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5.6_.2二次函数y=a(x-h)2_的图象和性质

发布时间:2013-12-09 10:27:44  

二次函数y=a(x-h)2 +k 的图象和性质

二次函数y=ax2+c的性质
y=ax2+c
图象

a>0

a<0

c>0
开口 对称性 顶点 增减性

c<0

c>0

c<0

开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 关于y轴对称

(0,c)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点

学习目标
1、探索二次函数y=a(x-h)2 +k 图象与 y=ax2 图象的关系

2、探索二次函数y=a(x-h)2 +k 图象性质 3、二次函数一般式转化为顶点式,利用公式 求顶点坐标、对称轴

1.以小组为单位,讨论交流学案中的 问题,相互印证预习成果。 2.讨论一下疑难问题,并交流预习中 学到了什么数学知识与方法,还有什 么疑惑?

在同一坐标系中作出下列二次函数:
1 2 y? x 2

1 y ? ( x ? 2) 2 2
1 2 y ? ?x ? 2? 2

1 y ? ( x ? 2) 2 2
5 4

6

观察三条抛物线的 相互关系,并分别指 出它们的开口方向, 对称轴及顶点.
-8

y?

1 2 x 2

y?

1 ? x ? 2 ?2 2

3

2

1

-6

-4

-2

B

2

4

6

1 y ? ( x ? 2) 2 向左平移 2 2个单位

1 2 y? x 2

向右平移 y ? 1 ( x ? 2) 2 2 2个单位
-1 -2 -3 -4

向左平移 向右平移 顶点(2,0) 顶点(0,0) 顶点(-2,0) 2个单位 2个单位 向左平移对称轴:y轴 向右平移 直线x=2 直线x=-2 2个单位 即直线: x=0 2个单位

1、若将抛物线y=-2(x-2)2的图象的 顶点移到原点,则下列平移方法正确 的是( C ) A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位

2、抛物线y=4(x-3)2的开口方向 向上 ,
对称轴是 直线x=3,顶点坐标 是 (3,0) ,抛物线是最 低 点, 当x= 抛物线与x轴交点坐标 (3,0) ,与y轴交

3 时,y有最 小 值,其值为 0 。

点坐标 (0,36)。

拓展: 二次函数y=2x2 y=2(x-1)2 y=2(x-1)2 , , +1的 图象的关系?

返回

y

y=2(x-1)2+1

y=2x2

5 4. 3. 2. 1.

y=2(x-1)2

-3.

-2

-1

0. -1

1.

2.

3.

x

y

y=2x2 +1
5 4. 3. 2. 1.

y=2x2

y=2(x-1)2+1

-3.

-2

-1

0. -1

1.

2.

3.

x

返回

1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ________ 2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移 得到抛物线y=2x2

y=a(x 开口 对 顶 最值 方向 称 点 h)2 +k 轴 a>0 向上 x=h (h,k) x=h时, 有最小 值y=k a<0 向下 x=h (h,k) x=h时, 有最大 值y=k

增减情况

x<h时, y随x的增大而减 小; x>h时,y随x的增大而 增大. x<h时, y随x的增大而增 大; x>h时, y随x的增大而 减小.

|a|越大开口越小.
返回

b ? 4ac ? b2 ? y ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?
2

函数y=ax2+bx+c的顶点式
?配方:

y ? ax2 ? bx ? c c? ? 2 b ? a? x ? x ? ? a a? ? 2

提取二次项系数
2

? 2 b ? b ? ? b ? c? ? a? x ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? 2a ? ?

2a ? a ? ? ? 2 ?? b ? 4ac ? b 2 ? 整理:前三项化为平方形 ? a ?? x ? ? ? ? 2 2a ? 4a ? 式,后两项合并同类项 ?? ? ? 2 2
b ? 4ac ? b ? ? a? x ? ? ? .化简:去掉中括号 2a ? 4a ?

配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
b 对称轴为:直线x ? ? , 2a ? b 4ac ? b 2 ?? 顶点坐标是: , ? 2a 4a ?
2

? ? ? ?

一般地,因为抛物线y ? ax ? bx ? c 的顶点是最低(高)点,所以 b 当x ? ? 时,二次函数y ? ax 2 ? bx ? c 2a 4ac ? b 2 有最小(大)值 4a

写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶 点坐标,当x为何值时y的值最大(小)?

(1)y=3x2+2x

(2)y=-x2-2x (3)y=-2x2+8x-8

1 2 ?4? y ? ? x ? 4 x ? 3 2

?

系统
y=a( xh)2 + k a>0

小结
开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 最值 增减情况

向 上

a<0

向 下

x= (h, x=h h k) 时,有 最小 值y=k x= (h, x=h h k) 时,有 最大 值y=k

x<h时, y随x的增大而减 小; x>h时,y随x的增大而 增大.
x<h时, y随x的增大而增 大; x>h时, y随x的增大 而减小.


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