析:根据“梯形的周长=长方形的周长”列方程求解.

解:设长方形的宽为x,则长为2x.

由题意,得2(x+2x)=5+6+9+13,

解这个方程,得x=5.5,所以2x=11.

答:该长方形的长和宽分别为11,5.5

4 应用一元一次方程——打折销售

1.商品销售中与打折有关的概念及公式

(1)与打折有关的概念 ①进价:也叫成本价,是指购进商品的价格. ②标价:也称原价,是指在销售商品时标出的价格. ③售价:商家卖出商品的价格,也叫成交价. ④利润:商家通过买卖商品所得的盈利,一般以“获利”、“盈利”、“赚”等词语表示所得利润. ⑤利润率:利润占进价的百分比. 为打折.

打几折,就是以原价的百分之几十或十分之几卖出.如打8折就是以原价的80%卖出.

(2)利润问题中的关系式

①售价=标价×折扣;

售价=成本+利润=成本×(1+利润率).

②利润=售价-进价=标价×折扣-进价.

利润售价-进价③利润=进价×利润率;利润=成本价×利润率;利润率=进价进价

【例1】 (1)某商品成本100元,提高40%后标价,则标价为__________元;

(2)500元的9折是__________元,__________元的八折是340元;

(3)一件商品的进价是40元,售价是70元,这件商品的利润率是__________.

解析:(1)成本×(1+提高率)=标价,即100×(1+40%)=140(元);

(2)九折即原价的十分之九,所以500元打9折,就是500×0.9=450(元),设x的八折是340,所以有0.8x=340,解得x=425;

利润售价-进价70-40(3)利润率==75%. 40进价进价

答案:(1)140 (2)450 425 (3)75%

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2.列方程解应用题的一般步骤及注意事项

(1)列方程解应用题步骤

①审:审题,分析题中已知的是什么、求的是什么,明确各数量之间的关系.

②找:找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.

③设:设未知数(一般求什么就设什么).

④列:根据相等关系列出方程.

⑤解:解所列的方程,求出未知数的值.

⑥验:检验所求出的解是否符合实际意义.

⑦答:写出答案.

(2)列方程解应用题应注意

①列方程时,要注意方程两边应是同一类量,并且单位要统一.

②解、答时必须写清单位名称. ③求出的方程的解要判断是否符合实际意义,即必须检验.

【例2-1】 在商品市场经常可以听到小贩的叫嚷声和顾客的讨价还价声:“10元一个的玩具赛车打八折,快来买啊!”“能不能再便宜2元?”如果小贩真的让利(便宜)2元卖了,他还能获利20%,那么一个玩具赛车进价是多少元?

分析:利润=销售价×打折数-让利数-进价.

解:设进价是x元,依题意,得x×20%=10×0.8-2-x.

解得x=5.

答:一个玩具赛车进价是5元.

【例2-2】 某商场购进甲、乙两种服装后,都加价40%标价出售,“春节”期间商场搞优惠促销,决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售.某顾客购买甲、乙两种服装共付款182元,两种服装标价之和为210元.问这两种服装的进价和标价各是多少元?

分析:本题的题情稍复杂,需要求四个未知量.可以先求出标价,然后再求进价.

x解:设甲种服装的标价为x元,则进价为元,乙种服装的标价为(210-x)元,进价为1.4

210-x元. 1.4

210-xx根据题意,得0.8x+0.9(210-x)=182.解得x=70.所以210-x=140.=50,=1.41.4

100.

答:甲种服装的进价为50元,标价是70元;乙种服装的进价是100元,标价是140

元.

3.利用一元一次方程确定商品的利润

与商品的利润有关的实际问题主要有以下三类:

(1)确定商品的打折数

利用一元一次方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系,根据相等关系列出方程.利润中的求最低打折数的问题,要根据与打折有关的等量关系:标价×打折数-进价=利润,利润=进价×利润率.

(2)确定商品的利润

根据商品的售价和利润率确定商品的利润,也是一元一次方程的应用之一.用到的等量关系是:进价×(1+利润率)=售价.

(3)优惠问题中的打折销售

商场中的某些优惠销售是购买数量超过一定的范围才打折或超过的部分打折.要分段分情况计算不同的利润.

【例3-1】 某种商品的进价是400元,标价是600元,商店要求以利润不低于5%打折销售,那么售货员最低可以打几折出售此商品?

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分析:利润问题的相等关系是:商品售价-商品进价=商品利润.其中商品利润=进价×利润率,即400×5%.而商品售价=标价×打折数.

解:设最低可以打x折出售.根据题意,得600×0.1x-400=400×5%.解得x=7. 答:售货员最低可以打7折出售此商品.

【例3-2】 某书城开展学生优惠售书活动,凡一次购书不超过200元的一律九折优惠,超过200元的,其中200元按九折算,超过200元的部分按八折算.李明购书后付了212元,若没有任何优惠,则李明应该付多少元?

分析:先判断属于哪一种优惠,再根据情况确定相等关系.当购书是200元时,应该付200×0.9=180(元),李明支付了212元,说明超过了200元,相等关系是:不超过200元的部分应付款+超过200元部分应付款=实际付款.

解:因为200×0.9=180(元)<212(元),

所以购书超过了200元.

设应该付x元,根据题意,得200×0.9+(x-200)×0.8=212.解方程,得x=240. 答:若没有任何优惠,则李明应该付240元.

5 应用一元一次方程——“希望工程”义演

1.等量关系的确定

列方程解应用题的关键是找出能够反映题意的一个等量关系.对于复杂问题的等量关系可采用列表法分析数量之间的关系.一般可从以下几个方面确定等量关系:

(1)抓住问题中的关键词,确定等量关系.如问题中的“和”、“差”、“倍”、“多”、“少”、“快”、“慢”等都是确定等量关系的关键词.

(2)利用公式或基本数量关系找等量关系.

(3)从变化的关系中寻找不变的量,确定等量关系.

【例1】 刘成用150元买了甲、乙两种书,共20本,甲种书单价10元,乙种书单价5元,则刘成买了这两种书各多少本?

分析:本题的两个等量关系是:甲种书款+乙种书款=150元,甲种书量+乙种书量=20本.本题有两个未知数:甲种书的数量和乙种书的数量.因此既可以设甲书的数量为未知数,又可以设乙书的数量为未知数.

解:(方法1)设刘成买了甲种书x本,则买了乙种书(20-x)本,

根据题意,得10x+5(20-x)=150,

10x+100-5x=150,5x=50,x=10,

20-10=10(本).

答:刘成买了甲、乙两种书各10本.

(方法2)设买了乙种书x本,则甲种书有(20-x)本.

根据题意,得10(20-x)+5x=150,

200-10x+5x=150,

-5x=-50,

x=10,

20-10=10(本).

答:刘成买了甲、乙两种书各10本.

2.未知数的设法

较复杂的问题,未知量可能有两个或两个以上,选择一个适当的未知量设为未知数非常重要.未知数设的适当,能给列方程带来简便.

未知数的设法大致有两种:直接设未知数和间接设未知数.另外还可以根据解决问题的需要设出辅助未知数帮助解答.

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(1)直接设未知数

直接设未知数,就是题目中问什么就设什么.对于只有一个相等关系的问题,直接设未知数就能解决问题.而对于较复杂的问题,直接设未知数时列方程可能会较困难.

(2)间接设未知数,就是所设的未知数不是问题中最后所要求的未知数,而是设另外的量为未知数,这样做的好处是便于理顺数量关系、易于列方程.

(3)设辅助未知数

在列方程解应用题时,有时为了解题的需要,将某些量之间的关系说得更清晰,我们引入一些辅助未知数.这些未知数在解方程的过程中,往往是约掉了或者抵消了,最后求出的问题的解与这些未知数无关,因此,被称为辅助未知数.

111【例2-1】 一位老人立下遗嘱:把17分给他的大儿子、二儿子、三儿239

子,问三个儿子各分得多少头牛?

分析:解答本题,若直接设三个儿子分别分得多少头牛来求解比较困难,因为遗嘱中规

111定的大儿子、二儿子、三儿子应分得牛的头数的比例为∶∶9∶6∶2,所以可设一份为239

x,然后根据“大儿子所分得的牛的头数+二儿子所分得的牛的头数+小儿子所分得的牛的头数=17”列方程求解.

111解:因为=9∶6∶2,所以设每一份为x头牛,则三人所分得的牛的头数分别为239

9x,6x,2x.

根据题意,得9x+6x+2x=17.

解这个方程,得x=1.

所以9x=9,6x=6,2x=2.

答:三个儿子分别分得9头、6头、2头牛. 【例2-2】 高一某班在入学体检中,测得全班同学的平均体重是48千克,其中男同学平均体重比女同学平均体重多20%,而女同学人数比男同学人数多20%.求男、女同学的平均体重.

分析:本题中的未知量有四个——男、女同学的平均体重和男、女同学的人数,可以设女同学的平均体重为x千克,男同学有y人两个未知数,根据本题中的相等关系“男女同学的总体重=全班同学的平均体重×总人数”列出一个方程,其中的未知数y在解方程的过程中被约掉了,这里的y就是辅助未知数.

解:设女同学平均体重为x千克,则男同学平均体重为1.2x千克,设男同学为y人,则女同学为1.2y人.

根据题意,得1.2xy+1.2xy=48(y+1.2y).

合并同类项,得2.4xy=48×2.2y.

∵y≠0,∴方程两边同除以2.4y,得x=44.

∴1.2x=1.2×44=52.8(千克).

答:男同学的平均体重为52.8千克,女同学的平均体重为44千克.

3.几种复杂的应用问题

含有两个或两个以上的等量关系的应用题主要有以下三种:

(1)按比例分配问题

按比例分配问题是指已知两个或几个未知量的比,分别求几个未知量的问题. 比例分配问题中的相等关系是:

(2)工程问题

工程问题中的相等关系是: 工作量=工作效率×工作时间; 甲的工作效率+乙的工作效率=合作的工作效率;

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解答工程类问题时,常常把总工作量看成整体1.找出工作效率(即单位时间内的工作量)是解答的关键.

(3)资源调配问题 资源调配问题一般采取列表法分析数量关系,利用表格,可以很清晰地表达出各个数量之间的关系.其中的相等关系要根据题目提供的等量关系确定.

【例3】 甲、乙两人想共同承包一项工程,甲单独做30天完成,乙单独做20天完成,合同规定15天完成.否则每超过1天罚款1 000元,甲、乙两人经商量后签订了该合同.

(1)正常情况下,甲、乙两人能否完成该合同?为什么?

(2)现两人合作了该工程的75%,因别处有急事,必须调走一人,问调走谁更合适一些?为什么?

分析:(1)设甲、乙两人合作x天完成合同,列出一元一次方程求出x的值,即可知道甲、乙两人能否完成该合同;

(2)因两人已完成了该工程的75%,分别计算出甲、乙两人单独做完未完成的25%各需要多少时间,调走合同期内不能完成任务的人更合适一些.

11解:(1)设甲、乙两人合作x.依题意,3020

11x=1.解这个方程,得x=12.因为12<15,所以两人能完成该合同. 得??3020(2)调走甲更合适一些.

1理由:设甲单独完成剩下的工程需x天,乙单独完成剩下的工程需y天.依题意,得30

1x=1-75%=1-75%.解得x=7.5,y=5. 20

因为两人合作12天完成任务,所以完成任务的75%需要12×75%=9(天),所以还剩6天可以让另一个人单独完成任务.

而7.5>6,5<6,说明甲不能按期完成任务,而乙能

6 应用一元一次方程——追赶小明

1.行程问题中的基本关系式 行程问题是在匀速运动的条件下,所有研究物体运动的路程、速度和时间,及运动状态的问题的统称.

行程问题中路程、速度和时间三个量之间的关系

①路程=速度×时间;

路程②速度=; 时间

路程③时间=. 速度

【例1】 一列火车从车头进隧洞到车尾出隧洞共用了10分钟,已知火车的速度是500米/分,隧洞长为4 800米,问这列火车长是多少米?

分析:隧洞用AB表示,火车用CD表示,画出示意图如图所示.设火车长为x米,从图中易见:火车从进洞前的D点行驶到出洞后的D点,共行驶了(4 800+x)米,用了10分钟,然后根据“4 800+x=火车的速度×10”列出方程求解.

解:设火车长为x米,依题意,得4 800+x=500×10.

解得x=200.

答:这列火车长是200米.

2.相遇问题的解决方法

初一数学资料 1就是相遇问题.图2也可看成相遇问题来解决.

相遇问题中的相等关系

②甲行的路程+乙行的路程=总路程,即s甲乙; ③甲用的时间=乙用的时间.

【例2】 A,B两地间的路程为360千米,甲车从A地出发开往B地,每小时行驶72千米.甲车出发25分钟后,乙车从B地出发开往A地,每小时行驶48千米.

(1)几小时后两车相遇?

(2)两车相遇后,各自仍按原速度和原方向继续行驶.那么相遇以后两车相距100千米时,甲车从出发共行驶了多少小时?

分析:(1)本小题属于相遇问题.相等关系是:甲车的行程+乙车的行程=360千米.

(2)相等关系是:甲车行驶的路程+乙车行驶的路程=(360+100)千米.

25?3+x+48x=360.解得x=2解:(1)设经过x小时两车相遇,则据题意,得72??60?4

3答: 4

25x-?小(2)设相遇以后两车相距100千米时,甲车共行驶了x小时,则乙车共行驶了??60?

25x-?千米. 时,由题意可知,甲车行驶的路程是72x千米,乙车行驶的路程是48??60?

25x-=360+100. 根据题意,得72x+48??60解这个方程,得x=4.

答:甲车共行驶了4小时., 3.追及问题的解决方法 追及问题的特点是同向而行.追及问题有两类:

①同时不同地,如下图:

等量关系:乙的行程-甲的行程=行程差;速度差×追及时间=追及距离.即s乙甲

=s差.甲用的时间=乙用的时间.

②同地不同时,如下图:

等量关系:甲的行程=乙的行程.即s甲=s乙.

“同时不同地”中,双方行驶所用的时间相同,行驶的路程却不同(出发点不同);而“同地不同时”中,由于行驶双方出发时间有先后,故行驶过程中用的时间不同,双方出发地相同,故行驶的路程相同.

【例3-1】 李成在王亮的前方10米处,若李成每秒跑7米,王亮每秒跑7.5米,同时起跑,问王亮跑多少米可以追上李成?

分析:本题是追及问题,属于“同时不同地”的类型,可根据“王亮跑的路程-李成跑的路程=10米”,列方程求解.

解:设x秒时王亮追上李成,根据题意,得7.5x-7x=10.解得x=20.

所以7.5×20=150(米).

答:王亮跑150米可追上李成.

【例3-2】 甲、乙两人从同地出发前往某地.甲步行,每小时行6千米,先出发1.5

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小时后,乙骑自行车出发,又过了50分钟,两人同时到达目的地,问乙每小时行多少千米?

分析:本题是“同地不同时”的追及问题,可画出线段图帮助解答.

本题的相等关系是:甲行驶的路程=乙行驶的路程.

50501.5+?. 解:设乙每小时行x千米,根据题意,得x=6?60??60

解这个方程,得x=16.8.

答:乙每小时行16.8千米.

4.航行(飞行)问题与环行问题

(1)航行(飞行)是指轮船的航行或飞机的飞行,也属于行程问题.

航行问题中的基本概念: ①静水速度:轮船在不流动的水中行驶的速度;②顺水速度:轮船顺着水流的方向航行的速度;③逆水速度:轮船行驶方向与水流的方向相反时的航行速度;④水速:水自身流动的速度.

航行或飞行中会受到水速或风速的影响,因此此类问题的基本关系是:速+水速,顺风速=无风速+风速;②逆水速=静水速-水速,逆风速=无风速-风速.

(2)环行问题

环行问题即沿环行路的行程问题,有以下两种情况:

①甲、乙两人在环形道上同时同地同向出发:快的必须多跑一圈才能追上慢的.即快者走的路程=慢者走的路程+一圈的路程.

②甲、乙两人在环形道上同时同地反向出发:两人首次相遇时的总路程为环形道的一圈长.即甲走的路程+乙走的路程=一圈的路程.

【例4-1】 一名极限运动员在静水中的划船速度为12千米/时,今往返于某河,逆流时用了10时,顺流时用了6时,求此河的水流速度.

分析:逆水速=静水速-水速,顺水速=静水速+水速,顺流行程=逆流行程.

解:设此河的水流速度为x千米/时,根据题意,得6(12+x)=10(12-x),解这个方程,得x=3.

答:此河的水流速度为3千米/时.

【例4-2】 甲、乙两人在环形跑道上练习跑步,已知环形跑道一圈长400米,乙每秒跑6米,甲每秒跑8米.

(1)如果甲、乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发,那么经过多少秒两人首次相遇?

(2)如果甲在乙前面8米处同时同向出发,那么经过多少秒两人首次相遇?

分析:(1)属于相遇问题,相等关系:甲的行程+乙的行程=环形跑道一圈的长-8米;

(2)属于追及问题,相等关系:甲走的路程=乙走的路程+两地间的距离-8米.

解:(1)设经过x秒,甲、乙两人首次相遇.

根据题意得8x+6x=400-8,

解这个方程,得x=28.

答:经过28秒两人首次相遇.

(2)设经过x秒,甲、乙两人首次相遇,

根据题意得8x=6x+400-8,

解这个方程,得x=196.

答:经过196秒两个人首次相遇.

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