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3.2圆的对称性(2)

发布时间:2013-12-09 10:27:47  

圆的对称性(2)

复习
? 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分 ? 弦所对的弧.
C

A

M└


如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O

∴AM=BM,

⌒ =BC, AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ AC

D

探索规律

过弦AB中点M作直径CD,则直径 CD与弦AB有什么关系吗?

不是直径 平分弦(______)的直径垂直于弦,并且平 分弦所 对的两条弧.

A

C





M

B
?



O

CD是直径 AM=BM

CD⊥AB,
可推得

⌒ ⌒ AC=BC, ⌒

D

⌒ AD=BD.

定理1 :垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所对的两 条弧

不是直径 定理2:平分弦(________)的直径垂直于弦,并且平 分弦 所对的两条弧. 定理3:平分弧的直径 垂直平分弧所对的弦,
并且平分弦所对的另一条弧
C

如图∵ CD是直径,

A

⌒ ⌒ =BD. AD

M└


B O

∴CD⊥AB, AM=BM,

⌒ ⌒ AC =BC,

D

例题

赵州石拱桥

? 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱 是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的 半径(精确到0.01m). C A

7.23D 37.2 B
O

作业题: 1.已知,如图,在以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB 和小圆交于点C,D,求证:AC=BD 解:过O作OE⊥AB于E点, A 则AE=BE,CE=DE 垂直弦的直径平分这条弦 (________________________) ∴AE-CE=BE-DE 即AC=BD
C

E
O

D

B

作业题:2.5

作业题:6. 已知圆O的半径为5cm,AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm, 则AB与CD距离是__________cm 解: 当两条弦在圆心的两侧时 F 4 4 D 过O作OE⊥AB于E点,连接OB, C 3 O 5 由垂径定理得:AE=BE=0.5AB=3 4 5 OB=5,由勾股定理得:OE=4 延长EO交CD于F,连接OC A B 3 E 3 又∵AB∥CD ∴OF⊥CD 由垂径定理得: CF=DF=0.5CD=4 OC=5,由勾股定理得:OF=3 则EF=OE+OF=7 O C D 5 当两条弦在圆心的同侧时 5 4 F EF=OE-OF=1
● ●

A

3

B

某一公路隧道的形状如图,半圆拱的圆心距离地面2m,半径 为1.5m,一辆高3m,宽2.3m的集装箱车能通过这个隧道吗?
解:取CD=1.15m,作DE⊥CD交圆O于点E 连接OE,过O作OF⊥ED于F, 由题意可得OE=1.5,OF=CD=1.15 FD=OC=2由勾股定理得:

B 1.5
1.5 1.15

E

EF ? OE 2 ? OF2 ? 1.52 ? 1.152
≈0.96 ∴DF=EF+DF=2.96<3 ∴高3m,宽2.3m的集装箱车 不能通过这个隧道

O

3 F
2
2

如果要使高度不超过4m,宽为2.3m的货车能通过这个隧道,且不 改变圆心到地面的距离,半圆拱的半径至少为多少m?

1.15 2.3 D C

1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 和定理 定理:垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧. 2. 定理的证明,是通过“实验—观察—猜想—证明” 实现的,体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想 后证明的观点,定理的引入还应用了从特殊到一般的思 想方法.
3.有关弦的问题,常常需要过圆心作弦的垂线段,这是 一条非常重要的辅助线.圆心到弦的距离、半径、弦长 构成

直角三角形,便将问题转化为解直角三角形的问题.

试一试P93 12

挑战自我填一填
? 1、判断: ? ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. ( ?) ? ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. (√ )

? ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.(

?

) )

? ⑷圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行. ( ?)

? ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. (




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